高三数学文一轮复习讲解与练习34函数yAsinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用含答案解析.docx
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高三数学文一轮复习讲解与练习34函数yAsinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用含答案解析
第四节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.了解函数y＝Asin（ωx＋φ）的物理意义；能画出y＝Asin（ωx＋φ）的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
1.以选择题的形式考查三角函数的图象变换及由图象确定解析式等，如2012年天津T7，浙江T6等．
2.与三角恒等变换相结合考查y＝Asin（ωx＋φ）的性质及简单应用且以解答题的形式考查，如2012年湖南T18等.
[归纳·知识整合]
1．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0），x∈[0，＋∞）表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝
＝
ωx＋φ
φ
2．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－
＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin（ωx＋φ）
0
A
0
－A
0
[探究] 1.用五点法作y＝Asin（ωx＋φ）的图象，应首先确定哪些数据？
提示：
先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，
，π，
，2π，然后求出x的值．
3．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的步骤
法一 法二
[探究] 2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？
提示：
可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移
个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．
[自测·牛刀小试]
1．（教材习题改编）为了得到函数y＝3sin
的图象，只要把函数y＝3sin
的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动
个单位长度
B．向左平行移动
个单位长度
C．向右平行移动
个单位长度
D．向左平行移动
个单位长度
解析：
选C ∵y＝3sin
＝3sin
，∴要得到函数y＝3sin
的图象，应把函数y＝3sin
的图象上所有点向右平行移动
π个单位长度．
2．（教材习题改编）y＝2sin
的振幅、频率和初相分别为（ ）
A．2，
，－
B．2，
，－
C．2，
，－
D．2，
，－
解析：
选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin
的振幅为2，周期为π，频率为
，初相为－
.
3．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：
选C 将y＝sinx的图象向右平移
个单位得到y＝sin
的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin
的图象．
4．将函数y＝sin（2x＋φ）（0≤φ≤π）的图象向左平移
个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．
解析：
函数y＝sin（2x＋φ）的图象向左平移
个单位后，
得y＝sin
，则
＋φ＝kπ＋
.又0≤φ≤π，故φ＝
.
答案：
5．函数y＝Asin（ωx＋φ）（A、ω、φ为常数，A>0，ω>0）在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
解析：
由函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象可知：
＝
－
＝
，
则T＝
π.
∵T＝
＝
π，∴ω＝3.
答案：
3
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
[例1] 已知函数y＝2sin
，
（1）求它的振幅、周期、初相；
（2）用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
（3）说明y＝2sin
的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．
[自主解答]
（1）y＝2sin
的振幅A＝2，周期T＝
＝π，初相φ＝
.
（2）令X＝2x＋
，则y＝2sin
＝2sinX.
列表，并描点画出图象：
x
－
X
0
π
2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
（3）法一：
把y＝sinx的图象上所有的点向左平移
个单位，得到y＝sin
的图象，再把y＝sin
的图象上的点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到y＝sin
的图象，最后把y＝sin
上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y＝2sin
的图象．
法二：
将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移
个单位，得到y＝sin2
＝sin
的图象；再将y＝sin
的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin
的图象．
若将本例（3）中“y＝sinx”改为“y＝2cos2x”，则如何变换？
解：
y＝2cos2x＝2sin
y＝2sin2x
y＝2sin
，
即将y＝2cos2x的图象向右平移
个单位即可得到
y＝2sin
的图象．
—————
——————————————
函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的作法
（1）五点法：
用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，
，π，
π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
（2）图象变换法：
由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，有两种主要途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
1．（2012·山东高考）已知向量m＝（sinx,1），n＝
Acosx，
cos2x（A>0），函数f（x）＝m·n的最大值为6.
（1）求A；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在
上的值域．
解：
（1）f（x）＝m·n
＝
Asinxcosx＋
cos2x＝A
＝Asin
.
因为A>0，由题意知A＝6.
（2）由
（1）知f（x）＝6sin
.
将函数y＝f（x）的图象向左平移
个单位后得到
y＝6sin
＝6sin
的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到y＝6sin
的图象．
因此g（x）＝6sin
.
因为x∈
，所以4x＋
∈
，
故g（x）在
上的值域为[－3,6].
求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
[例2]
（1）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图
（1）所示，则f（0）＝________.
（2）如图
（2）所示是函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B
图象的一部分，则f（x）的解析式为________．
图
（1） 图
（2）
[自主解答]
（1）由图可知
A＝
.
∵
＝
－
＝
，
∴T＝π.又∵T＝
＝π，
∴ω＝2.
又图象过点
，
∴sin
＝0.
由图可知
π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z.
∴φ＝2kπ＋
，k∈Z.
故f（x）＝
sin
，f（0）＝
sin
＝
.
（2）由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.
把（0,2）代入f（x），得2＝2sinφ＋1，取φ＝
.
由图，可知0＜ω＜1，令ω（－π）＋φ＝－
＋2kπ，
得ω＝
.
所以函数的解析式是f（x）＝2sin
＋1.
答案：
（1）
（2）f（x）＝2sin
＋1
—————
——————————————
确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的解析式的步骤
（1）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝
，b＝
.
（2）求ω，确定函数的周期T，则ω＝
.
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：
把图象上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图象与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．
②五点法：
确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：
“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0；“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝
；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝
；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
2．设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0,0＜φ＜
）的部分图象如图所示，直线x＝
是它的一条对称轴，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝sin
B．f（x）＝sin
C．f（x）＝sin
D．f（x）＝sin
解析：
选D ∵由题意可知，
＝
－
＝
，
∴T＝π＝
，∴ω＝2.再将x＝
代入B，D检验直线x＝
是否是对称轴，得D选项正确.
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质的综合应用
[例3] 函数f（x）＝6cos2
＋
sinωx－3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若f（x0）＝
，且x0∈
，求f（x0＋1）的值．
[自主解答]
（1）由已知可得，f（x）＝3cosωx＋
sinωx＝2
·sin
.
又正三角形ABC的高为2
，从而BC＝4.
所以函数f（x）的周期T＝4×2＝8，即
＝8，ω＝
.
函数f（x）的值域为[－2
，2
]．
（2）因为f（x0）＝
，
由
（1）有f（x0）＝2
sin
＝
，
即sin
＝
.
由x0∈
，
知
＋
∈
，
所以cos
＝
＝
.
故f（x0＋1）＝2
sin
＝2
sin
＝2
＝2
＝
.
—————
——————————————
解决三角函数图象与性质的综合问题的方法
认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键．此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握．
3．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），x∈R
，其部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知横坐标分别为－1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，求sin∠MNP的值．
解：
（1）由图可知，
最小正周期T＝4×2＝8，所以T＝
＝8，ω＝
.
又f
（1）＝sin
＝1，且－
＜φ＜
，
所以－
＜
＋φ＜
，所以
＋φ＝
，φ＝
.
所以f（x）＝sin
（x＋1）．
（2）因为f（－1）＝sin
（－1＋1）＝0，
f
（1）＝
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