商水一高学年度高二下期中数学理试题及答案.docx

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商水一高学年度高二下期中数学理试题及答案

商水一高2019—2019学年度高二下学期期中考试

高二数学（理）试题

第Ⅰ卷　选择题（共60分）

一、选择题：

（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）

1．设a是实数，且＋是实数，则a＝（　　）

A.　　　　　B．－1C．1D．2

2．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（　　）

A．（34,34）B．（43,34）C．（34,43）D．（43,43）

3．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点（1,2）及附近一点（1＋Δx，2＋Δy），则为（　　）

A．Δx＋＋2B．Δx－－2C．Δx＋2D．2＋Δx－

4．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2＋1）是奇函数，以上推理（）

A．结论正确B．大前提不正确C．全不正确D．小前提不正确

5．下列函数求导运算正确的个数为（　　）

①（3x）′＝3xlog3e；②（log2x）′＝；③（ex）′＝ex；

④（）′＝x；⑤（x·ex）′＝ex＋1.

A．1B．2C．3D．4

6．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.

其中能推出：

“a，b中至少有一个大于1”的条件是（　　）．

A．②③B．①②③C．③D．③④⑤

7．函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g（x）＝在区间

（1，＋∞）上一定（　　）

A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数

8．如图，圆O：

x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（　　）

A.B.C.D.

9．对于在R上可导的任意函数f（x），若满足（x－a）f′（x）≥0，则必有（　　）

A．f（x）≥f（a）B．f（x）≤f（a）C．f（x）＞f（a）D．f（x）＜f（a）

10．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（　　）

A．18B．24C．30D．36

11．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值（）

A.aB．aC.aD．a

12．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：

①f（x）的解析式为f（x）＝x3－4x，x∈[－2,2]；

②f（x）的极值点有且仅有一个；

③f（x）的最大值与最小值之和等于0.

其中正确的结论有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：

（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若f（x）＝xsinx＋cosx，则f（－3），f（），f

（2）的大小关系为________．

14．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：

23＝，33＝，43＝，……仿此，若m3的“分裂数”中有一个数是59，则m的值为________．

15．用5种不同颜色给右图中的4个区域涂色，每个区域涂1种颜色，相邻区域不能同色，求不同的涂色方法共有多少种？

1

4

2

3

16.下面有4个命题：

①当x＞0时，2x＋的最小值为2；

②若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；

③将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y＝sin（2x－）的图象；

④在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝；类比到空间，若三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S—ABC的外接球的半径R＝.

其中错误命题的序号为________．

三、解答题：

（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17.（本题10分）设有抛物线C：

y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限，求切线方程．

18．（本题12分）某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）＝3700x＋45x2－10x3（单位：

万元），成本函数为C（x）＝460x＋5000（单位：

万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）的定义为Mf（x）＝f（x＋1）－f（x）．

（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：

利润＝产值－成本）

（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

19．（本题12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1（n∈N*）．

（1）求a1，a2；

（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．

20．（本题12分）已知函数f（x）＝在x＝1处取得极值2.

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m,2m＋1）上单调递增？

21．（本题12分）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，直线l1：

x＝2，直线l2：

y＝－t2＋8t（其中0≤t≤2，t为常数），若直线l1，l2与函数f（x）的图象以及l1、l2、y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示．

（1）求a、b、c的值；

（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式．

22．（本题12分）已知函数f（x）＝x2＋alnx.

（1）当a＝－2时，求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若g（x）＝f（x）＋在[1，＋∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

2019—2019学年度高二下期期中试题

高二数学（理）试题答案

一、选择题：

1.解析：

选B.由＋＝＝是实数得，a＋1＝0，a＝－1，选B.

2.解析：

选C.每名学生报名有3种选择，4名学生有34种选择；每项冠军有4种可能归属，3项冠军有43种可能结果．

3．D

4.【解析】f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函数，∴上述推理过程中小前提不正确．

【答案】C

5.【解析】　①（3x）′＝3xln3；②（log2x）′＝；③（ex）′＝ex；④（）′＝－＝－；⑤（x·ex）′＝ex＋x·ex＝ex（x＋1），故选B.

【答案】　B

6.解析　若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；

对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，

反证法：

假设a≤1且b≤1，

则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，

因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.

答案　C

7.【解析】　由函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小值，可得a的取值范围为a＜1，又g（x）＝＝x＋－2a，

则g′（x）＝1－，

易知在x∈（1，＋∞）上g′（x）＞0，

所以g（x）为增函数．

【答案】　D

8.[解析]　依题意得，区域M的面积等于2sinxdx＝－2cosx＝4，圆O的面积等于π×π2＝π3，因此点A落在区域M内的概率是，选B.

[答案]　B

9.【解析】　由（x－a）f′（x）≥0知，当x＞a时，f′（x）≥0；当x＜a时，f′（x）≤0.

∴当x＝a时，函数f（x）取得最小值，则f（x）≥f（a）．

【答案】　A

10.【解析】　间接法：

四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C，顺序有A种，而甲、乙被分在同一个班的有A种．

所以种数是CA－A＝30.

【答案】　C

11.【解析】正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为a2，正四面体的体积为a3，

则有×a2（h1＋h2＋h3＋h4）＝a3，

得h1＋h2＋h3＋h4＝a.

【答案】A

12.解析：

选C.∵f（0）＝0，∴c＝0，

∵f′（x）＝3x2＋2ax＋b.

∴，即.

解得a＝0，b＝－4，

∴f（x）＝x3－4x，∴f′（x）＝3x2－4.

令f′（x）＝0，得x＝±∈[－2,2]，

∴极值点有两个．

∵f（x）为奇函数，∴f（x）max＋f（x）min＝0.

∴①③正确，故选C.

二、填空题：

13.【解析】　由f（－x）＝f（x）知，函数f（x）为偶函数，因此f（－3）＝f（3）．

又f′（x）＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，

x∈（，π）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在区间（，π）上是减函数，∴f（）＞f

（2）＞f（3）＝f（－3）．

【答案】　f（－3）＜f

（2）＜f（）

14.[解析]　依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9，…，且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2开始的前n个正整数的立方共用去数列{2n－1}中的项数是－1，数列{2n－1}（n∈N*）中的第项是n（n＋1）－1.注意到7×8－1<59<8×9－1，因此m＝8.

[答案]　8

15.解：

分两类：

1,3不同色，则有5×4×3×2＝120种涂法（按1→2→3→4的顺序涂）；1,3同色，则有5×4×1×3＝60种涂法（顺序同上）．故共有180种涂法．

[答案]180

16.【解析】对于①，2x＋取得最小值为2的条件是x＝0，这与x＞0相矛盾；对于③，将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y＝sin2（x－）＝sin（2x－）的图象；易证②成立；对于④，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．

【答案】①③

三、解答题：

17.【解】　设点P的坐标为（x1，y1），则y1＝kx1①

y1＝－x＋x1－4②

①代入②得x＋（k－）x1＋4＝0.

∵P为切点，

∴Δ＝（k－）2－16＝0得k＝或k＝...........6分

当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.

当k＝时，x1＝2，y1＝1.

∵P在第一象限，

∴所求的斜率k＝.

故所求切线方程为y＝x...............10分

18.解：

（1）P（x）＝R（x）－C（x）＝－10x3＋45x2＋3240x－5000（x∈N*，且1≤x≤20）；

MP（x）＝P（x＋1）－P（x）＝－30x2＋60x＋3275（x∈N*，且1≤x≤19）．........4分

（2）P′（x）＝－30x2＋90x＋3240＝－30（x－12）（x＋9），

∵1≤x≤20，x∈N*，∴P′（x）＝0时，x＝12，

当1≤x<12，且x∈N*时，P′（x）>0，

当12

∴x＝12时，P（x）有最大值．

即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．..............8分

（3）MP（x）＝－30x2＋60x＋3275＝－30（x－1）2＋3305.

所以当x≥1时，MP（x）单调递减，

所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.

MP（x）是减函数的实际意义是：

随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润相比，在减少．..............12分

19.【解】

（1）当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，

∴（a1－1）2－a1（a1－1）－a1＝0，

解得a1＝.当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根

为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，

∴（a2－）2－a2（a2－）－a2＝0，解得a2＝...............4分

（2）由题意知（Sn－1）2－an（Sn－1）－an＝0，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得

SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.

由

（1）得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.

猜想Sn＝（n∈N*）．..............8分

下面用数学归纳法证明这个结论．

①当n＝1时，结论成立．

②假设n＝k（k∈N*，k≥1）时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，

Sk＋1＝＝＝.

即当n＝k＋1时结论成立．

由①②知Sn＝对任意的正整数n都成立．..............6分

20.解：

（1）因为f′（x）＝，而函数f（x）＝在x＝1处取得极值2，

所以即

解得

所以f（x）＝即为所求．..............6分

（2）由

（1）知f′（x）＝

＝.

令f′（x）＝0得x1＝－1，x2＝1，

则f（x）的增减性如下表：

x

（－∞，－1）

（－1,1）

（1，＋∞）

f′（x）

－

＋

－

f（x）

↘

↗

↘

可知，f（x）的单调增区间是[－1,1]，

所以

所以当m∈（－1,0]时，函数f（x）在区间（m,2m＋1）上单调递增．..............12分

21.【解】　

（1）由图形可知二次函数的图象过点（0,0），（8,0），并且f（x）的最大值为16，则

解得

∴函数f（x）的解析式为f（x）＝－x2＋8x...............6分

（2）由得x2－8x－t（t－8）＝0，

∴x1＝t，x2＝8－t，

∵0≤t≤2，∴直线l2与f（x）的图象的交点坐标为（t，－t2＋8t）由定积分的几何意义知：

S（t）＝[（－t2＋8t）－（－x2＋8x）]dx＋[（－x2＋8x）－（－t2＋8t）]dx

＝[（－t2＋8t）x－（－＋4x2）]＋[（－＋4x2）－（－t2＋8t）x]

＝－t3＋10t2－16t＋...............12分

22.解：

（1）易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞）．

当a＝－2时，f（x）＝x2－2lnx，f′（x）＝2x－＝.

当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

x

（0,1）

1

（1，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

f（x）

递减

极小值

递增

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0,1），单调递增区间是（1，＋∞），极小值是f

（1）＝1...............6分

（2）由g（x）＝x2＋alnx＋，得g′（x）＝2x＋－.

若函数g（x）为[1，＋∞）上的单调增函数，则g′（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞）上恒成立．也即a≥－2x2在[1，＋∞）上恒成立．

令φ（x）＝－2x2，则φ′（x）＝－－4x.

当x∈[1，＋∞）时，φ′（x）＝－－4x＜0，

∴φ（x）＝－2x2在[1，＋∞）上为减函数，

∴φ（x）max＝φ

（1）＝0.

∴a≥0，即a的取值范围为[0，＋∞）．..............12分