概率习题答案3.docx

1、概率习题答案3概率习题答案3第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为XY1 2 311/6 1/9 1/1821/3a1/9求a.分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性质ijPij=1,可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)PaXb,Yc;解答：PaXb,Yc=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P0Yb;解答：P0a,Yb.解答：PXa,Yb=F

2、(+,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P12X32,0Y4;解答：P12X23,0Y4PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P1X2,3Y4;解答：P1X2,3Y4=PX=1,Y=3+PX=1,Y=4+PX=2,Y=3+PX=2,Y=4=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,

3、2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且PX0,Y0=37,PX0=PY0=47,求PmaxX,Y0.解答：PmaxX,Y0=PX,Y至少一个大于等于0=PX0+PY0-PX0,Y0 =47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512,请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1,故所给的一组实数必是某二维随机

4、变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：X=-1,Y=0,X=0,Y=13,X=0,Y=1,X=2,Y=13,X=2,Y=1均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表： (1)求Y的边缘分布律；(2)求PY=0X=0,PY=1X=0;(3)判定X与Y是否独立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1两个值.Py=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7Py=1=i=01Px=i,y=1=130+115=0.3.(2)Py=0x=0=Px=0,y=0Px=0=23,Py=1x=0=13.(3)已知Px=0,y=0=715,由(1)知

5、Py=0=0.7,类似可得Px=0=0.7.因为Px=0,y=0Px=0Py=0,所以x与y不独立.习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y. 据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为XY515253545551525354550.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.解答：(1)边缘分布律为X5152535455pk0.180.150.

6、350.120.20对应X的值,将每行的概率相加,可得PX=i.对应Y的值(最上边的一行),将每列的概率相加，可得PY=j.Y5152535455pk0.280.280.220.090.13(2)当Y=51时,X的条件分布律为PX=kY=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28,k=51,52,53,54,55.列表如下:k5152535455PX=kY=516/287/285/285/285/28习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求：(1)在Y=1的条件下,X的条件分布律;(2)在X=2的条件下,Y的条件分布律.XY0120121/41/8001/301/601/8解答

7、：由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为X012pk3/81/37/24Y012pk5/1211/241/8故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为X(Y=1)012pk3/118/110(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为Y(X=2)012pk4/703/7习题4已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=3x,0x1,0yx0,其它,求：(1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数.解答：(1)fX(x)=-+f(x,y)dy=3x2,0x10,其它,fY(y)=-+f(x,y)dx=32(1-y2),0y10,其它.(2)对y(0,1),fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=

8、2x1-y2,yx1,0,其它,对x(0,1),fYX(yx)=f(x,y)fX(x)=1x,0yX=05x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12e-x22，fY(y)=12e-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12e-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-x(-x0,各有PXa,Xa=PXaPXa,而事件XaXa,故由上式有PXa=PXaPXa,PXa(1-PXa)=0

9、PXa=0或1=PXa(a0)但当a0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与X不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)=12e-y2,y00,y0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)=1,0x10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)fY(y)=12e-y2,0x00,其它;(2)因a有实根=判别式2=4X2-4Y0=X2Y,故如图所示得到：Pa有实根=PX2Y=x2yf(x,y)dxdy=01dx0x212e-

10、y2dy=-01e-x22dx=1-1e-x22dx-0e-x22dx=1-212-1e-x22dx-12-0e-x22dx=1-2(1)-(0),又(1)=0.8413,(0)=0.5,于是(1)-(0)=0.3413,所以Pa有实根=1-2(1)-(0)1-2.510.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=maxX,Y和V=minX,Y的联合分布.解答：由于UV,可见PU=i,V=j=0(ij),于是，随机变量U和V的联合概率分布为V概率U12311/92/92/9201/92/93001/9习题2

11、设(X,Y)的分布律为XY-112-121/101/53/101/51/101/10试求：(1)Z=X+Y;(2)Z=XY;(3)Z=X/Y;(4)Z=maxX,Y的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.概率1/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymaxx,Y(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是(1)X+Y-20134pi1/101/51/21/101/10(2)XY-2013

12、4pi1/21/51/101/101/10(3)X/Y-2-1-1/212pi1/51/53/101/51/10(4)maxX,Y-112pi1/101/57/10习题3设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D=(x,y0x2,0y1的均匀分布，且U=0,XY1,XY,V=0,X2Y1,X2Y,求U与V的联合概率分布.解答：依题(U,V)的概率分布为PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY=01dxx112dy=14,PU=0,V=1=PXY,X2Y=0,PU=1,V=0=PXY,X2Y=PYX2Y=01dyy2y12dx=14,PU=1,V=1=1-PU=0,V=0-PU=0,V=1-PU=1

13、,V=0=1/2,即UV01011/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12e-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答： FZ(z)=PZz=PX2+Y2z.当z0时，FZ(z)=P()=0;当z0时，FZ(z)=PX2+Y2z2=x2+y2z2f(x,y)dxdy=12x2+y2z2e-x2+y22dxdy=1202d0ze-22d=0ze-22d=1-e-z22.故Z的分布函数为FZ(z)=1-e-z22,z00,z00,z0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=12(x+y)e-(x+y),x0,y00,其它,(1)问X和Y是否相互

14、独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=-+f(x,y)dy=0+12(x+y)e-(x+y)dy,x00,x0under2line令x+y=tx+12te-tdt=12(x+1)e-x,x00,x0,由对称性知fY(y)=12(y+1)e-y,y00,y0,显然f(x,y)fX(x)fY(y),x0,y0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=-+f(x,z-x)dx.当x0z-x0即x0x0时，fZ(z)=0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=12z2e-z,z00,z0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1

15、)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)=1,0x10,其它,fY(y)=e-y,y00,y0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=-+fX(x)fY(z-x)dx=-+fX(z-y)fY(y)dy=0+fX(z-y)e-ydy.由0z-y1得z-1y0时，fZ(z)=0+fX(z-y)e-ydy=max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)=0,z01-e-z,01.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=be-(x+y),0x1,0y+,0,其它.（1）试

16、确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=maxX,Y的分布函数.解答：（1）由-+-+f(x,y)dxdy=1，确定常数b.01dx0+be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)=11-e-1e-(x+y),0x1,0y+,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)=0+11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0x1,0,其它，fY(x)=0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0y+,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=PmaxX,Yu=PXu,Yu=FX

17、(u)FY(u)，其中FX(x)=0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0x1，所以FX(x)=0,x0,1-e-x1-e-1,0x1,1,x1.同理FY(y)=0ye-tdt=1-e-y,0y+,0,y0，因此FU(u)=0,u0,(1-e-u)21-e-1,0u00,x0,2(y)=e-y,y00,y0,其中0,0,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=minX,Y,则F(z)=PZz=Pmin(X,Y)z =1-Pmin(X,Y)z=1-PXz,Yz =1-1PXz1-PYz=1-1-F1z1-F2z由于F1(z)=0ze-xdx=1-e-z,z00,z0,F2(z)=1-

18、e-z,z00,z0,故 F(z)=1-e-(+)z,z00,z00,z0.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：Paa2-PXb2.解答：设minX,Y=Z,则Paz=1-PXz,Yz=1-PXzPYz=1-PXz2,代入得Pab2-(1-PXa2) =PXa2-PXb2.证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：X=0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y=0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(

19、2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：PX=0,Y=0=10101212=2536; PX=1,Y=0=2101212=536,PX=0,Y=1=1021212=536, PX=1,Y=1=221212=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：PX=0,Y=0=1091211=4566, PX=0,Y=1=1021211=1066,PX=1,Y=0=2101211=1066, PX=1,Y=1=211211=166,YX010145/6610/6610/661/66习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量 Xk=0,若Yk1,

20、若Yk(k=1,2),求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.解答：因为Y服从参数为1的指数分布，X1=0,若Y11,若Y1, 所以有 PX1=1=PY1=1+e-ydy=e-1, PX1=0=1-e-1,同理 PX2=1=PY2=2+e-ydy=e-2, PX2=0=1-e-2,因为 PX1=1,X2=1=PY2=e-2， PX1=1,X2=0=PX1=1-PX1=1,X2=1=e-1-e-2, PX1=0,X2=0=PY1=1-e-1, PX1=0,X2=1=PX1=0-PX1=0,X2=0=0,故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示：X1slashX201PX1=i01-e-101-e-1