菱形复习中难题含答案.docx

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菱形复习中难题含答案

菱形复习中难题含答案

1．菱形的概念：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2．菱形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形是轴对称图形

3．菱形的判定

（1）定义：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：

四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4．菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

（**）若菱形的一条对角线与边的夹角为25°，则这个菱形各内角的度数为．

【答案】50°、130°、50°、130°．

（**）1．菱形ABCD的周长为20，两对角线长3：

4，则菱形的面积为．

【答案】2424．

（**）2．如图，E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点，△AEF是等边三角形，且AE=AB，求∠B和∠C的度数．

【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题，易得∠B=80°和∠C=100°．

（**）菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中，共有全等的等腰三角形的对数是．

【答案】4．

（**）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）．

A．一组临边相等的四边形是菱形

B．四边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

【答案】B

（***）若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是．

答案：

120°．

（***）1．菱形的对称轴共有2条．

【答案】224．

2．已知：

如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程*2-2m*+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．

【答案】先解方程求得两根分别为2和（2m-2），再根据周长为20求得m的值为5．

（***）3．菱形的周长为20

，一条对角线长为8

，则菱形的面积为．

【答案】2424．

（**）下列命题错误的有（填写序号）．

①菱形四个角都相等．

②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形．

③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形．

④对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．

【答案】①②③．

（**）1．已知四边形ABCD中，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是（）

A．矩形B．菱形C．AC=BD的任意四边形D．平行四边形

【答案】C

（**）2．

（1）用两个边长为a的等边三角形拼成的是形．

（2）用两个全等的等腰三角形拼成的是形．

（3）用两个全等的直角三角形拼成的是形．

【答案】

（1）菱形；

（2）菱形和平行四边形；（3）矩形和平行四边形．

（**）如图，在△ABC中，AB=AC，M点是BC的中点，MG⊥AB于点G，MD⊥AC于点D，GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E，GF与DE相交于点H，求证：

四边形GMDH是菱形．

【答案】证明：

先证明四边形GMDH是平行四边形，利用等腰三角形底边中点到两腰的距离相等得出四边形GMDH是菱形．

（**）在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、DC边上的点，∠EBF=60°．

（1）判定△BEF的形状；

（2）证明你的结论．

【答案】联结BD，易证

，故

是等边三角形．

（***）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从

（1）AB=CD；

（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD

这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。

如

（1）

（2）（5）

ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：

________

ABCD是菱形；________

ABCD是菱形。

【答案】

（1）

（2）（6）或（3）（4）（5）或（3）（4）（6）

（***）□ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：

①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD④AO=DO，

使得□ABCD是菱形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C．

（***）下列图形中，不一定为菱形的是（　　）．

A．两条对角线互相垂直平分的四边形

B．四条边都相等的四边形

C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形

D．用两个边长相等的等边三角形拼成的图形

【答案】D．

（***）1．如图，在

中，点

分别在边

，

，

上，

且

，

．下列四个判断中，不正确的是（　　）

A．四边形

是平行四边形

B．如果

，则四边形

是矩形

C．如果

平分

，则四边形

是菱形

D．如果

且

，则四边形

是矩形

【答案】D．

（***）2．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F．

（1）求证：

△DOE≌△BOF；

（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．

【答案】

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴OD＝OB，AB∥CD,

∴∠E＝∠F，

∵∠DOE＝∠BOF

∴△DOE≌△BOF．

（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，

利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定定理即可证明．

1．熟练掌握菱形的概念、性质和判定是解题的关键，也是区别矩形、正方形的基础．

2．几何证明需要读题仔细，挖掘隐含的结论从而推导结论．

3．要想真正学好四边形，需要一定的练习量才能产生质变．

1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）．

A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DA

C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDD．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD

2．已知点A、B、C、D在同一平面内，下面列有6个条件：

①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥CD，④BC=AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DAB与∠DCB．从这6个条件中选出（直接填写序号）___________3个，能使四边形ABCD是菱形．

3．已知：

如图，在

ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，与AD、BC相交于点E、F，求证：

四边形AFCE是菱形．

4．已知：

如图，在

ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF∥AB，与AD相交于点F，求证：

四边形ABEF是菱形．

5．如图，将一*矩形纸片ABCD先折出一条对角线AC，再将点A与点C重合折出折痕EF，最后分别沿AE、CF折叠．得到的四边形AECF是什么样的四边形？

试证明你的猜想．与第3题对照，你有什么发现？

6．结合所给的图形，编一道几何证明题，证明四边形AEDF是菱形．并利用所给的条件，写出“已知”“求证”和“证明”的过程．

7．已知：

如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=30°，求证：

．

8．已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点M，AN平分∠DAC，交BC于点N．求证：

四边形AMNE是菱形．

答案：

1．C2．（答案不惟一，只要正确即可）①②⑤或③④⑤等．

3．可证出△AEO≌△CFO，得AE=CF．再由AC是EF的垂直平分线，得EC=EA，AF=CF．

由此得EC=AF=CF，所以四边形AFCE是菱形．

4．先证四边形ABEF是平行四边形，再由AE平分∠BAF，得∠FAE=∠BAE．

又由∠FAE=∠AEB，得∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，所以

ABEF是菱形．

5．四边形AECF是菱形，无论原图形是什么图形，只要能得到平行四边形，

在此基础上满足“对角线相互垂直”，该平行四边形就一定是菱形．

6．（答案不惟一，只要合理，符合题意即可）略．

7.过点C作CE⊥BA，垂足为E．在Rt△BEC中，∠ABC=30°，

∴

，∵四边形ABCD为菱形，

∴

．

．

又∵

，∴

．

8.证明：

∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°，∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C，

∵AN平分∠DAC，∴∠CAN=∠DAN，

∵∠BAN=∠BAD+∠DAN，∠BNA=∠C+∠CAN，∴∠BAN=∠BNA，

∵BE平分∠ABC，∴BE⊥AN，OA=ON，同理：

OM=OE，

∴四边形AMNE是平行四边形，∴四边形AMNE是菱形。

知识结构

菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

菱形的性质：

1、菱形具有平行四边形的所有性质：

2、菱形的性质定理1菱形的四条边都相等．

菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

菱形的对称性菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等与对角线乘积的一半

菱形的判定定理：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义作为第一判定）

四条边相等的四边形是菱形．

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

一、菱形的性质

菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（　　）（**）

A．

60°

B．

45°

C．

30°

D．

15°

解答方法：

菱形的周长为边长的4倍，

又∵菱形周长为高的8倍，

∴AB=2AE，

∵△ABE为直角三角形，

∴∠ABC=30°．

故选C．

答案：

本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．

菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（　　）（**）

A．

60°

B．

15°

C．

30°

D．

90°

解答方法：

因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，

可得该菱形较小内角的度数是60°．

解答：

如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，则这个菱形较小的一个内角等于度．（**）

解答方法：

∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，

∴AB=BD=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠A=60°．

即这个菱形较小的一个内角等于60°．

解答：

60

已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：

∠AFD=∠CBE．（**）

答案：

证明：

∵　四边形ABCD是菱形，

∴

．

∴

∴△BCE≌△COB（SAS）．

∴∠CBE=∠CDE．

∵　在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC

∴∠AFD=∠CBE．

通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。

1、如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．

求证：

AB与EF互相平分．（**）

解题分析：

连接BD，AF，BE，

在菱形ABCD中，AC⊥BD

∵EF⊥AC，

∴EF∥BD，又ED∥FB，

∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF，

∵E为AD的中点，

∴AE=ED，∴AE=BF，

又AE∥BF，

∴四边形AEBF为平行四边形，

即AB与EF互相平分．

2、已知：

如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．（**）

解答方法：

连接BD．∵在菱形ABCD中，

∴AD∥BC，AC⊥BD．

又∵EF⊥AC，

∴BD∥EF．

∴四边形EFBD为平行四边形．

∴FB=ED=2．

∵E是AD的中点．

∴AD=2ED=4．

∴菱形ABCD的周长为4×4=16．

如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，

则∠CEF=　_________　．（***）

解题分析：

连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，

∵∠B=∠EAF=60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD=120°，

∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°，

∵∠BAE+∠EAC=∠FAC+∠EAC，∴∠BAE=∠FAC，

∴

∴△ABE≌△ACF，（ASA）∴AE=AF，

又∵∠EAF=∠D=60°，∴△AEF是等边三角形，

∴∠AFE=60°，又∠AEC=∠B+∠BAE=78°，

则∠CEF=78°﹣60°=18°．

故答案为：

18°．

答案：

18°

答案：

18°

菱形的性质定理1菱形的四条边都相等．

菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为_________．（***）

解答方法：

连接AC，

在菱形ABCD中，AB=CB，∵∠B=60°，

∴∠BAC=60°，△ABC是等边三角形，

∵∠EAF=60°，∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC，即：

∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，

又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，

∴∠AFE=60°，又∠AEC=∠B+∠BAE=80°，

则∠CEF=80°﹣60°=20°．

故答案为20°．

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB．求证：

四边形AEDF是菱形．（**）

解答分析：

∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，

∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，

∴∠FAD=∠FDA

∴AF=DF，

∴四边形AEDF是菱形．

菱形的判定定理：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义作为第一判定）

四条边相等的四边形是菱形．

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E、F，并且DE=DF．求证：

四边形ABCD是菱形．（**）

解题分析：

在△ADE和△CDF中，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，

∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．

又∵DE=DF，

∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，

∴平行四边形ABCD是菱形．

（2014秋•胶南市校级期末）如图：

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．

求证：

四边形AEFG是菱形．

考点：

菱形的判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

根据三角形内角和定理求出∠B=∠CAD，根据角平分线性质求出AE=EF，由勾股定理求出AC=CF，证△ACG≌△FCG，推出∠CAD=∠CFG，得出∠B=∠CFG，推出GF∥AB，AD∥EF，得出平行四边形，根据菱形的判定判断即可．

解答：

证明：

证法一：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），

∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵CE=CE，

∴由勾股定理得：

AC=CF，

∵△ACG和△FCG中

，

∴△ACG≌△FCG，

∴∠CAD=∠CFG，

∵∠B=∠CAD，

∴∠B=∠CFG，

∴GF∥AB，

∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴AD∥EF，

即AG∥EF，AE∥GF，

∴四边形AEFG是平行四边形，

∵AE=EF，

∴平行四边形AEFG是菱形．

证法二：

∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，

∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，

∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，

∴∠1=∠2，

∵AD∥EF，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴AG=AE，

∵AE=EF，

∴AG=EF，

∵AG∥EF，

∴四边形AGFE是平行四边形，

∵AE=EF，

∴平行四边形AGFE是菱形．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，题目比较好，综合性也比较强．

菱形的判定定理：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义作为第一判定）

四条边相等的四边形是菱形．

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．求证：

①AE=AG；②四边形AEFG为菱形．（**）

解答方法：

①∵BG平分∠ABC，

∴∠ABE=∠DBE，

∵∠ABE+∠AGE=90°，∠EBD+∠DEB=90°，∠GEA=∠BED，

∴∠AEG=∠EGA，

即AG=AE．

②∵GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，

∴AD∥GF，AG=GF，

又∵AG=AE，∴AE=GF，

∴四边形AEFG是平行四边形，

又∵AG=AE，

∴四边形AEFG为菱形

1.（2015•**）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．

（1）求证：

CF=CH；

（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？

并证明你的结论．

考点：

菱形的判定；全等三角形的判定与性质．

专题：

几何综合题．

分析：

（1）要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；

（2）根据△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形．

解答：

（1）证明：

∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．

在△BCF和△ECH中，

，

∴△BCF≌△ECH（ASA），

∴CF=CH（全等三角形的对应边相等）；

（2）解：

四边形ACDM是菱形．

证明：

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，

∴∠1=∠2=45°．

∵∠E=45°，

∴∠1=∠E，

∴AC∥DE，

∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，

又∵∠A=∠D=45°，

∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），

∵AC=CD，

∴四边形ACDM是菱形．

点评：

菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

①定义；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．

2.（2015•黄冈模拟）已知：

如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．

求证：

四边形BCFE是菱形．

考点：

菱形的判定．

专题：

证明题．

分析：

由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．

解答：

解：

∵BE=2DE，EF=BE，

∴EF=2DE．

∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴BC=2DE且DE∥BC．

∴EF=BC．

又EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形．

又EF=BE，

∴四边形BCFE是菱形．

点评：

此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性质和判定．

3（2014•**县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，

求证：

CE=CF．

考点：

菱形的性质；角平分线的性质．

专题：

证明题．

分析：

连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，再根据角平分线的性质可得CE=FC．

解答：

证明：

连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC平分∠DAE，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=FC．

点评：

此题主要考查了菱形的性质，以及角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

一、能力检测

（2014•**质检）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．

（1）对角线AC的长是　12　，菱形ABCD的面积是　96　；

（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？

请说明理由；

（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？

若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．

考点：

菱形的性质．

分析：

（1）连接AC与BD相交于点G，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根据AC=2AG计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；

（2）连接AO，根据S△ABD=S△ABO+S△ADO列式计算即可得解；

（3）连接AO，根据S△ABD=S△ABO﹣S△ADO列式整理即可得解．

解答：

解：

（1）如图，连接AC与BD相交于点G，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=

BD=

×16=8，

由勾股定理得，AG=

=

=6，

∴AC=2AG=2×6=12，

菱形ABCD的面积=

AC•BD=

×12×16=96；

故答案为：

12；96；

（2）如图1，连接AO，则S△ABD=S△ABO+S△ADO，

所以，

BD•AG=

AB•OE+

AD•OF，

即

×16×6=

×10•OE+

×10•OF，

解得OE+OF=9.6是定值，不变；

（3）如图2，连接AO，则S△ABD=S△ABO﹣S△ADO，

所以，

BD•AG=

AB•OE﹣

AD•OF，

即

×16×6=

×10•OE﹣

×10•OF，

解得OE﹣OF=9.6，是定值，不变，

所以，OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：

OE﹣OF=9.6．

点评：

本题考查了菱形的性质，三角形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，

（2）（3）作辅助线构造出两个三角形是解题的关键．

二、典型例题

（2015•乐陵市模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：

　AH=AB　；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，

（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？

如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用

（2）得到的结论）

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与