两角和与差的正弦余弦和正切公式专题与解析.docx

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两角和与差的正弦余弦和正切公式专题与解析

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

教学目标1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

知识梳理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin（a±B）=sinacosB土cosasinB.

cos（a?

B）=cosacosB±sinasinB.

1鬥门o+_tan3

1干tanatan

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2a=2sinacosa.

2222cos2a=cosa—sina=2cosa—1=1—2sina.

门2tana

trill£.Ct——~~+

1—tana

3.有关公式的逆用、变形等

（1）tana±tanB=tan（a±B）（1?

tanatanB）.

（2）cosa=

22

（3）1+sin2a=（sina+cosa）,1—sin2a=（sina—cosa）,

sina±cosa

+n

a±4.

4.函数f（a）=asina+bcosa（a,b为常数）,可以化为f（a）=a2+b2sin（a

+©）其中tan©

b

二a或f（

a）=a2+b2•cos（a

—©）其中tan

a

©二b.

诊断自测

1.判断正

误（

在括号内

打“V”

或“x

精彩PPT展示

（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,B是任意的.（）

⑵存在实数a，B,使等式Sin（a+B）=Sina+sinB成立.（）

八「、tana+tanB—卄…

（3）公式tan（a+B）=i_tanOtan—B可以变形为tana+tanB

=tan（a+B）（1_tanatanB），且对任意角a,B都成立.（）

⑷存在实数a,使tan2a=2tana.（）

n解析（3）变形可以，但不是对任意的a,B都成立，a,B,a+B工勺+k

n,k€乙

答案

（1）V⑵V（3）x⑷V

2.（2016•全国川卷）若tan9=

3,则cos29=（）

d.4

C.5

解析cos20=cos20—sin2

cos20—sin2B

2

cos

2=

0+sin0

1—tan204

2

1+tan05'

答案D

3.（2015•重庆卷）若tana

1

3,

tan（

a+B）=1,

则tanB等于（

A.1

B.1

C.5

♦I

解析tanB=tan[（a+B）—a]

tan（a+B）—tana

11

2—31

-^=7，故选A.1+-x-

23

答案A

4.（2017•广州调研）已知sin

1…

a+cosa=3,则

2n

sin7

17

5

8

C.8

D.

解析由sin

1

+cosa=3两边平方得1+sin2

sin2

8

9,

所以sin2

1-c°s2-2a—sin2

2=2

1t817

2

a

故选

B.

答案B

5.（必修4P137A13（5）改编）sin347°cos148°+sin77°•cos58

解析sin347°cos148°+sin77°cos58

=sin（270°+77°）cos（90°+58°）+sin77°cos58

=（—cos77°）•（—sin58°）+sin77°cos58

=sin58°cos77°+cos58°sin77

=sin（58°+77°）=sin135

考点一三角函数式的化简

【例1】

（1）（2016•合肥模拟）cos（

（）

A.sin（a+2B）

C.cos（a+2B）

a+B）cosB+sin（a+B）sinB=

B.sina

D.cosa

⑵化简：

aa

（1+sina+cosa）・cos-^—sin_

（0

解析

（1）cos（a+B）cosB+sin（a+B）sinB=cos[（a+B）—B]=cos

a.

2aaaaa

2cos~+2sin~cos~•cos~—sin~

a

2a

.2a

a

cos2

cos2

sin2

cos2cosa

a

ecu

a

cos"2

cos2

因为00，所以原式=

答案

（1）D

（2）C0Sa

【训练1】

（1）^2+2cos8+2^1-sin8的化简结果是_

cosa.

⑵化简:

421

2cosa—2cosa+㊁

n2n

2tanT-asin7+a

解析

（1）原式=_4cos24+2（sin4—cos4）

=2|cos4|+2|sin4—cos4|,

5

因为5n

3

<4<2n

所以cos4<0，且sin4

所以原式=—2cos4—2（sin4—cos4）=—2sin4.

142

2（4cosa—4cosa+1）

n

2Xsin7—a

n

cos7—a

2n

•cos-

（2cos2a—1）2

cos22a

4sin扌

n

acos7

a2sinnn—2a

2.

cos2a1

—=7cos2a

2cos2a2

1

答案

（1）—2sin4

（2）^cos2a

考点二

三角函数式的求值

【例2】

⑴[2sin50

+sin10

（1+3tan10°）]•2sin280=

（2）已知

cos

7t

+a

4

3

5,

2

7nM.sin2a+2sina

124，则1—tana

17n

的值为

⑶已知

0C,

冗）

且tan（a

1

7,则2a—B的值

解析

（1）原式二（2sin50

+sin10

cos10°+^/3sin10）

cos10

2sin80

=（2sin50

+2sin10

1cos10°+毘in10

cos

2cos10

=22[sin50

-cos10

+sin10

-cos（60°—10°）]

=22sin（50°+10°）=22X

2

sin2a+2sina⑵1—tana

2

2sinacosa+2sina

sina1—

cosa

2sinaCOSa（cosa+sina）

cosa—sina

=sin2

1+tana

1—tana

=sin2a

n

-tan7+

由

a+7<2n，又COS

ST

n

金

II

I

3

4=

II

AO

2卜

A

A

n

£

a

I

A

O

II

+

STn

2

a

ST

n

0

II

II

STn

2

STn

413

+

o

£

a

2爲

O

A

a

A

2|=

ST

n

II

ST

吕

II

—k

ST

n

ST

n

ST

n

+

ST

n

2

5'

II

I

7I2

5I00

4=

a

II

I

5I4

ST

n

4|=

+

a

II

I

3I4

【亘盗2】S4COS50。

丄an40i（

C•幺

（2）masina+"+sin

D.2$丄

（3）maCOSaH十cos（a——0）H^OA0Aa八皿）〉淫Qrn2aH

3SMN4s5'40

4cos40

sin40。

——sin40

cos40。

2SI5'80——Sin4o

cos40

sin40cos40

2sin（」20。

——40。

）——s5'40H>

cos40

felcos40。

+sin40Isin40

cos40

V5cos40

cos40

玮®0.

（2）ffisina+^l+sina

于是

n

3

cos

a+6—

=5.

所以

a+

n

n33—4

cos

a—cos

~6-

6—10

1

n

⑶•-

■cos

a—7,

0

~2，

•sin

a—7,tana—43,

•••tan2

2tana2X4,38,3

2

1—tana1—4847'

n

■/0

•sin（

•cosB—cos[a—（a—B）]

—cosacos（a—B）+sinasin（a—B）

—1X生虱3X^3—1

—714十714—2,

答案

（1）C

⑵亠

10

⑶-

47

考点三三角变换的简单应用

【例3】已知△ABC为锐角三角形，若向量p—（2—2sinA,cosA+sinA）与

向量q—（sinA—cosA,1+sinA是共线向量.

（1）求角A；

⑵求函数y=2sinB+cos㊁的最大值•

A，贝Usin2A=3.

解⑴因为P,q共线，所以（2—2sinA）（1+sinA）

=（cosA+sinA）（sinA—cos

又A为锐角，所以sinA=f，

n

⑵y=2sin2B+cos铲

n—3—B—3B

=2sin2B+cos

2n1

=2sinB+cos——2B=1—cos2B+乙cos2B+

32

-23sin2B=¥s鬥2B—*cos2B+1=sin2B—-6+1.

2226

nn

因为B€0,㊁，所以2B—€

nn

6，所以当2B—6=空时，函数y取

得最大值，此时B=—,ymax=2.

21

【训练3】（2017•合肥模拟）已知函数f（x）=（2cos2x—1）•sin2x+qcos4x.

（1）求f（x）的最小正周期及单调减区间;

⑵若a€（0,n），且fT—

an2n

4—，求tana+-3的值.

21

解

（1）f（x）=（2cosx—1）sin2x+?

cos4x

12n

=2（sin4x+cos4x）=-^sin4x+才,

n

•f（x）的最小正周期Tp

令2kn

nn,3,

+~2W4x+—<2kn+㊁冗，k€Z,

16，k€Z.

•••f（X）的单调减区间为

knn+一

2+16,

⑵•••f

an2

T，

即sina

因为a

€（0

3n

所以a

7t

因此tan

n

a+§

、选择题

nn

——

，444'

3nn

tan+tan〒“

―4L^T+V3=用

3nn_1+/3—273.

1—tan——tan石

43

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

1.（2015•全国I卷）sin20°cos10°—cos160°sin10°=（）

解析sin20

sin10

1

C.-2

1

D.2

cos10°—cos160°sin10

°=sin20°cos10°+cos20

sin30

1

2.

答案D

2.（1+tan17°）（1+tan28°）的值是（）

A.—1

B.O

C.1

D.2

解析原式=1+tan17

+tan28+tan17

-tan28

=1+tan45（1—tan17

-tan28°）+tan17

-tan28

=1+1=2.

答案D

3.（2017•西安二检）已知

a是第二象限角，且tan

=—g,则sin2a=（）

A—更

10

3

C.-5

解析因为

a是第二象限角，且tana=

1

3,

所以sin

=,cosa

10'

310

10，

所以sin2

a=2sinacos

310

10

3

?

故选C.

5

答案C

4.（2017•河南六市联考）设

1

a=?

cos

静2°,b=12ta；1414°,c=

2'1—tan14'

则有（

A.avcvb

B.avbvc

C.bvcva

D.cvavb

解析由题意可知，a=sin28

b_tan28°,c_sin25°,

cvavb.

答案D

5.（2016•肇庆三模）已知sin

为第二象限角，则tan2a

19

A-丁

B.

C.

31

17

17

d.—31

解析由题意得cos

_4

=—5,

sin2a

24

=—25,

.tan2a=——,

24

.tan

n

tan2a+tan

4

n

1-tan2atan7

24

—〒1

24

1——〒XI

17

31.

答案D

、填空题

6.（2016•石家庄模拟）若

cos

n

石的值是

7t

“,n

解析sin2a——=sin

2n17

cos2a—3=2cosa—m—1=2X9—1=—9.

7t

答案-7

7.（2017•南昌一中月考）已知a€

n，且cos-y—a

44

5

sin4n+B

12

13,贝Ucos（a+

解析

7t

3n

7t

sin

7t

■/sin

5

4n

又•••B

0,

•cos（

答案

7t

5'

12

13'

a+B）=cos

33

65

8.已知0€

0,

7t

COS

•sin

n

cos7+

且sin

解析sin

0€0,

cos

12

13'

=13,

7t

1233

£得sin

—cos

①平方得2sin0cos

24

0=二，可求得sin0+cos0

=25,

2tan0

34

0=二，「tan0二，tan20=1—tan20

24

•sin

答案-〒

三、解答题

9.（2017•淮海中学模拟）已知向量a=（cos9,sin9）,b=（2,-1）.

itn’”.

⑵右|a-b|=2,9€0,q，求sin9+匸的值•解⑴由a丄b可知，a•b=2cos9-sin9=0,所以sin9=2cos9,

十、sin9—cos92cos9—cos91

所以==-

sin9+cos92cos9+cos93

（2）由a—b=（cos9—2,sin9+1）可得，

|a—b|=（cos9—2）2+（sin9+1）2=

6—4cos9+2sin9=2,

即1—2cos9+sin9=0.

n

又cos29+sin29=1,且9€0,—,

34

所以sin9=,cos9=.

55

所以sin

0+cos

10.设cosa

5,tan

3nn

解法一由cosa=

3n

n

2，得sin

誓，tana=2,又

于是tan（a—B）

1

2—3

=1+tanatanB=1

B1+2X3

tana—tanB

1.

□丄3n

又由n

n_小

0

n3n

B

因此,

5n

=~T.

法二

cos

53n

n

5

2得sina

2；5

5.

由tan

1

=3,

nZl_.

0

=丄

=10，

cos

所以sin（

acos

B—cos

asin

3

10

10

3nn

又由n

n

———<—

2

•-3n

B<0，2

能力提升题组

（建议用时：

20分钟）

n2n23n

11.（2016•云南统一检测）cos~9•cosg•cos—~^=（）

A.-8

D.1

n_

解析cos百•cos-^•cos—-9n=cos20°•cos40°•cos100

2n

23

=—cos

20°

cos40°•cos80°=

sin20

sin20cos20cos40cos80

1

qsin40°・cos40°•cos80

sin20

1

4sin80

-cos80

sin20

1

sin160

8

sin20

1

sin20

8

sin20

1

8.

答案A

12.（2017•武汉调研）设a

B€[0,n],且满足sin

cosB—cos

asinB

a—B）+Sin（a—2B）的取值范围为（

A.[—21]

D.[1,.2]

C.[—1,1]

解析■/sin

acosB—cosasin

B=1,•sin（a

，冗］,-

0<

由

0W

a

Wn,

•••sin（2a—B）+sin（

a—2B）=Sin2a—

n

+n

+sin（a—2a+

a+sina=2sina

n5厂

4Wa+〒W4n,A—1W•2

3n

n

sina+4w1,即所求的取值范围是［—1,

1],故选C.

答案C

13.已知cos4a—sin4a

n,n

0,空，贝Ucos2a+-3=

解析cos4a—sin4a

=（sin2a+cos

2.22p

a）（cosa—sina）=cos2a=3,又

n

a€0,"2，二2a€（0,n）,—sin2

a=■1—Cos2a

諾,

n

二C0S2a+-3

1'3

二2cos2a—尹2a

Jx2—逅应=25

2323-

答案

14.（2016•西安模拟）如图，现要在一块半径为

n

为§的扇形白铁片A0B上剪出一个平行四边形

在弧AB上，点Q在0A上，点MN在0B上,

设/BOPL9，平行四边形MNP劎面积为S.

（1）求S关于9的函数关系式.

⑵求S的最大值及相应的9角.

解⑴分别过P,Q作PDLOB于D,Q巳OB于E,则四边形

QED为矩形.

由扇形半径为1m,得PD=sin9,O亠cos9.在Rt△OEQ

PDM*QiD注4OMcos9-豹

中，01

9，S=MN-PD

=cos9—呼sin9•sin9=sin9cos9—今•sin29,

33

1

（2）由

（1）得S=2sin29—百（1—cos29）

=£sin2B+fcos2B—f^fsin2B+~6—~63,

266366

.,冗~.nn5nn1

因为B€0,"3，所以2B+~6€—,,sin20+石€刁1.

当0=纟时，Smax=£（m）.

1+tan（a+B）・tan

2

cos2a=2cosa—1=

25