试求
（1）｛8，0.8｝
（2）｛｛1.9，1.901｝1.19｝
5、N为自然数，规定F（N）=3N-2例如F（4）=3×4-2=10
试求：
F
（1）+F
（2）+F（3）+F（4）+F（5）+……+F（100）的值
6、如果1=1！
1×2=2！
1×2×3=3！
……
1×2×3×4×……×100=100!
那么1！
+2！
+3！
+……+100！
的个位数字是几？
（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）
7、若“+、-、×、÷、=、（）”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。
下面四个算式
（1）8×7=8
（2）7×7×7=6
（3）（7+8+3）×9=39
（4）3×3=3
那么应该是我们通常的哪四个算式？
8、如果2*4=2×3×4×55*3=5×6×7，请按此规定计算
（1）（3*4）-（5*3）
（2）（4*4）÷（3*3）
9、规定（25）=2+5=7（123）=1+2+3=6（65）=6+5=（11）=1+1=2
则计算
（1）（56489）
（2）（92045）+（90÷5）÷（12）
10、规定64=2×2×2×2×2×2表示成F（64）=6；
243=3×3×3×3×3表示成G（243）=5；试求下面各题的值
（1）F（128）=（）
（2）F（16）=G（）
（3）F（）+G（27）=6
11、如果1=1！
1×2=2！
1×2×3=3！
……
试计算
（1）5！
（2）X！
=5040，求X
12、有一种运算符号“＆”使下列算式成立
2＆3=75＆3=134＆5=139＆7=25求995＆9=？
13、A*B=
在X*（5*1）=6中，X的值是多少？
14、对于任意的整数X、Y定义新运算“￥”X￥Y=
（其中M是一个固定的值）如果1￥2=2，那么2￥9=？
第二讲二元一次不定方程
一、学习目标：
掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。
二、基础知识：
我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。
在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。
三、例题解析：
（一）基本方法
例1、小明要买一只4元9角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？
分析：
本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。
设小明付了X枚贰角和Y枚伍角
列方程，得2X+5Y=49
方法一
1、利用奇偶性。
49是奇数，2X是偶数，那么5Y必定是奇数。
这样，Y只能取1，3，5，7，9这五个数。
2、利用最值：
所付钱中贰角和伍角的都有，而X至多为10，那么5Y不小于49—2×19=29，这样，可得Y大于6。
方法二观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。
由例1可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。
不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决
例2、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。
为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案？
分析：
解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。
注意加了限制条件以后，答案的变化。
试一试：
一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于几月几日？
例3、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？
分析：
根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。
例4、一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生1991年时多少岁？
分析与解：
设他出生于19XY年，那么
1991—19XY=1+9+X+Y
1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y
91—10X—Y=10+X+Y
（二）能力拓展
例5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。
分析：
路标上的数字是累计数。
由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。
试一试：
一个两位数，如果把数字1放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。
已知这两个三位数之差为414，求原来的两位数。
例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高，将这个长方体横切两刀，竖切两刀，得到9个长方体，这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米，求原来长方体的体积。
分析与解：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，分析可得，横切两刀，增加了4ab的面积，竖切两刀增加了4ac的面积，所以可列方程：
4ab+4ac=624。
三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。
练习
一、基本题
1、求方程6x+9y=87的自然数解。
2、求方程2x+5y=24的自然数解
3、大客车有48个座位，小客车有30个座位。
现在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆？
4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元，问大小盒子各买了多少个？
5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多54，求原来的两位数。
6、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数。
7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于10，问两种盒子各有多少个？
二、综合题
8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少？
9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。
现有一个班的学生（不足70人）来开会。
一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的长椅。
结果平均每个学生坐1.35个座位。
求有多少个学生？
思考题
10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
第三讲分数乘除法计算
分数乘除法的计算方法用字母表示为：
（a，c都不等于0）；
（a，c都不等于0）。
一、课前准备：
1、计算下列各题：
（1）
÷10÷
（2）
＋
÷
（3）
÷
×
（3）
÷9÷
（4）
÷
×
（6）
÷（
+
）
2、在□或〇里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？
（1）25×
×
=×（×）
（2）
×
×
=（×）×
（3）
×（15×
）=×（×）
（4）25
×4=×+×
（5）7×
=×〇×
（6）1
×25=×〇×
（7）54×（
-
）=×〇×
二、例题讲解
例1：
计算：
⑴
；⑵
。
【分析】认真观察这两道题的数学特点：
第
（1）题中的
与1只相差
，如果把写成
的差与37相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。
同样，第
（2）题中的27可以写成（26+1）。
练习：
“挑战自己！
”比一比，看一看，谁的方法最巧妙？
26
×
32
×
例2：
计算：
分析仔细观察因数的特点可知，
可转化为
，这样就可以利用乘法的分配律进行简算了。
练习：
计算：
例3：
计算：
【分析】把几个分数的和作为一个整体去处理，往往会使计算简便得多。
在本题中，把
与
的和作为一个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。
再利用乘法的交换律、结合律就可以很快算出结果。
例4：
计算：
⑴
；⑵
。
【分析】同学们都会计算带分数除法。
不过，看了这两题，你一定感到把带分数化成假分数太繁了。
如果我们动一下脑筋，就会发现：
可以把题
（1）中的
分成一个41的倍数与另一个较小的数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。
把题
（2）中的
化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。
例5：
计算：
例6：
计算：
一、基本练习
1、下面各题，怎样简便就怎样算。
2.“考考你”下面各题怎么算简便就怎么算？
×101-
×
÷
×
×99+
3
×2536×
（
-
）×
（
+
）×
×
+
×
-
4.分数四则混合计算：
（1）（
—
）×1000
（2）
×[（
—
）÷
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