高中数学两条平行直线间的距离学案新人教A版必修2.docx

1、高中数学两条平行直线间的距离学案新人教A版必修22.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质目标定位1.证明并掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.自 主 预 习1.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言作用线面垂直线线平行作平行线2.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线即 时 自 测1.判断题(1)两条

2、平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面.()(2)垂直于同一平面的两个平面平行.()(3)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直 线在第一个平面内.即，A，Ab，bb.()(4)如果平面平面，那么平面内的所有直线都垂直于平面.()提示(2)垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行.(4)直线与平面位置关系不确定.2.ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是()A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定解析因为lAB，lAC，AB，AC且ABACA，所以l，同理可证m，所以lm.答案C3.在长方体ABCDA1B

3、1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行 B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1，答案D正确.答案D4.已知a、b为直线，、为平面.在下列四个命题中，正确的命题是_(填序号).若a，b，则ab；若a，b，则ab；若a，a，则；若b，b，则.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知假；由

4、“垂直于同一直线的两平面平行”知真；易知假.答案类型一直线与平面垂直的性质及应用【例1】 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EFBD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可证BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.规律方法证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；

5、(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.【训练1】 如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.证明因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB，又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.因此，al.类型二平面与平面垂直的性质及应用【例2】 已知：、是三个不同平面，l为直线，l.求证：l.证明法一设a，b，在内任取

6、一点P，过P在内作直线ma，nb，如图.，m，n，又l，ml，nl，又mnP，l.法二如图，a，b，在内作ma，在内作nb.，m，n，mn.又n，m，m，又l，m，ml，l.规律方法1.证明或判定线面垂直的常用方法有：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a则b；(a，b为直线，为平面).(4)若a，则a；(a为直线，为平面).2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【训练2】 设平面平面，点P在平面内，过点P作平面的垂线a，试判断直线a与平面的位置关系.解如图，设c，过点P在平面内作直线bc.根据平

7、面与平面垂直的性质定理有b.因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b重合，因此a.类型三线线、线面、面面垂直的综合应用(互动探究)【例3】 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.思路探究探究点一运用面面垂直的性质定理的一般策略是什么？提示运用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线：过其中一个平面内一点作交线的垂线.这样就把面面垂直转化成线面垂直或线线垂直了.探究点二线线、线面、面面垂直关系之间有怎样的转化关系？提示证明(

8、1)在菱形ABCD中，DAB60，ABD为正三角形，又G为AD的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，BG平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)连接PG，如图，PAD为正三角形，G为AD的中点，PGAD.由(1)知BGAD，PGBGG，AD平面PGB，PB平面PGB，ADPB.规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.【训练3

9、】 如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.PA与BD是否相互垂直？请证明你的结论.解PA与BD相互垂直.证明如下：如图，取BC的中点O，连接PO、AO.PBPC，POBC，又侧面PBC底面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，PO底面ABCD，又BD平面ABCD.POBD，在直角梯形ABCD中，易证ABO BCD，BAOCBD，CBDABD90，BAOABD90，AOBD，又POAOO，BD平面PAO，BDPA，即PA与BD相互垂直.课堂小结1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”

10、与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：1.下列说法正确的是()A.垂直于同一条直线的两直线平行B.垂直于同一条直线的两直线垂直C.垂直于同一个平面的两直线平行D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析由线面垂直的性质定理知C正确.答案C2.设l是直二面角，直线a，直线b，a，b与l都不垂直，那么()A.a与b可能垂直，但不可能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能垂直，也不可能平行解析当a，b都与l平行时，则ab，所以A、D错，如图，若a

11、b过a上一点P在内作al，因为，所以a，又b，ab，b，而l，bl，与b和l不垂直矛盾，所以B错.答案C3.如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.解析侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面PAC，PA平面ABC，又AB平面ABC，PAAB，PB.答案4.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC底面ABCD，求证：平面SCD平面SBC.证明底面ABCD是矩形，BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面SCD.又BC平面SBC，平面SCD平面SBC基

12、 础 过 关1.下列命题中错误的是()A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误.答案D2.如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A.平面ABD平面ABC B.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDC D.平面ADC平面ABC解析如图，在平面图形中CD

13、BD，折起后仍然满足CDBD，由于平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，故CD平面ABD，又AB平面ABD，CDAB.又ABAD，ADCDD，故AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.答案D3.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若，m，n，则mnB.若，m，n，则mnC.若mn，m，n，则D.若m，mn，n，则解析如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1平面ABCD，BC1平面BCC1B1，BC平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误.平面A1B1C1D1平面ABCD，B1D1平面A1B1C

14、1D1，AC平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误.ABA1D1，AB平面ABCD，A1D1平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1平面ABCD，故C错误.故选D.答案D4.a，b是两条不同直线，为平面，以下命题中正确的是_(填序号).a；b；ab；b.解析中a可能在内；中b也可能与平行，正确 .答案5.若，AB，a，aAB，则a与的关系为_.解析如图，过a作平面，设b，a，ab.又aAB，bAB.又，AB，b，b，a.答案a6.如图三棱锥PABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是直角三角形，PAC90，ACP30，平面PAC平面ABC.求证：平面PAB平面PBC

15、.证明平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PAAC，PA平面PAC，PA平面ABC.又BC平面ABC，PABC.又ABBC，ABPAA，BC平面PAB.又BC平面PBC，平面PAB平面PBC.7.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以

16、四边形ABED为平行四边形.所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.又PAADA，所以CD平面PAD.又PD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.能 力 提 升8.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上 B.直

17、线BC上C.直线AC上 D.ABC内部解析连接AC1，BAC90，即ACAB，又ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1.又AC平面ABC，于是平面ABC1平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.答案A9.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有()A.与 B.与 C.与 D.与解析由SGGE，SGGF，GEGFG，得SG平面EFG，排除C、D；

18、若SE平面EFG，则SGSE，这与SGSES矛盾，排除A，故选B.答案B10.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD2，平面ABCD平面DCEF，则线段MN的长等于_.解析取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG.因为平面ABCD平面DCEF，平面ABCD平面DCEFCD，所以MG平面DCEF，由于GN平面CDEF，可得MGNG，所以MN.答案11.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD2AB2a，BDa，ACBDE，将其沿对角线BD折成直二面角.求证：(1)AB平面BCD

19、；(2)平面ACD平面ABD.证明(1)在ABD中，ABa，AD2a，BDa，AB2BD2AD2，ABD90，ABBD.又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，AB平面BCD.(2)折叠前四边形ABCD是平行四边形，且ABBD，CDBD.AB平面BCD，CD平面BCD.ABCD.ABBDB，CD平面ABD.又CD平面ACD，平面ACD平面ABD.探 究 创 新12.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1M

20、C？请证明你的结论.(1)证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条的相交直线，所以BC平面ACC1A1.(2)解取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点.由已知，O为AC1的中点.连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MD綉AC，OE綉AC，因此MD綉OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.