OI基本算法总结.docx
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OI基本算法总结
语言部分
一、常用函数与过程：
*abs（x）:
y
取x的绝对值，x与y可为整型或实型。
*frac（x）:
y
取x的小数部分，x与y均为实型。
*int（x）:
y
取x的整数部分，x与y均为实型，常写成trunc（int（x））.
*random（x）:
y
在0-x之间的整数中随机找一个整数，x与y均为整型。
*sin（x）:
y;cos（x）:
y;arctan（x）:
y;exp（x）:
y;ln（x）:
y
均与数学运算一致,三角函数返回的均为弧度,转换成角度即乘以Pi除以180.
*copy（str,n1,n2）:
substr
从字符串str中取从第n1个字符开始长度为n2个字符的子串substr.n1和n2是整型表达式，如果n1大于s的长度，则返回空字符串。
如果指定的n2大于第n1个字符后剩下的字符数，则返回剩下的字符串。
*pos（substr,str）:
num
查找substr是否为str的子串，若是则返回substr在str中的起始位置，若否则返回0.
*val（str,int,code）
将字串str转为数值型数据存入int,如果字符串无效，其中非法字符的下标放在Code中；否则，code为零。
*str（num,str）
将num表达式转成字符串str。
*delete（str,n1,n2）
从原字符串str中删去一个从n1开始长度为n2的子串，如果Index比s长，不删除任何字符。
如果指定的Count大于从第1ndex大到结尾的字符数，删除剩余部分。
*Insert（Source：
String；VarS：
String；Index：
Integer）
Source是字符串表达式。
S是任意长度的字符串变量。
Index是整型表达式。
过程Insert把字符串Source插入字符串S中第1ndex个字符开始的位置上。
如果字符串比255个字符长，则将第255后面的字符截去。
．*FileSize（varf:
text）:
longint
返回文件字节数。
*Flush（f:
text）
如果正文文件由Rewr比和Append打开用来输出，则对F1ush的调用将腾空文件缓冲区，这保证写向文件的字符实际写到外部文件上。
Flush对打开用来输入的文件没有作用。
二、小技巧
1.ord（'0'）=48;ord（'A'）:
=65;ord（'a'）=97;chr（32）=’‘;chr（33）=’!
’;
2.求x^y:
int（exp（y*ln（x）））
3.求x的n次方根：
exp（1/n*ln（x））
4.标识符不能以数字开头，其中不能有空格，点等符号。
5.说明部分顺序：
Lable->Const->type->Var->Procedure（Function）
6.通常编译器只能识别标识符的前8个字符。
7.规定false=0,true=1;
8.除实型外其他均为左留空，右看齐，实型向小数点看齐。
9．实型默认场宽：
17位
符号位+11位数字与一位小数点+’E+00’
数学部分
一、常见递推关系
1.Fibonacci数列
A
（1）=1;A
（2）=1;
A（n）=A（n-1）+A（n-2）;
2.Catalan数：
考虑具有n个结点不同形态的二叉树的个数H（n）
H（0）=1;
H（n）=H（0）H（n-1）+H
（1）H（n-2）+H
（2）H（n-3）…+H（n-2）H
（1）+H（n-1）H（0）;
->H（n）=（1/（n+1））*C（n,2n）
3.第二类Stirling数：
s（n,k）表示含n个元素的集合划分为k个集合的情况数
A.分类：
集合{An}存在，则有s（n-1,k-1）;不存在则An和放入k个集合中的任意一个，共k*s（n-1,k）种。
0（k=0orns（n,k）={
s（n-1,k-1）+k*s（n-1,k）（n>k>=1）
*:
求一个集合总的划分数即为sigema（k=1..n）s（n,k）.
4．数字划分模型
*NOIP2001数的划分
将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同（不考虑顺序）。
d[0,0]:
=1;
forp:
=1tondo
fori:
=ptondo
forj:
=kdownto1doinc（d[i,j],d[i-p,j-1]）;
writeln（d[n,k]）;
*变形1：
考虑顺序
d[i,j]:
=d[i-k,j-1]（k=1..i）
*变形2：
若分解出来的每个数均有一个上限m
d[i,j]:
=d[i-k,j-1]（k=1..m）
5．错位排列
d[1]=0;d[2]=1;
d[n]=（n-1）*（d[n-1]+d[n-2]）
二、图论与计算几何
1．度边定理：
sigemadi=2*E
2．.三角形面积
|x1y11|
s=|x2y21|=x1y2+x2y3+x3y1-x3y2-x2y1-x1y3
|x3y31|
*海伦公式：
令p=（a+b+c）/2,则S=sqrt（p*（p-a）*（p-b）*（p-c））;
三、组合公式
1．长度为n的0-1串中最多含k个1的
例长度为N（N<=31）的01串中1的个数小于等于L的串组成的集合中找出按大小排序后的第I个01串。
2给定序列入栈出栈后可形成的情况总数为C（n,2n）–C（n-1,2n）+1.
例fjoi2000
在一个列车调度站中，2条轨道连接到2条侧轨处，形成2个铁路转轨站，如下图所示。
其中左边轨道为车皮入口，右边轨道为出口。
编号为1，2，……，n的N个车皮从入口依次进入转轨站，由调度室安排车皮进出栈次序，并对车皮按其出栈次序重新编序a1,a2,……,an。
给定正整数N（1<=n<=300），编程计算右边轨道最多可以得到多少个不同的车皮编序方案。
例如当n=3时，最多得到6组不同的编序方案。
四、数论公式
1．模取幂a^bmodn=（..（amodb）*a）modb）*a..）modb;
2．n的约数的个数
若n满足n=a1^n1*a2^n2*a3^n3*...*am^nm,则n约数的个数为
（n1+1）（n2+1）（n3+1）...（nm+1）
3．费马小定理
若n为质数p^n=p（modn）
算法部分
一、数论算法
1．求两数的最大公约数
functiongcd（a,b:
integer）:
integer;
begin
ifb=0thengcd:
=a
elsegcd:
=gcd（b,amodb）;
end;
2．求两数的最小公倍数
functionlcm（a,b:
integer）:
integer;
begin
ifalcm:
=a;
whilelcmmodb>0doinc（lcm,a）;
end;
3．素数的求法
A.小范围内判断一个数是否为质数：
functionprime（n:
integer）:
Boolean;
varI:
integer;
begin
forI:
=2totrunc（sqrt（n））do
ifnmodI=0thenbegin
prime:
=false;exit;
end;
prime:
=true;
end;
B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）：
proceduregetprime;
var
i,j:
longint;
p:
array[1..50000]ofboolean;
begin
fillchar（p,sizeof（p）,true）;
p[1]:
=false;
i:
=2;
whilei<50000dobegin
ifp[i]thenbegin
j:
=i*2;
whilej<50000dobegin
p[j]:
=false;
inc（j,i）;
end;
end;
inc（i）;
end;
l:
=0;
fori:
=1to50000do
ifp[i]thenbegin
inc（l）;pr[l]:
=i;
end;
end;{getprime}
functionprime（x:
longint）:
integer;
vari:
integer;
begin
prime:
=false;
fori:
=1toldo
ifpr[i]>=xthenbreak
elseifxmodpr[i]=0thenexit;
prime:
=true;
end;{prime}
二、图论算法
1．最小生成树
A.Prim算法：
procedureprim（v0:
integer）;
var
lowcost,closest:
array[1..maxn]ofinteger;
i,j,k,min:
integer;
begin
fori:
=1tondobegin
lowcost[i]:
=cost[v0,i];
closest[i]:
=v0;
end;
fori:
=1ton-1dobegin
{寻找离生成树最近的未加入顶点k}
min:
=maxlongint;
forj:
=1tondo
if（lowcost[j]0）thenbegin
min:
=lowcost[j];
k:
=j;
end;
lowcost[k]:
=0;{将顶点k加入生成树}
{生成树中增加一条新的边k到closest[k]}
{修正各点的lowcost和closest值}
forj:
=1tondo
ifcost[k,j]lowcost[j]:
=cost[k,j];
closest[j]:
=k;
end;
end;
end;{prim}
B.Kruskal算法：
（贪心）
按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。
functionfind（v:
integer）:
integer;{返回顶点v所在的集合}
vari:
integer;
begin
i:
=1;
while（i<=n）and（notvinvset[i]）doinc（i）;
ifi<=nthenfind:
=ielsefind:
=0;
end;
procedurekruskal;
var
tot,i,j:
integer;
begin
fori:
=1tondovset[i]:
=[i];{初始化定义n个集合，第I个集合包含一个元素I}
p:
=n-1;q:
=1;tot:
=0;{p为尚待加入的边数，q为边集指针}
sort;
{对所有边按权值递增排序，存于e[I]中，e[I].v1与e[I].v2为边I所连接的两个顶点的序号，e[I].len为第I条边的长度}
whilep>0dobegin
i:
=find（e[q].v1）;j:
=find（e[q].v2）;
ifi<>jthenbegin
inc（tot,e[q].len）;
vset[i]:
=vset[i]+vset[j];vset[j]:
=[];
dec（p）;
end;
inc（q）;
end;
writeln（tot）;
end;
2.最短路径
A.标号法求解单源点最短路径：
var
a:
array[1..maxn,1..maxn]ofinteger;
b:
array[1..maxn]ofinteger;{b[i]指顶点i到源点的最短路径}
mark:
array[1..maxn]ofboolean;
procedurebhf;
var
best,best_j:
integer;
begin
fillchar（mark,sizeof（mark）,false）;
mark[1]:
=true;b[1]:
=0;{1为源点}
repeat
best:
=0;
fori:
=1tondo
Ifmark[i]then{对每一个已计算出最短路径的点}
forj:
=1tondo
if（notmark[j]）and（a[i,j]>0）then
if（best=0）or（b[i]+a[i,j]best:
=b[i]+a[i,j];best_j:
=j;
end;
ifbest>0thenbegin
b[best_j]:
=best；mark[best_j]:
=true;
end;
untilbest=0;
end;{bhf}
B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径：
procedurefloyed;
begin
forI:
=1tondo
forj:
=1tondo
ifa[I,j]>0thenp[I,j]:
=Ielsep[I,j]:
=0;{p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前驱结点}
fork:
=1tondo{枚举中间结点}
fori:
=1tondo
forj:
=1tondo
ifa[i,k]+a[j,k]a[i,j]:
=a[i,k]+a[k,j];
p[I,j]:
=p[k,j];
end;
end;
C.Dijkstra算法：
var
a:
array[1..maxn,1..maxn]ofinteger;
b,pre:
array[1..maxn]ofinteger;{pre[i]指最短路径上I的前驱结点}
mark:
array[1..maxn]ofboolean;
proceduredijkstra（v0:
integer）;
begin
fillchar（mark,sizeof（mark）,false）;
fori:
=1tondobegin
d[i]:
=a[v0,i];
ifd[i]<>0thenpre[i]:
=v0elsepre[i]:
=0;
end;
mark[v0]:
=true;
repeat{每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}
min:
=maxint;u:
=0;{u记录离1集合最近的结点}
fori:
=1tondo
if（notmark[i]）and（d[i]u:
=i;min:
=d[i];
end;
ifu<>0thenbegin
mark[u]:
=true;
fori:
=1tondo
if（notmark[i]）and（a[u,i]+d[u]d[i]:
=a[u,i]+d[u];
pre[i]:
=u;
end;
end;
untilu=0;
end;
3.计算图的传递闭包
ProcedureLonglink;
Var
T:
array[1..maxn,1..maxn]ofboolean;
Begin
Fillchar（t,sizeof（t）,false）;
Fork:
=1tondo
ForI:
=1tondo
Forj:
=1tondoT[I,j]:
=t[I,j]or（t[I,k]andt[k,j]）;
End;
4．无向图的连通分量
A.深度优先
proceduredfs（now,color:
integer）;
begin
fori:
=1tondo
ifa[now,i]andc[i]=0thenbegin{对结点I染色}
c[i]:
=color;
dfs（I,color）;
end;
end;
B宽度优先（种子染色法）
5．关键路径
几个定义：
顶点1为源点，n为汇点。
a.顶点事件最早发生时间Ve[j],Ve[j]=max{Ve[j]+w[I,j]},其中Ve
（1）=0;
b.顶点事件最晚发生时间Vl[j],Vl[j]=min{Vl[j]–w[I,j]},其中Vl（n）=Ve（n）;
c.边活动最早开始时间Ee[I],若边I由表示，则Ee[I]=Ve[j];
d.边活动最晚开始时间El[I],若边I由表示，则El[I]=Vl[k]–w[j,k];
若Ee[j]=El[j]，则活动j为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法：
a.从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;
b.从汇点起topsort,求Vl;
c.算Ee和El;
6．拓扑排序
找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。
例寻找一数列，其中任意连续p项之和为正，任意q项之和为负，若不存在则输出NO.
7.回路问题
Euler回路（DFS）
定义：
经过图的每条边仅一次的回路。
（充要条件：
图连同且无奇点）
Hamilton回路
定义：
经过图的每个顶点仅一次的回路。
一笔画
充要条件：
图连通且奇点个数为0个或2个。
9．判断图中是否有负权回路Bellman-ford算法
x[I],y[I],t[I]分别表示第I条边的起点，终点和权。
共n个结点和m条边。
procedurebellman-ford
begin
forI:
=0ton-1dod[I]:
=+infinitive;
d[0]:
=0;
forI:
=1ton-1do
forj:
=1tomdo{枚举每一条边}
ifd[x[j]]+t[j]=d[x[j]]+t[j];
forI:
=1tomdo
ifd[x[j]]+t[j]end;
10．第n最短路径问题
*第二最短路径：
每举最短路径上的每条边，每次删除一条，然后求新图的最短路径，取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。
*同理，第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。
三、背包问题
*部分背包问题可有贪心法求解：
计算Pi/Wi
数据结构：
w[i]:
第i个背包的重量；
p[i]:
第i个背包的价值；
1．0-1背包：
每个背包只能使用一次或有限次（可转化为一次）：
A.求最多可放入的重量。
NOIP2001装箱问题
有一个箱子容量为v（正整数，o≤v≤20000），同时有n个物品（o≤n≤30），每个物品有一个体积（正整数）。
要求从n个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
搜索方法
proceduresearch（k,v:
integer）;{搜索第k个物品，剩余空间为v}
vari,j:
integer;
begin
ifv=v;
ifv-（s[n]-s[k-1]）>=bestthenexit;{s[n]为前n个物品的重量和}
ifk<=nthenbegin
ifv>w[k]thensearch（k+1,v-w[k]）;
search（k+1,v）;
end;
end;
DP
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
实现:
将最优化问题转化为判定性问题
f[I,j]=f[i-1,j-w[i]]（w[I]<=j<=v）边界：
f[0,0]:
=true.
ForI:
=1tondo
Forj:
=w[I]tovdoF[I,j]:
=f[I-1,j-w[I]];
优化：
当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。
F[0]:
=true;
ForI:
=1tondobegin
F1:
=f;
Forj:
=w[I]tovdo
Iff[j-w[I]]thenf1[j]:
=true;
F:
=f1;
End;
B.求可以放入的最大价值。
F[I,j]为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F[i,j]=max{f[i–w[j],j-1]+p[j],f[i,j-1]}
C.求恰好装满的情况数。
DP:
Procedureupdate;
varj,k:
integer;
begin
c:
=a;
forj:
=0tondo
ifa[j]>0then
ifj+now<=ntheninc（c[j+now],a[j]）;
a:
=c;
end;
2．可重复背包
A求最多可放入的重量。
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
状态转移方程为
f[I,j]=f[I-1,j–w[I]*k]（k=1..jdivw[I]）
B.求可以放入的最大价值。
USACO1.2ScoreInflation
进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。
*易想到：
f[i,j]=max{f[i-k*w[j],j-1]+k*p[j]}（0<=k<=idivw[j]）
其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
*实现：
Begin
FillChar（f,SizeOf（f）,0）;
Fori:
=1ToMDo
Forj:
=1ToNDo
Ifi-problem[j].time>=0Then
Begin
t:
=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
Ift>f[i]Thenf[i]:
=t;
End;
Writeln（
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