两角和与差的正弦余弦和正切公式专题与解析.docx

1、两角和与差的正弦余弦和正切公式专题与解析两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余 弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的 正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在 联系。知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( aB ) = sin a cos B 土 cos a sin B .cos( a ? B ) = cos a cos B sin a sin B .1鬥门 o+_tan 31干 tan a tan2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a

2、 = 2sin a cos a .2 2 2 2 cos 2 a= cos a sin a = 2cos a 1 = 1 2sin a .门 2tan at rill .Ct +1 tan a3.有关公式的逆用、变形等(1)tan a tan B = tan( aB )(1 ? tan a tan B ).(2)cos a =2 2(3)1 + sin 2 a= (sin a + cos a ) , 1 sin 2 a= (sin a cos a ),sin a cos a+ na 4 .4.函数 f( a ) = asin a + bcos a (a, b 为常数),可以化为 f( a )

3、= a2 + b2sin( a+ )其中 tan b二 a 或f(a ) = a2 + b2 cos( a )其中tana二 b.诊断自测1. 判断正误(在括号内打 “V”或 “x精彩PPT展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 a , B是任意的.( )存在实数a，B ,使等式Sin( a+B ) = Sin a + sin B成立.( )八、 tan a + tan B 卄(3)公式 tan( a + B ) = i _ tan OtanB可以变形为 tan a + tan B=tan( a + B )(1 _ tan a tan B )，且对任意角 a , B 都成立.( )存在实数

4、a ,使tan 2 a = 2tan a .( )n 解析(3)变形可以，但不是对任意的 a , B都成立，a , B , a + B工勺+ kn, k 乙答案 (1) V V (3) x V2. (2016 全国川卷)若tan 9 =3,则 cos 2 9 =( )d.4C.5解析 cos 2 0 = cos2 0 sin 2cos2 0 sin 2 B2cos2 =0 + sin 01 tan2 0 42 1 + tan 0 5答案 D3. (2015 重庆卷)若 tan a13,tan(a + B ) =1,则tan B等于（A.1B.1C.5I解析 tan B = tan( a + B

5、 ) a tan (a+B) tan a1 12 3 1- = 7，故选 A. 1 + -x -23答案 A4. （2017 广州调研）已知sin1 a + cos a = 3,则2 nsin 71758C.8D.解析由sin1+ cos a = 3两边平方得1 + sin 2sin 289,所以sin 21- cs 2 - 2a sin 22 = 21t8 172a故选B.答案 B5.(必修 4P137A13(5)改编)sin 347 cos 148 + sin 77 cos 58解析 sin 347 cos 148 + sin 77 cos 58=sin(270 + 77 )cos(90

6、+ 58 ) + sin 77 cos 58=(cos 77 ) ( sin 58 ) + sin 77 cos 58=sin 58 cos 77 + cos 58 sin 77=sin(58 + 77 ) = sin 135考点一三角函数式的化简【例1】(1)(2016 合肥模拟)cos( )A.sin( a + 2 B )C.cos( a + 2 B )a + B )cos B + sin( a + B )sin B =B.sin aD.cos a化简：a a(1 + sin a + cos a ) cos- sin _(0 a n ) ,2 + 2cos a解析 (1)cos( a +

7、B )cos B + sin( a + B )sin B = cos( a + B ) B = cosa .2 a a a a a2cos + 2sin cos cos sin a2 a.2 aacos 2cos 2sin 2cos 2 cos aaecu acos2cos 2因为0 a n,所以020，所以原式=答案(1)D (2)C0S a【训练1】(1) 2 + 2cos 8 + 21- sin 8的化简结果是_cos a .化简:4 2 12cos a 2cos a + n 2 n2tan T-a sin 7 +a解析 (1)原式=_4cos24+ 2 (sin 4 cos 4 )=2

8、|cos 4| + 2|sin 4 cos 4| ,5因为5n342 n所以 cos 40，且 sin 4cos 4所以原式=2cos 4 2(sin 4 cos 4) = 2sin 4.1 4 22 (4cos a 4cos a + 1)n2X sin 7 ancos 7a2 ncos -(2cos2 a 1) 2cos22 a4sin 扌na cos 7a 2sin nn 2 a2 .cos 2 a 1=7cos 2 a2cos 2 a 21答案(1) 2sin 4 (2) cos 2 a考点二三角函数式的求值【例2】2si n 50+ sin 10(1 + 3tan 10 ) 2sin

9、280=（2）已知cos7t+ a435,27n M.sin 2 a + 2sin a a 贝 q 12 4，则 1 tan a17n的值为已知0C ,冗）且 tan( a17,则2a B的值解析（1）原式二（2sin 50+ sin 10cos 10 +/3sin 10 )cos 102sin 80=(2s in 50+ 2si n 101cos 10 +毘in 10cos2cos 10=2 2sin 50-cos 10+ sin 10-cos(60 10 )=2 2sin(50 + 10 ) = 2 2X2sin 2 a + 2sin a 1 tan a22sin a cos a + 2s

10、in asin a 1 cos a2sin a COS a (cos a + sin a )cos a sin a=sin 21 + tan a1 tan a=sin 2 an-tan 7+由a+ 72n，又 COSSTn金III34 =IIA O2卜AAnaIAOII+ST n2aSTn0IIIIST n2ST n4 13+oa2爲OAaA2 | =STnIIST吕IIkSTnSTnSTn+STn2 cos 40felcos 40。+ sin 40 I sin 40cos 40V5cos 40cos 40玮0.(2)ffisin a +l+sin a于是n3cosa+6 =5.所以a +nn

11、 3 3 4cosa cos6 -6 101n- cosa 7,0 a 2， sina 7 , tan a 4 3, tan 22tan a 2X4 ,3 8,32 1 tan a 1 48 47 n/ 0 B a 2 , 0 a sin( cos B cos a ( a B )cos a cos( a B ) + sin a sin( a B )1X 生虱3X 317 14十 7 14 2,答案(1)C亠10-47考点三三角变换的简单应用【例3】 已知 ABC为锐角三角形，若向量 p (2 2sin A, cos A+ sin A)与向量q (sin A cos A, 1 + sin A是共

12、线向量.(1)求角A； 求函数y=2sin B+ cos 的最大值A，贝U sin 2A=3.解 因为P, q共线，所以(2 2sin A)(1 + sin A)=(cos A+ sin A)(sin A cos又A为锐角，所以sin A= f，n y = 2sin 2 B+ cos铲n3 B 3B=2sin 2B+ cos2 n 1=2sin B+ cos 2B = 1 cos 2 B+乙cos 2 B+32-23sin 2 B=s鬥 2 B *cos 2 B+ 1= sin 2B-6 + 1.2 2 2 6n n因为B 0,，所以2Bn n6 ，所以当2B6=空时，函数y取得最大值，此时B

13、= , ymax= 2.21【训练 3】(2017 合肥模拟)已知函数 f(x) = (2cos2x 1) sin 2 x+qcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间;若 a (0 ,n )，且 f T a n 2 n4 ，求 tan a +-3 的值.2 1解 (1) f (x) = (2cos x 1)sin 2 x + ?cos 4x1 2 n=2(sin 4 x + cos 4 x) =-sin 4x + 才 ,n f（x）的最小正周期Tp令2k nn n , 3 ,+ 2W4x + 2k n+ 冗，k Z,16，k Z. f（X）的单调减区间为k n n + 一2 +

14、16, fan 2T，即 sin a因为a (03n所以a7t因此tanna+、选择题n n a ， 4 4 43 n ntan + tan “4 L T+V3 = 用3n n _ 1+/3 2 73.1 tan ta n 石4 3基础巩固题组（建议用时：40分钟）1. (2015 全国 I 卷)sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 =( )解析 sin 20sin 101C. - 21D.2cos 10 cos 160 sin 10 = sin 20 cos 10 + cos 20sin 3012.答案 D2.(1 + tan 17 )(1 + tan 28 )的值是(

15、)A. 1B.OC.1D.2解析原式=1 + tan 17+ tan 28 + tan 17-tan 28=1 + tan 45 (1 tan 17-tan 28 ) + tan 17-tan 28=1+ 1 = 2.答案 D3. （2017 西安二检）已知a是第二象限角，且tan=g,则 sin 2a =( )A 更103C.- 5解析因为a是第二象限角，且tan a =13,所以sin= ,cos a10 3 1010 ，所以sin 2a = 2sin a cos3 10103?故选C.5答案 C4. （2017 河南六市联考）设1a=?cos静 2 , b= 12ta；1414 , c

16、=2 1 tan 14 ,则有（A. av cv bB.av bv cC.bv cv aD.c v av b解析 由题意可知，a = sin 28,b_ tan 28 , c_ sin 25 ,cv av b.答案 D5. （2016 肇庆三模）已知sin为第二象限角，则tan 2 a19A - 丁B.C.311717d. 31解析由题意得cos_ 4=5,sin 2 a24=25,.tan 2 a =,24.tanntan 2 a + tan4n1-tan 2 a tan7241241 XI1731.答案 D、填空题6. （2016 石家庄模拟）若cosn石的值是7t“ , n解析 sin

17、2a = sin2 n 1 7cos 2 a 3 = 2cos a m 1 = 2X 9 1 = 9.7t答案-77. （2017 南昌一中月考）已知a n，且cos-y a4 45sin 4n+ B1213,贝U cos( a +解析7t3n7tsin7t/ sin54n又 B0, cos(答案7t51213a + B ) = cos33658.已知0 0,7tCOS sinncos 7+且sin解析 sin0 0,cos1213=13,7t12 33 得 sincos平方得2sin 0 cos240 =二，可求得 sin 0 + cos 0=25,2tan 03 40=二，tan 0二，t

18、an 2 0= 1 tan2 024 sin答案-三、解答题9. (2017 淮海中学模拟)已知向量 a= (cos 9 , sin 9 ) , b= (2 , - 1).it n ”.右| a-b| = 2, 9 0, q，求 sin 9 + 匸的值 解由 a丄b 可知，a b = 2cos 9 -sin 9= 0, 所以 sin 9 = 2cos 9 ,十、sin 9 cos 9 2cos 9 cos 9 1所以 = =-sin 9 + cos 9 2cos 9 + cos 9 3(2)由 a b= (cos 9 2, sin 9 + 1)可得，| a b| = (cos 9 2) 2+(

19、 sin 9 + 1) 2=6 4cos 9 + 2sin 9 = 2,即 1 2cos 9 + sin 9 = 0.n又 cos2 9 + sin 2 9 = 1,且 9 0,34所以 sin 9 = , cos 9 =.5 5所以sin0 + cos10.设 cos a5, tan3 n na 牙,0B 2，求 a B 的值.解法一由cos a =3nn a 2，得 sin誓，tan a= 2,又于是 tan( a B )1 2 3=1 + tan a tan B = 1B 1+2X3tan a tan B1.丄 3 n又由n a ,n _小0 B 2可得一n 3 nB o, qa B 2

20、,因此,5 n=T.法二cos5 3n,n a 52 得 sin a2；55 .由tan1=3,n Zl_.0 B 2得 sin=丄=10，cos所以sin（a cosB cosa sin310,103 n n 又由n a , 0B 2可得n 2- 3nB 0，2 a B 牙,能力提升题组（建议用时：20分钟）n 2 n 23 n11.(2016 云南统一检测)cos9 cosg cos =( )A.- 8D.1n _解析 cos百 cos- cos -9 n = cos 20 cos 40 cos 1002n23=cos20cos 40 cos 80 =sin 20sin 20 cos 20

21、 cos 40 cos 801qsin 40 cos 40 cos 80sin 2014sin 80-cos 80sin 201sin 1608sin 201sin 208sin 2018.答案 A12. （2017 武汉调研）设a,B 0 , n ,且满足 sincos B cosa sin Ba B ) + Sin( a 2B )的取值范围为(A. 2 1D.1 , . 2C. 1,1解析/ sina cos B cos a sinB = 1 , sin( a，冗,-0由0Wa n,Wn , sin(2 a B ) + sin(a 2 B ) = Sin 2a n+n+ sin( a 2

22、a +a + sin a = 2s in an 5 厂4 W a +W4n, A 1W 23nnsin a +4 w 1,即所求的取值范围是1,1,故选C.答案 C13.已知 cos4 a sin 4 an , n0,空，贝U cos 2 a +-3 =解析 cos4 a sin 4 a=(sin 2 a + cos2 . 2 2 pa )(cos a sin a ) = cos 2 a = 3,又na 0, 2，二 2 a (0 ,n ) , sin 2a = 1 Cos 2 a諾,n二 C0S 2 a + -31 3二 2cos 2 a尹 2 aJx 2逅应=252 3 2 3 -答案14

23、.(2016 西安模拟)如图，现要在一块半径为n为的扇形白铁片A0B上剪出一个平行四边形在弧AB上，点Q在0A上，点M N在0B上,设/ BOPL 9，平行四边形MNP劎面积为S.(1)求S关于9的函数关系式. 求S的最大值及相应的9角.解 分别过P, Q作PDL OB于 D, Q巳OB于 E,则四边形QED为矩形.由扇形半径为1 m,得PD= sin 9 , O亠cos 9 .在Rt OEQPDM* Qi D注 4 OM cos 9-豹中，019，S= MN- PD=cos 9 呼sin 9 sin 9 = sin 9 cos 9 今 sin 29 ,3 31(2)由(1)得 S= 2sin 2 9 百(1 cos 2 9 )=sin 2 B+fcos 2 Bffsin 2B+6 63,2 6 6 3 6 6., 冗. n n 5 n n 1因为 B 0, 3，所以 2B +6 , , sin 2 0 +石 刁 1 .当 0 =纟时，Smax=(m).1 + tan (a + B) tan2cos 2 a = 2cos a 1 =25