高考数学三轮必考热点集中营热点23参数方程和极坐标方程教师版.docx

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高考数学三轮必考热点集中营热点23参数方程和极坐标方程教师版

（新课标）2013高考数学三轮必考热点集中营热点23参数方程和极坐标方程（教师版）

【三年真题重温】

1.【2011

新课标全国理，23】选修4—4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系

中，曲线

的参数方程为

（

为参

数），

是

上的动点，

点满足

，

点的轨迹为曲线

．

（Ⅰ）当求

的方程；

（Ⅱ）在以

为极点，

轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线

与

的异于极点的交点为

，与

的异于极点的交点为

，求

．

2.【2010

新课标全国理，23】选修4-4：

坐标系与参数方程

已知直线C1

（t为参数），C2

（

为参数），

（Ⅰ）当

=

时，求C1与C2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当

变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

【2012

新课标全国理，23】坐标系与参数方程

已知曲线

的参数方程是

，以坐标原点为极点，

轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线

的坐标系方程是

，正方形

的顶点都在

上，

且

依逆时针次序排列，点

的极坐标为

（1）求点

的直角坐标；

（2）设

为

上任意一点，求

的取值范围。

【命题意图猜想】

2011年高考考查了参数方程和极坐标的题目，可化为普通方程求解，涉及到直线和圆的参数方程；2010年高考主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力.2012年高考主要考查直角坐标系与极坐标系之间的互化，以椭圆的参数方程为背景，意在考查考生利用坐标之间的转化求解。

预测2013年高考对直线与圆的参数方程的考查还会继续加强.

【最新考纲解读】

1．坐标系

（1）回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．

（2）通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

（3）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

（4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．

（5）借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别．

2．参数方程

（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物线运动轨迹的参数方程，体会参数的意义．

（2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择恰当的参数写出它们的参数方程．

（3）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．

【回归课本整合】

1．极坐标和直角坐标的互化公式

若点M的极坐标为（

ρ，θ），直角坐标为（x，y），则

.求曲线的极坐标方程f（ρ，θ）＝0的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全

相同．特别注意的是求极坐标方程时，常常要解一个三角形．

（4）极坐标方程ρ＝ρ（θ）表示的平面图形的对称性：

若ρ（－θ）＝ρ（θ），则图形关于极轴对称；

若ρ（π－θ）＝ρ（θ），则图形关于射线θ＝

对称；

若ρ（π＋θ）＝ρ（θ），则图形关于极点对称．

2.特殊的常见曲线（包括直线）的极坐标方程

①圆心在极轴上点C（a,0），过极点的圆方程ρ＝2acosθ.

②圆心在极点、半径为r的圆的极坐标方程ρ＝r.

③圆心在

处且过极点的圆方程为ρ＝2asinθ（0≤θ≤π）．

④过极点倾角为α的直线的极坐标方程为：

θ＝α或θ＝π＋α.

⑤过A（a,0）（a>0）与极轴垂直的直线ρcosθ＝a.

⑥过A

（a>0）

与极轴平行的直线ρsinθ＝a.

3.参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数

（*），并且对于t的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，而这条曲线上任一点M（x，y）都可以通过（*）式得到，则方程组（*）就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数这时，参数t的几何意义是：

以直线l上点M（x0，y0）为起点，任意一点N（x，y）为终点的有向线段的数量为MN且|t|＝|MN|.

4．圆的参数方程

（1）

圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为

（θ为参数）；

（2）圆心为C（a，b），半径为r的圆的参数方程为

（θ为参数）．

5．参数方程和普通方程的互化

（1）化参数方程为普通方程：

消去参数．常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法．

（2）化普通方程为参数方程：

引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f（t）〔或y＝φ（t）〕，再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y＝φ（t）〔或x＝f（t）〕．

【方法技巧提炼】

1.极坐标与直角坐标的互化

（1）极坐标与直角坐标互化的前提条件：

①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度．

（2）直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．

2.求曲线的极坐标方程

求曲线的极坐标方程的步骤：

（1）建立适当的极坐标系，设P（ρ，θ）是曲线上任意一点；

（2）由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的

极径ρ和极角θ之间的关系式；（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．

3.参数方程与普通方程的互化

在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．

4.直线的参数方程及应用

根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：

（1）直线与圆锥曲线相

交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；

（2）定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；

（3）设弦M1M2中点为M，则点M对应的

参数值tM＝

（由此可求|M1M2|及中点坐标）．

5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用

解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数

方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．

【考场经验分享】

1．在极坐标系中，如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R；点的极坐标不惟一，若规定ρ≥0,0≤θ<2π，则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系（极点除外）；

曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程，但曲线上一点P的无数个极坐标中必有一个适合曲线的极坐标方程．

2．极坐标方程θ＝θ1表示一条射线并非直线，只有当允许ρ<0时，θ＝θ1才表示一条直线．

3．只有在a2＋b2＝1时，直线

（t为参数）中的参数t才表示由M（x0，y0）指向N（x，y）的有向线段的数量，而在a2＋b2≠1时，|MN|＝

·t.

4．消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量x（或y）的取值范围．

【新题预测演练】

1.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是

（φ为参数）和

（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求圆C1和C2的极坐标方程；

（2）射线OM:

θ=α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|·|OQ|的最大值

2.【河北省唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试】选修4-4:

坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.己知曲线C1的极坐标方程为p=4cosθ曲线C2的参数方程是

（t为参数，

），射线

与曲线C1交于极点O外的三点A,B,C.

（I）求证：

；

（II）当

时，B

C两点在曲线C2上，求m与a的值.

3.【2013年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测

（二）】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极

坐标方程为：

（I）求曲线C1的普通方程；

（II）曲线C2的方程为

，设P、Q分别为曲线C1与曲

线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值.

4.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄

平民中四校联考】已知点

，参数

，点Q在曲线C：

上。

（Ⅰ）求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点P与点Q之间的最小值。

5.【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】选修4－4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标

中,已知圆

圆

．

（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆

的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；

（2）求圆

的公共弦的参数方程．

6.【宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三第一次模拟】

已知在直角坐标系

中，直线

的参数方程为

（

为参数），在极坐标系（与直角坐标系

取相同的长度单位，且以原点O为极点，以

轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为

。

（1）求直线

的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线

的距离的取值范围。

7.【河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试】以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线I的参数方程为

（t为参数,O

）,曲线C的极坐标方程为

（I）求曲线C的直角坐标方程；

（II）设直线l与曲线C相交于A,B两

点,当a变化时,求

的最小值.

8.【2013年乌鲁木

齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】（本题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程将圆

上各点的纵坐标压缩至原来的

，所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l.（I）求直线l与曲线C的方程；

（II）求C上的点到直线l的最大距离.

9.【河北省唐山市2012—201 3学年度高三年级期末考试】

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线Cl的极坐标方程为

，曲线C2的参数方程为

为参数）。

（I）当

时，求曲线Cl与C2公共点的直角坐标；

（II）若

，当

变化时，设曲线C1与C2的公共点为A，B，试求AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．

10.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】平面直角坐标系中，将曲线

（a为参数）上的每～点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C2的方程为p=4sinθ．

（I）求Cl和C2的普通方程．

（Ⅱ）求Cl和C2公共弦的垂直平分线的极坐标方程．

11.【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】

选修4－4：

坐标系与参数方程选讲.

已知曲线

的极坐标方程为

，以极点为原点，极轴为

轴正半轴建立平

面直角坐标系，设直线

的参数方程为

（

为参数）.