1、商水一高学年度高二下期中数学理试题及答案商水一高20192019学年度高二下学期期中考试高二数学(理)试题第卷选择题(共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1设a是实数,且是实数,则a()A.B1 C1 D22设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种,这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种,则(a,b)为()A(34,34) B(43,34) C(34,43) D(43,43)3在曲线yx21的图象上取一点(1,2)及附近一点(1x,2y),则为 ()Ax2
2、Bx2 Cx2 D2x4正弦函数是奇函数,f(x)sin(x21)是正弦函数,因此f(x)sin(x21)是奇函数,以上推理( )A结论正确 B大前提不正确 C全不正确 D小前提不正确5下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e; (log2x); (ex)ex;()x; (xex)ex1.A1 B2 C3 D46设a,b是两个实数,给出下列条件:ab1;ab2;ab2;a2b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是 ()A B C D7函数f(x)x22axa在区间(,1)上有最小值,则函数g(x)在区间(1,)上一定()A有最小值 B有最大值 C是减函数
3、D是增函数8如图,圆O:x2y22内的正弦曲线ysinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是()A. B. C. D. 9对于在R上可导的任意函数f(x),若满足(xa)f(x)0,则必有()Af(x)f(a) Bf(x)f(a) Cf(x)f(a) Df(x)f(a)10将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为()A18 B24 C30 D3611我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a,类比上述结论,在边长为a的正四面体内任一点到其四个面
4、的距离之和为定值( )A.a Ba C.a Da12已知函数f(x)x3ax2bxc,x2,2表示的曲线过原点,且在x1处的切线斜率均为1,给出以下结论:f(x)的解析式为f(x)x34x,x2,2;f(x)的极值点有且仅有一个;f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有()A0个 B1个 C2个 D3个第卷(非选择题 共90分)二、填空题:(本大题共4小题, 每小题5分,共20分)13若f(x)xsin xcos x,则f(3),f(),f(2)的大小关系为_14对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23,33,43,仿此,若m3的“分裂数”中有一个数是59,
5、则m的值为_15用5种不同颜色给右图中的4个区域涂色,每个区域涂1种颜色,相邻区域不能同色,求不同的涂色方法共有多少种? 142316.下面有4个命题:当x0时,2x的最小值为2;若双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为yx,且其一个焦点与抛物线y28x的焦点重合,则双曲线的离心率为2;将函数ysin2x的图象向右平移个单位,可以得到函数ysin(2x)的图象;在RtABC中,ACBC,ACa,BCb,则ABC的外接圆半径r;类比到空间,若三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,且长度分别为a、b、c,则三棱锥SABC的外接球的半径R.其中错误命题的序号为_三、解答题:(本大题
6、共6小题,满分70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. (本题10分)设有抛物线C:yx2x4,过原点O作C的切线ykx,使切点P在第一象限,求切线方程18(本题12分)某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)3700x45x210x3(单位:万元),成本函数为C(x)460x5000(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(提示:利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调
7、递减在本题中的实际意义是什么?19(本题12分)设数列an的前n项和为Sn,且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1,a2;(2)猜想数列Sn的通项公式,并给出证明20(本题12分)已知函数f(x)在x1处取得极值2.(1)求函数f(x)的表达式;(2)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增?21(本题12分)已知二次函数f(x)ax2bxc,直线l1:x2,直线l2:yt28t(其中0t2,t为常数),若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l1、l2、y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示(1)求a、b、c的值;(2)求阴影面
8、积S关于t的函数S(t)的解析式 22(本题12分)已知函数f(x)x2alnx.(1)当a2时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若g(x)f(x)在1,)上是单调增函数,求实数a的取值范围20192019学年度高二下期期中试题高二数学(理)试题答案一、选择题:1.解析:选B.由是实数得,a10,a1,选B.2.解析:选C.每名学生报名有3种选择,4名学生有34种选择;每项冠军有4种可能归属,3项冠军有43种可能结果3D4.【解析】f(x)sin(x21)不是正弦函数,上述推理过程中小前提不正确【答案】C5.【解析】(3x)3xln 3;(log2x);(ex)ex;();(xex)ex
9、xexex(x1),故选B.【答案】B6.解析若a,b,则ab1,但a1,b2,故推不出;若a2,b3,则ab1,故推不出;对于,即ab2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1且b1,则ab2,与ab2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.答案C7.【解析】由函数f(x)x22axa在区间(,1)上有最小值,可得a的取值范围为a1,又g(x)x2a,则g(x)1,易知在x(1,)上g(x)0,所以g(x)为增函数【答案】D8.解析依题意得,区域M的面积等于2sinxdx2cosx4,圆O的面积等于23,因此点A落在区域M内的概率是,选B.答案B9.【解析】由(xa)f(x)0
10、知,当xa时,f(x)0;当xa时,f(x)0.当xa时,函数f(x)取得最小值,则f(x)f(a)【答案】A10.【解析】间接法:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C,顺序有A种,而甲、乙被分在同一个班的有A种所以种数是CAA30.【答案】C11.【解析】正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥,它们的体积之和为正四面体的体积,设点到四个面的距离分别为h1,h2,h3,h4,每个面的面积为a2,正四面体的体积为a3,则有a2(h1h2h3h4)a3,得h1h2h3h4a.【答案】A12.解析:选C.f(0)0,c0,f(x)3x22axb.,即.解得a0,b4,f(x)x34x,f(x)3
11、x24.令f(x)0,得x2,2,极值点有两个f(x)为奇函数,f(x)maxf(x)min0.正确,故选C.二、填空题:13.【解析】由f(x)f(x)知,函数f(x)为偶函数,因此f(3)f(3)又f(x)sin xxcos xsin xxcos x,当x(0,)时,f(x)0,x(,)时,f(x)0,f(x)在区间(,)上是减函数,f()f(2)f(3)f(3)【答案】f(3)f(2)f()14.解析依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9,且相应的加数的个数与对应的底数相同,易知从2开始的前n个正整数的立方共用去数列2n1中的项数是1,数列2n1(nN*)中的第项是n(n1)
12、1.注意到78159891,因此m8.答案815.解:分两类:1,3不同色,则有5432120种涂法(按1234的顺序涂);1,3同色,则有541360种涂法(顺序同上)故共有180种涂法答案 18016.【解析】对于,2x取得最小值为2的条件是x0,这与x0相矛盾;对于,将函数ysin2x的图象向右平移个单位,可以得到函数ysin2(x)sin(2x)的图象;易证成立;对于,可将该三棱锥补成长方体,其外接球的直径恰好是长方体的体对角线【答案】三、解答题:17.【解】设点P的坐标为(x1,y1),则y1kx1y1xx14代入得x(k)x140.P为切点,(k)2160得k或k.6分当k时,x1
13、2,y117.当k时,x12,y11.P在第一象限,所求的斜率k.故所求切线方程为yx. .10分18.解:(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000(xN*,且1x20);MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275(xN*,且1x19).4分 (2)P(x)30x290x324030(x12)(x9),1x20,xN*,P(x)0时,x12,当1x0,当12x20,且xN*时,P(x)0,x12时,P(x)有最大值 即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大.8分(3)MP(x)30x260x327530(x1)23305.所以当x1时,MP(x)单调递减
14、,所以单调减区间为1,19,且xN*.MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘船的利润与前一艘船的利润相比,在减少.12分19.【解】(1)当n1时,方程x2a1xa10有一根为S11a11,(a11)2a1(a11)a10,解得a1.当n2时,方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2,(a2)2a2(a2)a20,解得a2.4分(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0,当n2时,anSnSn1,代入上式整理得SnSn12Sn10,解得Sn.由(1)得S1a1,S2a1a2.猜想Sn(nN*).8分下面用数学归纳法证明这个结论 当n1时,结论成立假设nk(kN*,k1
15、)时结论成立,即Sk,当nk1时,Sk1.即当nk1时结论成立由知Sn对任意的正整数n都成立.6分20.解:(1)因为f(x),而函数f(x)在x1处取得极值2,所以即解得所以f(x)即为所求.6分(2)由(1)知f(x).令f(x)0得x11,x21,则f(x)的增减性如下表:x(,1)(1,1)(1,)f(x)f(x) 可知,f(x)的单调增区间是1,1,所以所以当m(1,0时,函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增.12分21.【解】(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,则解得函数f(x)的解析式为f(x)x28x. .6分(2)由得x
16、28xt(t8)0,x1t,x28t,0t2,直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t,t28t)由定积分的几何意义知:S(t)(t28t)(x28x)dx(x28x)(t28t)dx(t28t)x(4x2)(4x2)(t28t)xt310t216t.12分22.解:(1)易知函数f(x)的定义域为(0,)当a2时,f(x)x22lnx,f(x)2x.当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)递减极小值递增由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,),极小值是f(1)1. .6分(2)由g(x)x2alnx,得g(x)2x.若函数g(x)为1,)上的单调增函数,则g(x)0在1,)上恒成立,即不等式2x0在1,)上恒成立也即a2x2在1,)上恒成立令(x)2x2,则(x)4x.当x1,)时,(x)4x0,(x)2x2在1,)上为减函数,(x)max(1)0.a0,即a的取值范围为0,).12分
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