四川省广安眉山届高三第一次诊断性考试数学理试题Word版附详细解析.docx
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四川省广安眉山届高三第一次诊断性考试数学理试题Word版附详细解析
高中2018届毕业班第一次诊断性考试
数学（理工类）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，函数
的定义域为
，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
集合
，
，故选B.
2.若
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
，故选B.
3.执行如图所示的程序框图，若输出的
，则输入的
（）
A.
B.
C.
D.
或
【答案】D
【解析】该程序框图表示的是分段函数，
输出的
由
得
，由
，得
，输入的
或
，故选D.
4.
的展开式中，
的系数为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为
展开式中，
，
的系数分别为
，所以
的展开式中，
的系数为
故选B.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：
（1）考查二项展开式的通项公式
；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
5.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）
A.样本中的男生数量多于女生数量B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C.样本中多数男生喜欢手机支付D.样本中多数女生喜欢现金支付
【答案】D
【解析】由右边条形图知，男生女生喜欢手机支付的比例都高于现金支付的比例，所以男生女生都喜欢手机支付，故
对，
错，由左边条形图知，男生女生手机支付都比现金支付比例相同，
对，结合两个条形图可知，样本中的男生数量多于女生数量，
对，故选D.
6.已知
是边长为
的等边三角形，点
在边
上，且
，则
的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
是边长为
的等边三角形，且
，
，故选B.
7.若将函数
的图象向左平移
个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】函数
将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得
的图象，令
，求得
，则平移后的图象的对称轴方程为
，故选A.
8.从
这
个数字中选
个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被
整除的概率为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】从
这
个数字中选
个数字组成没有重复数字的三位数：
（个），三位数是
的倍数，需要满足各个数位上的数之和是
的倍数，有两种情况
和
；由
组成没有重复数字的三位数共有
个，由
组成没有重复数字的三位数共有
个，所以一共有：
个，这个三位数被
整除的概率是
，故选D.
9.已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
；当
时，
，则函数
的零点个数是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
函数满足
函数为偶函数，设函数
，则函数
也是偶函数，
的零点个数就是
与
图象的交点个数，
两函数图象都关于
轴对称，
只需求出
轴右边的交点个数乘以
即可，画出
与
轴右边的图象，如图，由图知有
个交点，所以共有
个交点，故选C.
10.已知椭圆
的左焦点为
轴上的点
在椭圆外，且线段
与椭圆
交于点
，若
，则
椭圆的离心率为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为
，所以
，连接
，则可得三角形
为直角三角形，在
中，
，则
，则离心率
，故选C.
【方法点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
①直接求出
，从而求出
;②构造
的齐次式，求出
;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据特殊直角三角形可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出
之间的关系，求出离心率
．
11.已知
是球
的直径，
是球
球面上的两点，且
，若三棱锥
的体积为
，则球
的表面积为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设球心为
是球心的直径，
是
的中点，
，设
到面
距离为
，则
，即
，由正弦定理可得
外接圆直径为
球半径为
，球表面积为
，故选D.
12.已知函数
，设关于
的方程
有
个不同的实数解，则
的所有可能的值为
A.
B.
或
C.
或
D.
或
或
【答案】A
【解析】
在
和
上单增，
上单减，又当
时，
时，
故
的图象大致为：
令
，则方程
必有两个根，
且
，不仿设
，当
时，恰有
，此时
，有
个根，
，有
个根，当
时必有
，此时
无根，
有
个根，当
时必有
，此时
有
个根，
，有
个根，综上，对任意
，方程均有
个根，故选A.
【方法点睛】已知函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：
（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为
的交点个数的图象的交点个数问题.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知
，则
__________．
【答案】
【解析】
，所以
，故答案为
.
14.已知直线
与圆
相交于
两点，若
，则实数
的值为__________．.....................
【答案】1
【解析】由圆
，得到圆心坐标为
，半径
圆的直径为
，因为
，所以直线
经过圆心
，可得
解得
，故答案为
.
15.如图，已知
是函数
图象上的两点，
是函数
图象上的一点，且直线
垂直于
轴，若
是等腰直角三角形（其中
为直角顶点），则点
的横坐标为__________．
【答案】
【解析】设
因为
，所以
，因为
是等腰直角三角形，所以可得
，又因为在
函数
图象上，所以
，解得
点A的横坐标为
，故答案为
.
16.如图表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为
的有__________对．
【答案】3
【解析】
观察平面图形翻折前后相对位置的变化，可知
与
与
与
都是异面直线，且所成角为
，而
与
相交，
与
相交，
与
平行，故四条线段
在原正方体中互为异面直线且所成角为
的有
对，故答案为
.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列
的前
项和为
，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设数列
的前
项和为
，求满足不等式
的最小正整数
.
【答案】
（1）
（2）
【解析】试题分析：
（1）由
可得
，两式相减可得
，又
，利用累加法可求数列
的通项公式；
（2）由
（1）知
，利用裂项相消法可求出数列
的前
项和为
，求解不等式
可得
，从而可得满足不等式
的最小正整数
.
试题解析：
（1）由
，有
，又
，
所以
时，
.
当
时，也满足
，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由
（1）知
，
所以
令
，解得
，
所以满足不等式
的最小正整数
为
.
18.在
中，内角
所对的边分别为
，已知
的面积为
.
（1）求
；
（2）求
的值.
【答案】
（1）
（2）
【解析】试题分析：
（1）由
的面积为
，根据同角三角函数之间的关系及三角形面积公式求出
，结合
和余弦定理即可求得
的值；
（2）由正弦定理得：
，所以
.
试题解析：
（1）由
的面积为
，得
.
因
，所以
，
所以
，得
，
又
，
由余弦定理得：
，
所以
.
（2）法一：
由
（1）中
.
解得
，
由正弦定理得：
，
所以
，
法二：
由
（1）有
，
所以
.
由正弦定理得
，
所以
.
19.全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市
年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值（满分
分）进行了统计，制成如图所示的散点图：
（1）根据散点图，建立
关于
的回归方程
；
（2）从该市的市民中随机抽取了容量为
的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为
，以频率为概率，若从这
名市民中随机抽取
人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为
，求
的分布列和数学期望.
附：
对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
.
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，
【解析】试题分析：
（1）根据散点图及平均数公式可求出
与
的值可得样本中心点的坐标，从而求可得公式
中所需数据，求出
，再结合样本中心点的性质可得
，进而可得
关于
的回归方程；
（2）从这
名市民中随机抽取
人，
的可能取值为
，根据独立重复试验概率公式求出个随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得
的数学期望.
试题解析：
（1）由题，
，
则
.
.
则
.
所以运动参与
关于
的回归方程是
.
（2）以频率为概率，从这
名市民中随机抽取
人，经常参加体育锻炼的概率为
，由题，
的可能取值为
.
则
.
分布列如下：
数学期望
或
.
【方法点晴】本题主要考查散点图的应用和线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：
①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算
的值；③计算回归系数
；④写出回归直线方程为
；回归直线过样本点中心
是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
20.如图，
是棱形，
与
相交于点
，平面
平面
，且
是直角梯形，
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】
（1）见解析
（2）
【解析】试题分析：
（1）由菱形的性质可得
，由线面垂直的性质可得
平面
，再由线面垂直的性质可得结论；
（2）直角梯形
中，由
得
平面
，取
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