概率习题答案3.docx

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概率习题答案3

概率习题答案3

第三章多维随机变量及其分布

 3.1二维随机变量及其分布

习题1

设（X,Y）的分布律为

X\Y

123 

 1

1/61/91/18

 2

 1/3a1/9

求a.

分析：

dsfsd1f6d54654646

解答：

由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知

               1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,

解得

                          a=2/9.

习题2

（1）

2.设（X,Y）的分布函数为F（x,y），试用F（x,y）表示：

（1）P{a

解答：

P{a

习题2

（2）

2.设（X,Y）的分布函数为F（x,y），试用F（x,y）表示：

（2）P{0

解答：

P{0

习题2（3）

2.设（X,Y）的分布函数为F（x,y），试用F（x,y）表示：

  （3）P{X>a,Y≤b}.

解答：

P{X>a,Y≤b}=F（+∞,b）-F（a,b）.

习题3

（1）

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

（1）P{12

解答：

P{12

   P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=14+0+0=14.

习题3

（2）

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

（2）P{1≤X≤2,3≤Y≤4};

解答：

P{1≤X≤2,3≤Y≤4}

=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}

=0+116+0+14=516.

习题3（3）

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

  （3）F（2,3）.

解答：

F（2,3）=P（1,1）+P（1,2）+P（1,3）+P（2,1）+P（2,2）+P（2,3）

=14+0+0+116+14+0=916.

习题4

设X,Y为随机变量，且

      P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47,

求P{max{X,Y}≥0}.

解答：

P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}

                  =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}

                 =47+47-37=57.

习题5

（X,Y）只取下列数值中的值：

                 （0,0）,（-1,1）,（-1,13）,（2,0）

且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出（X,Y）的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.

解答：

（1）因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量（X,Y）的联合概率分布.因（X,Y）只取上述四组可能值，故事件：

    {X=-1,Y=0},  {X=0,Y=13,

    {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}

均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表：

（1）求Y的边缘分布律；

（2）求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};

（3）判定X与Y是否独立？

解答：

（1）由（x,y）的分布律知，y只取0及1两个值.

   P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7

   P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3.

（2）P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,

   P{y=1∣x=0}=13.

（3）已知P{x=0,y=0}=715, 由

（1）知P{y=0}=0.7, 类似可得

              P{x=0}=0.7.

因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅P{y=0}, 所以x与y不独立.

习题2

将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为

 X\Y

  5152535455 

 5152535455

 0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03

（1）求边缘分布律;

（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.

解答：

（1）边缘分布律为

X 

  5152535455

pk 

 0.180.150.350.120.20

对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.

对应Y的值（最上边的一行）, 将每列的概率相加，可得P{Y=j}.

Y

  5152535455

pk 

 0.280.280.220.090.13

（2）当Y=51时,X的条件分布律为

   P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.

列表如下:

k

  5152535455

 P{X=k∣Y=51}

 6/287/285/285/285/28

习题3

已知（X,Y）的分布律如下表所示，试求：

（1）在Y=1的条件下,X的条件分布律;

（2）在X=2的条件下,Y的条件分布律.

X\Y 

   012 

 012

 1/41/8001/301/601/8

解答：

由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为

X 

  012 

pk 

 3/81/37/24

 Y

   012 

 pk

 5/1211/241/8

故

（1）在Y=1条件下，X的条件分布律为

X∣（Y=1） 

   012

 pk

 3/118/110

（2）在X=2的条件下，Y的条件分布律为

Y∣（X=2） 

  012

 pk

 4/703/7

习题4

 已知（X,Y）的概率密度函数为f（x,y）={3x,0

（1）边缘概率密度函数；

（2）条件概率密度函数.

解答：

（1）fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy={3x2,0

  fY（y）=∫-∞+∞f（x,y）dx={32（1-y2）,0

（2）对∀y∈（0,1）,

  fX∣Y（x∣y）=f（x,y）fY（y）={2x1-y2,y

对∀x∈（0,1）,

  fY∣X（y∣x）=f（x,y）fX（x）={1x,0

习题5

X与Y相互独立，其概率分布如表（a）及表（b）所示，求（X,Y）的联合概率分布，P{X+Y=1}, P{X+Y≠0}.

X

-2-101/2 

 pi

 1/41/31/121/3

表（a）

 Y

-1/213 

 pi

 1/21/41/4

表（b）

解答：

由X与Y相互独立知

          P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj）,

从而（X,Y）的联合概率分布为

X\Y

-1/2

1

3

-2-101/2

P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{X=1/2}P{Y=-1/2}

P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}

P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}

亦即表

X\Y 

 -1/213

 -2-101/2

  1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12

    P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,

    P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}

                 =1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12

                 =1-112-16=34.

习题6

某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:

55∼8:

00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为

                   fY（y）={2（5-y）25,0≤y≤50,其它,

求此人能及时上火车站的概率.

解答：

由题意知X的密度函数为

                  fX（x）={15,0≤x≤50,其它,

因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：

          fXY（x,y）={2（5-y）125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,

故此人能及时上火车的概率为

             P{Y>X}=∫05∫x52（5-y）125dydx=13.

习题7

设随机变量X与Y都服从N（0,1）分布，且X与Y相互独立，求（X,Y）的联合概率密度函数.

解答：

由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是

              fX（x）=12πe-x22，  fY（y）=12πe-y22

因为X与Y相互独立，所以（X,Y）的联合概率密度函数是

                    f（x,y）=12πe-12（x+y）2.

习题8

设随机变量X的概率密度

f（x）=12e-∣x∣（-∞

问：

X与∣X∣是否相互独立？

解答：

若X与∣X∣相互独立，则∀a>0, 各有

           P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},

而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a}, 故由上式有

    P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},

⇒P{∣X∣≤a}（1-P{X≤a}）=0

⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅（∀a>0）

但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.

习题9

设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

fY（y）={12e-y2,y>00,y≤0,

（1）求X与Y的联合概率密度；

（2）设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.

解答：

（1）由题设易知

fX（x）={1,0

又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为

f（x,y）=fX（x）⋅fY（y）={12e-y2,000,其它;

（2）因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},

故如图所示得到：

    P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf（x,y）dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy

                =-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx]

                =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]

                =1-2π[Φ

（1）-Φ（0）,

又Φ

（1）=0.8413, Φ（0）=0.5, 于是Φ

（1）-Φ（0）=0.3413, 所以

    P{a有实根}=1-2π[Φ

（1）-Φ（0）]≈1-2.51×0.3413=0.1433.

 3.3二维随机变量函数的分布

习题1

设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.

解答：

由于U≥V, 可见P{U=i,V=j}=0（i

      P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9（i=1,2,3）,

      P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9（i>j）,

于是，随机变量U和V的联合概率分布为

 V\概率\U

1

 2

3

1

1/9

2/9

2/9

2

0

1/9

2/9

3

0

0

1/9

习题2

设（X,Y）的分布律为

X\Y 

  -112 

 -12

 1/101/53/101/51/101/10

试求：

（1）Z=X+Y;   

（2）Z=XY;    （3）Z=X/Y;  

      （4）Z=max{X,Y}的分布律.

解答：

与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.

概率 

     1/101/53/101/51/101/10

（X,Y）X+YXYX/Ymax{x,Y} 

 （-1,-1）（-1,1）（-1,2）（2,-1）（2,1）（2,2）-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222

于是

（1）

X+Y 

-20134 

 pi

 1/101/51/21/101/10

（2）

XY 

-20134 

 pi

 1/21/51/101/101/10

（3）

X/Y 

-2-1-1/212 

 pi

 1/51/53/101/51/10

（4）

max{X,Y} 

-112 

 pi

1/101/57/10 

习题3

设二维随机向量（X,Y）服从矩形区域D={（x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均匀分布，且

                 U={0,X≤Y1,X>Y,  V={0,X≤2Y1,X>2Y,

求U与V的联合概率分布.

解答：

依题（U,V）的概率分布为

    P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}

                    =∫01dx∫x112dy=14,

    P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0,

    P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y

                    =∫01dy∫y2y12dx=14,

　P{U=1,V=1}

　　=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,

即

U\V 

  01

 01

 1/401/41/2

习题4

设（X,Y）的联合分布密度为

              f（x,y）=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,

求Z的分布密度.

解答：

                    FZ（z）=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.

当z<0时，FZ（z）=P（∅）=0;

当z≥0时，

    FZ（z）=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f（x,y）dxdy

         =12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ

     =∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.

故Z的分布函数为

                       FZ（z）={1-e-z22,z≥00,z<0.

Z的分布密度为

                      fZ（z）={ze-z22,z>00,z≤0.

习题5

设随机变量（X,Y）的概率密度为

                f（x,y）={12（x+y）e-（x+y）,x>0,y>00,其它,

（1）问X和Y是否相互独立？

（2）求Z=X+Y的概率密度.

解答：

（1）fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy

         ={∫0+∞12（x+y）e-（x+y）dy,x>00,x≤0

         \under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12（x+1）e-x,x>00,x≤0,

由对称性知fY（y）={12（y+1）e-y,y>00,y≤0, 显然

            f（x,y）≠fX（x）fY（y）,x>0,y>0,

所以X与Y不独立.

（2）用卷积公式求fZ（z）=∫-∞+∞f（x,z-x）dx.

当{x>0z-x>0 即 {x>0x

当z≤0时，fZ（z）=0;

当z>0时，fZ（z）=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.

于是，Z=X+Y的概率密度为

             fZ（z）={12z2e-z,z>00,z≤0.

习题6

设随机变量X,Y相互独立，若X服从（0,1）上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.

解答：

据题意，X,Y的概率密度分布为

            fX（x）={1,0

由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为

    fZ（z）=∫-∞+∞fX（x）fY（z-x）dx=∫-∞+∞fX（z-y）fY（y）dy

         =∫0+∞fX（z-y）e-ydy.

由0

当z≤0时，有fX（z-y）=0, 故fZ（z）=∫0+∞0⋅e-ydy=0;

当z>0时，

     fZ（z）=∫0+∞fX（z-y）e-ydy=∫max（0,z-1）ze-ydy=e-max（0,z-1）-e-z,

即

                fZ（z）={0,z≤01-e-z,01.

习题7

设随机变量（X,Y）的概率密度为

f（x,y）={be-（x+y）,0

（1）试确定常数b；

（2）求边缘概率密度fX（x）,fY（y）；

（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.

解答：

（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f（x,y）dxdy=1，确定常数b.

           ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b（1-e-1）=1，

所以b=11-e-1，从而

              f（x,y）={11-e-1e-（x+y）,0

（2）由边缘概率密度的定义得

         fX（x）={∫0+∞11-e-1e-（x+y）dy=e-x1-e-x,0

          fY（x）={∫0111-e-1e-（x+y）dx=e-y,0

（3）因为f（x,y）=fX（x）fY（y），所以X与Y独立，故

          FU（u）=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX（u）FY（u），

其中    FX（x）=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0

所以        FX（x）={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0

同理FY（y）={∫0ye-tdt=1-e-y,0

因此     FU（u）={0,u<0,（1-e-u）21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.

习题8

设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为

        ϕ1（x）={αe-αx,x>00,x≤0, ϕ2（y）={βe-βy,y>00,y≤0,

其中α>0,β>0,α≠β, 试求系统L的寿命Z的概率密度.

解答：

设Z=min{X,Y}, 则

    F（z）=P{Z≥z}=P{min（X,Y）≤z}

       =1-P{min（X,Y）>z}=1-P{X≥z,Y≥z}

       =1-[1P{X

  由于

 F1（z）={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,

    F2（z）={1-e-βz,z≥00,z<0,

 故

   F（z）={1-e-（α+β）z,z≥00,z<0,

从而   

   ϕ（z）={（α+β）e-（α+β）z,z>00,z≤0.

习题9

设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：

                P{aa}]2-[P{X>b}]2.

解答：

设min{X,Y}=Z,则

    P{a

    FZ（z）=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}

         =1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}

         =1-[P{X>z}]2,

代入得

    P{ab}]2-（1-[P{X>a}]2）

                       =[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.

证毕.

 复习总结与总习题解答

习题1

在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：

（1）放回抽样；

（2）不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：

X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品,Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,

试分别就

（1）,

（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律.

解答：

（1）有放回抽样，（X,Y）分布律如下：

P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536;P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,

P{X=0,Y=1}=10×212×12=536,P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,

（2）不放回抽样，（X,Y）的分布律如下：

P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566,P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,

P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066,P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,

Y\ X

  01 

  01 

45/6610/6610/661/66 

习题2

假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量

Xk={0,若Y≤k1,若Y>k（k=1,2）,

求（X1,X2）的联合分布率与边缘分布率.

解答：

因为Y服从参数为1的指数分布，X1={0,若Y≤11,若Y>1,所以有

P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1,

P{X1=0}=1-e-1,

同理

P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2,

P{X2=0}=1-e-2,

因为

P{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2，

P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,

P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,

P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,

故（X1,X2）联合分布率与边缘分布率如下表所示：

X1\slashX2

0

1

P{X1=i}

0

1-e-1

0

1-e-1