XX八年级数学上册章知识点汇总鲁教版.docx

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XX八年级数学上册章知识点汇总鲁教版

　　分式知识点

　　分式的定义：

如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

　　分式有意义、无意义的条件：

　　分式有意义的条件：

分式的分母不等于0;分式无意义的条件：

分式的分母等于0。

　　分式值为零的条件：

　　分式AB=0的条件是A=0，且B≠0.

　　分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。

　　用式子表示为，

　　分式的通分：

　　和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

　　通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：

　　“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母为底数的幂选取指数最大的;

　　如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;

　　如果分母是多项式，一般应先分解因式。

　　分式的约分：

　　和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

　　约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

　　约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;

　　找公因式的方法：

　　①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;

　　②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

　　分式的运算：

　　分式乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

　　分式除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

　　用式子表示是：

　　分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

　　①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的;

　　②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号;

　　③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式或整式的形式。

　　分式乘方法则：

分式乘方要把分子、分母各自乘方。

　　用式子表示是：

　　分式的加减法则：

　　同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

　　用式子表示为：

ab±cb=a±cb

　　异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

　　用式子表示为：

ab±cd=adbd±bcbd=ad±bcbd

　　注意：

“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略;

　　异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性;

　　运算时顺序合理、步骤清晰;

　　运算结果必须化成最简分式或整式。

　　分式的混合运算:

　　分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

　　整数指数幂：

　　a-n=1an，

　　同底数的幂的乘法：

;

　　幂的乘方：

;

　　积的乘方：

;

　　同底数的幂的除法：

;

　　商的乘方：

;

　　分式方程：

含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

　　分式方程的解法：

　　解分式方程的基本思想方法是：

分式方程-----→整式方程.

　　解分式方程的一般方法和步骤：

　　①去分母：

即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质;

　　②解这个整式方程;

　　③检验：

把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

　　注意：

①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项;

　　②解分式方程必须要验根，千万不要忘了!

　　列分式方程解应用题的步骤是：

　　审：

审清题意;找:

找出相等关系;设：

设未知数;列：

列出分式方程;解：

解这个分式方程;验：

既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意;答：

写出答案。

　　0.科学记数法：

把一个数表示成的形式的记数方法叫做科学记数法.

　　用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式,其中1≤︱a︱<10,n为原整数部分的位数减1;

　　用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为a×10-n的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数，1≤︱a︱<10.

　　一、分式的定义：

　　一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子

　　二、与分式有关的条

　　①分式有意义：

分母不为0

　　②分式无意义：

分母为0

　　③分式值为0：

分子为0且分母不为0

0或?

）B?

0B?

0或?

）

0④分式值为正或大于0：

分子分母同号

　　⑦分式值为-1：

分子分母值互为相反数

　　三、分式的基本性质

　　分式的分子和分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：

AA?

cAA?

，?

，其中A、B、c是整式，c?

0。

BB?

cBB?

　　分式的符号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：

AA?

BB?

　　注意：

在应用分式的基本性质时，要注意c?

0这个限制条件和隐含条件B?

0。

　　四、分式的约分

　　定义：

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

　　步骤：

把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

　　两种情形：

①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约

　　去分子分母相同因式的最低次幂。

　　②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

　　最简分式的定义：

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

　　◆约分时。

分子分母公因式的确定方法：

　　）系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.

　　）取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.

　　）如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.

　　五、分式的通分

　　定义：

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

　　最简公分母：

取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

　　◆通分时，最简公分母的确定方法：

　　系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

　　取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

　　如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.

　　“两大类三类型”

　　通分“两大类”指的是：

一是分母是单项式;二是分母是多项式

　　“两大类”下的“三类型”：

“二、三”型，“二，四”型，“四、六”型

　　）“二、三”型：

指几个分母之间没有关系，最简公分母就是他们的乘积;

　　）“二，四”型：

指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母;

　　）“四、六”型：

指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母既要有独特的因式，

　　也应包括相同的因式

　　通分的方法：

先观察分母是单项式还是多项式，如果是分母单项式，那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分;如果分母是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。

　　六、分式的四则运算与分式的乘方

　　①分式的乘除法法则：

aca?

bdb?

　　acada?

d分式除以分式：

把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为：

bdbcb?

c分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：

　　an?

②分式的乘方：

把分子、分母分别乘方。

式子表示为：

nb?

　　③分式的加减法则：

　　）同分母分式加减法：

分母不变，把分子相加减。

式子表示为：

naba?

ccc

　　acad?

bc?

bdbd2）异分母分式加减法：

先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为：

　　）两种类型：

一是分式间的加减;二是整式与分式的加减

　　注意：

整式与分式加减法：

可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

　　④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

　　先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

　　注意：

在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对

　　有无错误或分析出错的原因。

　　加减后得出的结果一定要化成最简分式。

　　七、整数指数幂

　　①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指

　　数幂一样适用。

即：

an?

nn?

an?

ab?

anbna?

an?

n1an?

n0?

na?

0）a?

1ab?

　　其中，n均为整数。

　　八、分式方程

　　分式方程：

指含分式，且分母中含有未知数的方程

　　解分式方程的步骤：

　　能化简的先化简

　　去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

　　解整式方程，得到整式方程的解。

　　检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

　　注意：

产生增根的条件是①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。

　　九、列分式方程——基本步骤：

审，设，列，解，答

　　①审—仔细审题，找出等量关系。

　　②设—合理设未知数。

　　③列—根据等量关系列出方程。

　　④解—解出方程。

注意检验

　　⑤答—答题。

　　分数的加减法

　　通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.

　　通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.

　　一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.

　　通分的依据：

分式的基本性质.

　　通分的关键：

确定几个分式的公分母.

　　通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.

　　类比分数的通分得到分式的通分：

　　把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

　　同分母分式的加减法的法则是：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

　　同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。

　　异分母的分式加减法法则：

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.

　　同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号.

　　0.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分.

　　1.异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化.

　　作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式.

　　行程问题：

基本公式：

路程=速度&ties;时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

　　b.数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.c.工程问题基本公式：

工作量=工时&ties;工效.d.顺水逆水问题v顺水=v静水+v水.v逆水=v静水-v水.14植树问题

　　非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

　　株数=段数=全长÷株距全长=株距&ties;株数株距=全长÷株数

　　全长=株距&ties;株数株距=全长÷株数15盈亏问题

　　÷两次分配量之差=参加分配的份数

　　÷两次分配量之差=参加分配的份数16相遇问题

　　相遇路程=速度和&ties;相遇时间

　　第2页共2页

　　⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,⑶如果在非封闭线路的两端都不要植那:

　　株数=段数+1=全长÷株距-1全长=株距&ties;株距=全长÷⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那就这样:

　　树,那么:

　　株数=段数-1=全长÷株距-1全长=株距&ties;株距=全长÷

　　封闭线路上的植树问题的数量关系如下：

　　株数=段数=全长÷株距

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　　相遇时间=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇时间17追及问题

　　追及距离=速度差&ties;追及时间追及时间=追及距离÷速度差速度差=追及距离÷追及时间18流水问题

　　顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度静水速度=÷2

　　水流速度=÷2

　　浓度问题

　　溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量

　　溶质的重量÷溶液的重量&ties;100%=浓度

　　溶液的重量&ties;浓度=溶质的重量溶质的重量÷浓度=溶液的重量

　　0利润与折扣问题利润=售出价-成本

　　利润率=利润÷成本&ties;100%=&ties;100%涨跌金额=本金&ties;涨跌百分比折扣=实际售价÷原售价&ties;100%

　　利息=本金&ties;利率&ties;时间

　　税后利息=本金&ties;利率&ties;时间&ties;

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