A．a≤2 B．a＜1C．a≥2D．a＞2
答案：
C
解析：
∵B＝{x|1＜x＜2}，∴∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，
由A∪（∁RB）＝R，如图所示
可知a≥2.
考点三交、并、补的综合应用
【例3】设集合U＝{x|x是小于10的正整数}，A⊆U，B⊆U，且（∁UA）∩B＝{1，9}，A∩B＝{2}，（∁UA）∩（∁UB）＝{4，6，8}，求A与B.
解：
法一：
∵A∩B＝{2}，（∁UA）∩B＝{1，9}，
∴B＝（A∩B）∪[（∁UA）∩B]＝{1，2，9}．
∵A∪B＝∁U[（∁UA）∩（∁UB）]＝{1，2，3，5，7，9}，
又B＝{1，2，9}，A∩B＝{2}，∴A＝{2，3，5，7}．
法二：
利用Venn图，在图中标出各个元素的相关位置，可以直接写出A和B，A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，9}．事实上，全集U由四个集合（∁UA）∩B，A∩B，A∩（∁UB）和（∁UA）∩（∁UB）组成，且以上任两个集合的交集为∅，故全集中每个元素仅属四个集合中的一个集合．
[通一类]
【变题4】已知全集U＝{x|x∈N，且x是不大于20的素数}，M⊆U，N⊆U，且M∩（∁UN）＝{3，5}，（∁UM）∩N＝{7，19}，（∁UM）∩（∁UN）＝{2，17}，求集合M，N.
解：
用图示法表示集合U，M，N（如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内．
由图可知，M＝{3，5，11，13}，
N＝{7，11，13，19}．
四、随堂练习
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则（CUA）∩（CUB）＝（ ）
A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3}D．{2,4,6}
答案：
B
解析：
因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）＝{7,9}．
2．设集合A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）
A．3个 B．4个C．5个 D．6个
答案：
B
解析：
A∪B＝{3，4，5，6，7，8，9}，A∩B＝{4，7，9}
∴∁U（A∩B）＝{3，5，6，8}．
3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图阴影部分表示的集合是（ ）
A．{3，4，5} B．{1，3，4}
C．{1，2，5}D．{3，4}
答案：
D
解析：
由题知，阴影部分是∁U（M∪N）＝{3，4}．
4．已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合M＝{x|x为不大于3的自然数}，则∁UM＝________．
答案：
{－1}
解析：
∵M＝{0，1，2，3}．∴∁UM＝{－1}．
5．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且（∁UA）∩B＝∅，则实数m的取值范围为________．
答案：
m≥2
解析：
由已知A＝{x|x≥－m}，
∴∁UA＝{x|x＜－m}．
∵B＝{x|－2＜x＜4}，（∁UA）∩B＝∅，
∴－m≤－2，即m≥2，
∴m的取值范围是m≥2.
6．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}，求：
CUA，A∩B，CU（A∩B），（CUA）∩B.
解：
把全集U和集合A，B在数轴上表示如右：
由图可知
CUA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2＜x＜3}，
CU（A∩B）＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
（CUA）∩B＝{x|－3＜x≤－2或x＝3}．
五、归纳总结（通过本课题的学习，你学到了什么？
你还有其它疑惑吗？
）
1．在求集合的补集运算时，需注意：
①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍；
②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．
2．应用补集求参数
解决此类问题要充分利用补集的定义，借助题干条件，建立关于参数的方程或不等式（组）求解，必要时可借助数轴或Venn图．
3．解答此类交、并、补综合运算问题，常用方法有两种：
（1）通法，利用定义，注意求解的顺序．
（2）利用Venn图：
要善于用图示法来解决集合的交、并、补的运算问题，注意（∁UA）∩B，（∁UB）∩A等在图示法中的表示如图
（1）所示：
如图
（2）所示，两条封闭相交的曲线将集合U分为四个部分：
①（∁UA）∩B.②（∁UB）∩A.③A∩B.④∁U（A∪B）．
六、巩固练习
A组
一、选择题
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为（ ）
A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}
答案：
C
解析：
∁UA＝{0,4}，所以（∁UA）∪B＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．
2．图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．A∩（∁UB） B．（∁UA）∩B
C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）
答案：
A
解析：
显然图中阴影部分为B的补集与集合A的公共部分．即：
A∩∁UB.
3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩（∁UQ）＝（ ）
A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5}D．{1,2}
答案：
D
解析：
∁UQ＝{1,2,6}，故P∩（∁UQ）＝{1,2}．
4．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，（∁UB）∩A＝{9}，则A＝（ ）
A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}
答案：
D
解析：
由Venn图，可知A＝（A∩B）∪[（∁UB）∩A]＝{3}∪{9}＝{3，9}．
5．设全集
，则
＝（）
A．
B．
C．
D．
答案：
B
二、填空题
6．已知全集U＝R，A＝{x|x＞2}，m∈∁UA，则实数m的取值范围是________．
答案：
m≤2
解析：
∵U＝R，A＝{x|x＞2}，∴∁UA＝{x|x≤2}．
又m∈∁UA，∴m≤2.
7．已知U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则（∁UA）∪（∁UB）＝________．
答案：
U
解析：
∁UA＝{钝角三角形或直角三角形}，∁UB＝{锐角三角形或直角三角形}，
∴（∁UA）∪（∁UB）＝U.
8．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{3，4，5}，C＝{3，4}，则（A∪B）∩（∁UC）＝________．
答案：
{2，5}
解析：
∵A∪B＝{2，3，4，5}，∁UC＝{1，2，5}，
∴（A∪B）∩（∁UC）＝{2，5}．
9．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，a－5}，M⊆U，∁UM＝{5，7}，则实数a的值为________．
答案：
8
解析：
∵M⊆U，∁UM＝{5，7}，
∴a－5＝3，
∴a＝8.
10．已知全集
集合
则集合
中元素的个数为．
三、解答题
11．设
，
，
，求实数
的值．
解析：
，所以
，所以
，解得
或
，经检验，当
时，
不满足题意，所以
．
12．设集合
，
，求
，
，
，
，
，
．
解析：
A＝{x|x＞—2}，CRA＝{x|x≤—2}，CRB＝{x|x＞3}，
，
，
，
，
．
13．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，集合B＝{x|3（1）求CU（A∪B）；
（2）求A∩（CUB）．
解：
（1）A∪B＝{x|2≤x<5}∪{x|3∴CU（A∪B）＝{x|x<2，或x≥9}．
（2）CUB＝{x|x≤3，或x≥9}．∴A∩（∁UB）＝{x|2≤x≤3}．
14．设全集U＝{1，2，3，4}，且集合A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若∁UA＝{1，4}，求m的值．
解：
∵U＝{1，2，3，4}，∁UA＝{1，4}，
又A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}
∴A＝{2，3}．
∴2，3是方程x2－5x＋m＝0的两根，
由根与系数的关系得：
2×3＝m，得：
m＝6.
15．设全集U＝R，集合A={x|-1≤x＜3}，B={x|2x-4≥x-2}．
（1）求
（A∩B）；
（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B
C=C，求实数a的取值范围．
解：
（1）由集合B中的不等式2x-4≥x-2，解得x≥2，
∴B={x|x≥2}.又A={x|-1≤x＜3}，
∴A∩B={x|2≤x＜3}.又全集U=R，
∴
（A∩B）={x|x＜2或x≥3}.
（2）由集合C中的不等式2x+a＞0，解得x＞－
，∴C={x|x＞－
}.
∵B∪C=C，∴B⊆C，∴－-
＜2，解得a＞－4．
B组
16．已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5a}．
（1）求A∪B，（CRA）∩B；
（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．
解：
（1）∵A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5∴A∪B＝{x|4≤x<10}．又CRA＝{x|x<4或x≥8}，
∴（CRA）∩B＝{x|8≤x<10}．
（2）将集合A、C分别标在数轴上，如图所示，
要使A∩C≠∅，需a<8.故a的取值范围是a<8
17．已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求：
A∩B，A∪B，（CUA）∩（CUB），A∩（CUB），（CUA）∪B.
解：
法一：
A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}．
∵∁UA＝{1，2，6，7，8}，∁UB＝{1，2，3，5，6}，
∴（∁UA）∩（∁UB）＝{1，2，6}，
A∩（∁UB）＝{3，5}，
（∁UA）∪B＝{1，2，4，6，7，8}．
法二：
A∩B，A∪B，A∩（∁UB）求法同解法一．
（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）＝{1，2，6}，
（∁UA）∪B＝∁U（A∩∁UB）＝{1，2，4，6，7，8}．
法三：
画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，
（∁UA）∩（∁UB）＝{1，2，6}，
A∩（∁UB）＝{3，5}，
（∁UA）∪B＝{1，2，4，6，7，8}．
18．我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}．
据此，回答以下问题：
（1）若U是高一
（1）班全体同学的集合，A是高一
（1）班女同学组成的集合，求U－A及∁UA；
（2）在图中，分别用阴影表示集合A－B；
（3）如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？
解：
（1）U－A＝{x|x是高一
（1）班的男生}，
∁UA＝{x|x是高一
（1）班的男生}．
（2）阴影部分如下图所示．
（3）若A－B＝∅，则A⊆B.
升级会员 