三线定理的证明教案.docx
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三线定理的证明教案
三线定理的证明教案
【篇一：
379464260第一章证明
（二）教案】
义务教育课程标准实验教科书
数
学
zhyi第1页
2013-3-31
1.1、你能证明它们吗
（一）
一、教学目标：
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
二、教学重点：
了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。
三、教学方法：
观察法。
四、学习过程：
复习：
1、什么是等腰三角形？
2、你会画一个等腰三角形吗？
并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
新课讲解：
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理?
本套教材选用如下命题作为公理:
?
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;?
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;?
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（sas）
证明：
推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（aas）
已知：
∠a=∠d,∠b=∠e,bc=ef
求证：
△abc≌△def
∵bc=ef（已知）
∴△abc≌△def（asa）
[议一议]：
b
c
e
f
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（教师提出问题，并利用等腰三角形纸片帮议助学生回忆。
学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片回忆有关性质。
）
（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
（等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考
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虑哪些能够立即证明。
）
定理：
等腰三角形的两个底角相等。
简单叙述为：
等边对等角。
已知：
如图，在abc中，ab＝ac。
求证：
∠b＝∠c
（引导学生证明定理“等腰三角形的两个底角相等”，重点引导学生做辅助线，将等腰三角形分成两个全等的三角形：
我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等。
实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形。
能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？
）证明：
取bc的中点d，连接ad。
∵ab＝ac，bd＝cd，ad＝ad，∴△abc△≌△acd（sss）
∴∠b=∠c（全等三角形的对应边角相等）
（让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。
做∠bac的平分线，交bc边于d；过点a做ad⊥bc。
。
学生指出该定理的条件和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。
）
b[想一想]：
在上图中，线段ad还具有怎样的性质？
为什么？
由此你能得到什么结论？
c
推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
[随堂练习]：
教科书第4页第1，2题。
（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。
）[课堂小结]：
通过这节课的学习你学到了什么知识？
（学生小结：
通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
探体会了反证法的含义。
）五、作业：
1、基础作业：
p5页习题1.11、2。
2、拓展作业：
《一课一练》
3、预习作业：
p5-6页议一议六、板书设计：
zhyi第3页2013-3-31
1.1、你能证明它们吗
（二）
一、教学目标：
1、进一步了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。
3、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。
4、了解反证法的推理方法。
5、会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。
二、教学重点：
正确叙述结论及正确写出证明过程。
熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，
掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：
等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。
三、教学方法：
探究式教学法自主探究与合作探究四、学习过程：
复习回顾：
你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?
、[探索——发现——猜想——证明]
1、引导探索：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平
分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？
（提出问题，激发学生探究的欲望。
学生猜想）2、探究中发现：
在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那些相等的线段？
你能用文
字叙述你的结论吗？
（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）
3、证明：
（1）例1证明：
等腰三角形两底角的平分线相等。
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。
）
已知：
如图，在△abc中，ab＝ac，bd，ce是△abc的角平分线。
求证：
bd＝ce
想一想：
此题还有其它的证法吗？
（2）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？
高呢？
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。
其它证法合作交流完成。
）4、[议一议1]：
1/4∠abc,∠ace＝1/4∠acb呢？
由此你能得到一个什么结论？
（根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。
学生分组思考、交流，在充分讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。
）（3）如果ad＝1/2ac,ae＝1/2ab,那么bd＝ce吗？
如果ad＝1/3ac,ae＝1/3ab,呢？
由此你能得到一个什么结论？
[议一议2]：
把“等边对等角”反过来，结论还成立吗？
你能证明？
[定理证明]（引导学生证明定理）方法：
（1）
（2）
b
c
c
在上图的等腰△abc中，如果∠abd＝1/3∠abc,∠ace＝1/3∠acb,那么bd＝ce吗？
如果∠abd＝
c
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课堂小结1：
（1）归纳判定等腰三角形判定有几种方法,
（2）证明两条线段相等的方法有哪几种。
（讨论、交流）随堂练习：
求证：
db=de（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。
）
c想一想:
小明说，在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等,你认为这个结论成立
吗?
如果成立,你能证明它?
（证明p）
8
反证法的概念p8课堂小结2：
通过这节课的学习你学到了什么知识？
了解了什么证明方法？
bc
（学生小结：
掌握证明的基本步骤和书写格式。
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。
等腰三角形的判定定理。
了解反证法的推理方法。
）五、作业：
1、基础作业：
p9页习题1.21、2、3。
2、拓展作业：
《一课一练》
3、预习作业：
p10-12页做一做
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【篇二：
证明二证明三复习学案一模】
证明二复习学案
一、知识点讲解：
知识点1：
利用定理证明
公理1、一直线截两条平行线所得的同位角，
定理.平行线的性质定理：
两直线平行，内错角，同旁内角．定理．三角形的内角和定理及推论：
三角形的内角和等于，
三角形的外角等于，
公理2．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线．定理．平行线的判定定理：
内错角相等，两直线；
同旁内角互补,两直线．
公理3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形公理4．全等三角形的对应边，对应角．
定理．直角三角形全等的判断定理：
有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形．
例题1,如图，在△abc和△def中，b、e、c、f在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．①ab=de，②ac=df，③∠abc＝∠def，④be＝cf．已知：
求证：
证明：
例题2,如图，在△abc中，点e在bc上，点d在ae上，已知∠abd＝∠acd,∠bde＝∠cde．求证：
bd＝cd
知识点2：
角平分线性质定理及逆定理
定理．角平分线性质定理及逆定理：
角平分线上的点到角的两边的距离；
到角的两边的距离相等的点在这个角的上；
三角形的三条角平分线相交于，它到的距离相等
例题3，已知：
如图，ac平分∠bad，ce⊥ab于e，cf⊥
ad于f，且bc＝dc.你能说明be与
df相等吗？
ab
1
知识点3：
垂直平分线性质定理及逆定理
定理．垂直平分线性质定理及逆定理：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离；
到线段两端点的距离相等的点在这条线段的
上；
三角形的三边的垂直平分线相交于，它到的距离相等例题4,如图,在△abc中,已知ac=27,abab于点d,交ac于点e,△bce的周长等于50,求bc的长.
知识点4：
等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理．定理、等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理．
定理．三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于，且等于第三边的．
例题4，如图，ab、cd交于点e，ad=ae，cb=ce，f、g、h分别是de、be、ac的中点．
（1）求证：
af⊥de；
（2）求证：
fh=gh．证明：
例题5、已知，如图，⊿abc中，∠a=900，ab=ac，d是bc边上的中点，e、f分别是ab、ac上的动点，且be=af，求证：
ed⊥fd
知识点5：
命题
1．命题的组成：
命题由和两部分组成．2．命题的形式：
命题的形式通常写成“如果?
?
，那么?
?
”的形式．
3．真命题与假命题：
正确的命题称为命题，错误的命题称为命题
（注意：
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是命题〕
例题6,将命题“同角的余角相等”改写成“如果?
，那么?
”的形式解：
例题7如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情
况）①ae=ad②ab=ac③ob=oc④∠b=∠c
例题8．如图，在△abc中，cd⊥ab，请你添加一个条件，写出一个正确的结论（不在图中添加辅助线）条件：
_____________________________________结论：
_____________________________________
论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是________________．（只需填论断的序号）
⑶用⑵中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明．
二、随堂练习
1．下列命题中，真命题是（）
a．面积相等的两个三角形是全等三角形b．有两边及一组对应角相等的两个三角形全等c．全等三角形的周长相等d．有一条直角边对应相等的两个三角形全等2．下列命题为假命题的是（）
a．等腰三角形的两腰相等b．等腰三角形的两底角相等c．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合d．等腰三角形是中心对称图形3．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的是（）
a．全等三角形的对应角相等;b．两个图形关于轴对称，则两个图形是全等形c．等边三角形是锐角三角形
4．如图，rt△abc中，ac≠ab，ad是斜边上的高；de⊥ab，df⊥ac，垂足分别是e、f，则图中与∠c（除∠c外）相等的角的个数是（）a．2b．3c．4d．5
2
2
-2
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。
，则顶角的度数为（）（a）60?
（b）120?
（c）60?
或50?
（d）60?
或120?
7．如图1－1－7，△abc是直角三角形，bc是斜边，△abp绕点a逆时针旋转后，能与△acp重合，如果ap=3，那么pp′的长等于（）a．3b．23c．2d．4
9、如图1－1－9，在△abc和△def中，已知ab=de，要使△abc≌△def，根据三角形全等的判定定理，还需添加条件______________（填上你认为正确的一种）．
10．在方格纸上有一个△abc，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是________三角形．11．如图，△abc中，ab=ac，de是ab的中垂线，△bce的周长为14，bc=6，则ab长为______________.
12如图，在△abc中，∠bac=90在，延长ba到d，使ad=1
2ab，点e、f分别为边bc、
ac的中点．
（1）求证：
df=be；
（2）过点a作ag∥bc，交df于点g，求证：
ag=dg．
13、.如图，以等腰直角三角形abc的斜边ab为边向内作等边△abd，连结dc，以dc为边作等边△dce，b、e在c、d的同侧，若ab=2，求be的长.
等腰三角形与直角三角形复习学案
【课前热身】
（第2题）（第3题）（第4题）4．（07南充）一艘轮船由海平面上a地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达b地，再由b地向北偏西10o的方向行驶40海里到达c地，则a、c两地相距（）
a．30海里b．40海里c．50海里d．60海里【考点链接】
一．等腰三角形的性质与判定：
1.等腰三角形的两底角__________；
2.等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；3.有两个角相等的三角形是_________．
二．等边三角形的性质与判定：
1.等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
4.勾股定理：
_________________________________________．
5.勾股定理的逆定理：
_________________________________________________．
【典例精析】
例1如图，等腰三角形abc中，ab=ac，一腰上的中线bd?
将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三
角形的腰长及底边长．
3
例2（06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：
“小汽车在城市街道上的行
【中考演练】
1．（08湖州）已知等腰三角形的一个底角为70，则它的顶角为____________．度．
2．（08白银）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____．3．（08武汉）如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前
有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中
北
点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离ab是____________．东
b
⑵若ap平分∠bac且交bd于p，求∠bpa的度数．
a
d
p
b
c
5．（08义乌）如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，de为1.68米，那么这棵树大约有多高？
（精确到0.1米）
平行四边形复习学案
【课前热身】
4．如图，在平行四边形abcd中，db＝
度．（第4题）b5．平行四边形abcd中，∠a:
∠b:
∠c:
∠d的值可以是（）
a．1:
2:
3:
4b.3:
4:
4:
3c.3:
3:
4:
4d.3:
4:
3:
4
6．（08厦门）在平行四边形abcd中，∠b=60，那么下列各式中，不能．．
成立的是（）a．∠d=60
b．∠a=120
c．∠c+∠d=180d．∠c+∠a=180【考点链接】
1．平行四边形的性质
（1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.
（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”）（3）平行四边形的面积公式____________________.2．平行四边形的判定
（1）定义法：
________________________.
（2）边：
________________________或_______________________．a
d
（3）角：
________________________．（4）对角线：
________________________．
【典例精析】
b
e
f
c
例1（08中，e，f为bc上两点，且be＝cf，af＝de．
求证：
△abf≌△dce；
例2如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边ab长为8m，其他三条边各长多少?
4
例3如图，在□abcd中，e，f分别是cd，ab上的点，且de＝bf.
求证：
ae＝cf
【中考演练】
1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）
a.一组对边相等b.对角线互相平分c
c.一组对角相等d.对角线互相垂直2．（08贵州）如图，在平行四边形abcd中，e是ab延a
1长线上的一点，若∠a=60，则∠1的度数为（）b
e
a．120
b．60
c．45
d．30
（2）猜想______＝________.
（3）证明:
﹡6．如图，已知：
abcd中，∠bcd的平分线ce交边ad于e，∠abc的平分线bg
交ce于f，交ad于g．求证：
ae=dg．eg
b
c
矩形、菱形、正方形复习学案
【课前热身】
1.矩形的两条对角线的一个交角为60o，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为cm.2.（08肇庆）边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是.3.若正方形的一条对角线的长为2cm，则这个正方形的面积为
4.（08义乌）下列命题中，真命题是（）
a．两条对角线垂直的四边形是菱形b．对角线垂直且相等的四边形是正方形c．两条对角线相等的四边形是矩形d．两条对角线相等的平行四边形是矩形
5.（08宁夏）平行四边形abcd中，ac，bd是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形abcd是矩形，那么这个条件是（）
a．ab＝bcb.ac＝bdc.ac⊥bdd.ab⊥bd【考点链接】
1.
平行四边形正
矩形方菱形
形
2.特殊的平行四边形的判别条件
abcd成为矩形，需增加的条件是
；abcd
成为菱形，需增加的条件是____________；要使矩形abcd成为正方形，需增加的条件是__________；要使菱形abcd成为正方形，需增加的条件是__________.
3.例1如图，菱形的对角线bd，ac的长分别是6和8，求菱形的周长积．
5
例2（08乌鲁木齐）如图，在四边形abcd中，点e是线段ad上的任意一点（e与a，d不重合），g，f，h分别是be，bc，ce的中点．
（1）证明四边形egfh是平行四边形；
（2）在
（1）的条件下，若ef⊥bc，且ef=1
2
bc，证明平行四边形egfh是正
方形．
ed
h
bf
c
【中考演练】
3.（08绍兴）如图，沿虚线ef将剪开，c
则得到的四边形abfe是（）a．梯形b．平行四边形c．矩形d．菱形
b4．如图，菱形abcd中，be⊥ad，bf⊥cd，e、f为垂足，ae=ed，
求∠ebf的度数.5．（08湘潭）如图，四边形abcd是矩形，e是ab上一点，且de=ab，过c作cf⊥de，垂足为f.
（1）猜想：
ad与cf的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
6.已知：
如图，Ｄ是⊿abc的边ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ、ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是Ｅ、
Ｆ，且ＢＦ＝ＣＥ，求证：
（１）⊿abc是等腰三角形
b﹡7.（08咸宁）如图，在△abc中，点o是ac边上的一个动点，过点o作直线
mn∥bc，设mn交∠bca的角平分线于点e，交∠bca的外角平分线于点f．
（1）求证：
eo=fo；
（2）当点o运动到何处时，四边形aecf是
矩形？
并证明你的结论．
me
ofn
b
c
【篇三：
图形与证明全章教学案】
1.1等腰三角形的性质和判定
（1）
［学习目标］1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
［重点、难点］等腰三角形的性质及其证明。
［学习过程］
一、知识回顾：
在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？
不妨回忆一下。
1、用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。
经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理。
2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？
（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;
（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;
（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3、推理和证明的依据有哪几类？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：
（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
此外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。
5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？
你能一一列出来吗？
（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（6）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（7）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（8）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（9）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（10）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
二、情景创设：
以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？
不妨我们来回忆一下下列几个问题：
1、什么叫做等腰三角形？
（等腰三角形的定义）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2、等腰三角形有哪些性质？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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