河南中考数学10年压轴题集锦.docx
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河南中考数学10年压轴题集锦
河南中考数学压轴题汇集
（2010）23．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4,0），B（0,4），C（2,0）
三点．
（1）求抛物线的解析式；
y
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB
的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有
AOx
C
几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接
写出相应的点Q的坐标．
M
B
（2011）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线
33
yx与
42
1
2
抛物线
yxbxc交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标
4
为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上．方．的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过
点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，
并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正
方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出
对应的点P的坐标.
1
（2012）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线yx1与抛物线
2
2bx
yax3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵
y
坐标为3。
点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与
点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，
作PD⊥AB于点C，作PD⊥AB于点D。
D
CB
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
Ox
（2）设点P的横坐标为m.A
P①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段
PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是
否存在合适的m值，使这两个三角形的面积之比为9:
10？
第23题
若存在，直接写m的值；若不存在，说明理由。
1
2+bx+c与直线2
（2013）23.（11分）如图，抛物线y=-xyx交于C、D两点，其中点
2
7
C在y轴上，点D的坐标为（3，）.点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE
2⊥x轴于点E，交CD于点F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边
形？
请说明理由.
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直．接．写．出．相应的点P的坐标.
yy
P
D
D
FC
C
AOB
AOEBxx
备用图
（2014）23.（11分）如图，抛物线y=－x
2+bx+c与x轴交于A（-1,0）,B（5,0）两点，直线
与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴
上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线
CD于点E.设点P的横坐标为m。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE=5EF,求m的值；
（3）若点E
/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，
使点E
/落在y轴上？
若存在，请直接写出相应的点P的坐标；
若不存在，请说明理由。
（2015）23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的
抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC
于点F.点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD，PE，DE.
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：
当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进
而猜想：
对于任意一点P，PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说
明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：
若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则
存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.
请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
yy
BFCB
C
DDP
xxAEOAEO
备用图
图
4
（2016）23.（11分）如图1，直线yxn
3
交x轴于点A，交y轴于
2
2
点C（0,4）.抛物线yxbxc
3
经过点A，交y轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一
个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD
于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′
P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′
落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.
（2017?
河南）23．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于
点B，抛物线y=﹣x
2+bx+c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且
垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交
于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求
点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段
的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，
P，N三点成为“共谐点”的m的值．
（2010）
（2011）
23.
（1）对于
33
yx，当y=0，x=2.当x=-8时，y=-
42
15
2
15
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为
（8,）.
2
1分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1
2
由抛物线yxbxc经过A、B两点，得
4
012bc,
15
2
168bc.
解得
分
35135
2
b，c.yxx.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3
42442
33
（2）①设直线yx与y轴交于点M
42
当x=0时，y=
3
2
.∴OM=
3
2
.
∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM=
分
225
OAOM.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4
2
∵OM：
OA：
AM=3∶4：
5.
由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED.
∴DE：
PE：
PD=3∶4：
5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，
∴PD=yP-yD
13533
2
（xx）（x）
44242
=
13
2
xx4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯644
分
∴
1213
2
l（xx4）
542
31848
x2x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7⋯分⋯⋯⋯⋯⋯
.
555
3
2
lxx时，l最大⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8
（3）15.315.5
分
317317
②满足题意的点P有三个，分别是P1（,2）,P2（,2）,
22
789789
P（,）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3
22
⋯11分
【解法提示】
当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即
135
2
xx2，
442
解得
317317317
x，所以P1（,2）,P2（,2）.
222
当点F落在y轴上时，同法可得
789789
P（,），
3
22
789789
P（,）（舍去）.
4
22
（2012）
（2013）
（2014）
（2015）
（1）【分析】由题意设抛物线解析式为
2
yaxc，将A、C两点坐标代入即可.
解：
抛物线的解析式为：
1
2
yx8.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）
8
【解法提示】由题意设抛物线解析式为
2
yaxc，∵的正
方形OABC的边长为8，∴点A（-8，0）、C（0,8）,∴
0
8
a
c
2
（8）c
，解得
a
c
8
1
8
，抛物线解析式为
1
2
yx8.
8
1
2
（2）【分析】设P点坐标为
x,x8，表示出PF的长度，构造PD所在的直角三角
8
形，表示PD的长度，通过求差法得到PD-PF的值.
解：
M
（3）【分析】通过将△PDE的面积进行转化，得到其面积的表达式，根据点P横坐标m的
取值范围，确定面积为整数时“好点”的个数，再把△PDE周长的最小值转化成PE+PF的和
最小，进而知道当P、E、F三点共线时△PDE周长的最小，确定点P的坐标.
解：
好点共11个；]
在点P运动时，DE的大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD-PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，
当P，E，F三点共线时，PE+PF最小，
此时，点P，E的横坐标为-4，将x=-4代入
1
2
yx8，得y=6，
8
∴P（-4,6），此时△PDE周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”.
∴△PDE周长最小时点P的坐标为（-4,6）.
11
22
【解法提示】△PDE的面积S=x3x4（x6）13.由于-8≤x≤0，可得4≤S≤1，3
44
所以S的整数值为10个.由图象可知，当S=12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有
11个.
4
（2016）23.
（1）由直线yxn
3
4
过点C（0,4），得n=4.∴4
yx
3
4
当y=0时，0x4，解得x=3.∴A（3,0）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1
3
分
2
2
∵抛物线yxbxc
3
经过点A（3,0）、B（0，-2），
0
2
3
2
3
3b
c
，∴
b
4
3
∴.
2cc2
224
∴抛物线的解析式为2
yxx.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
333分
24
2m
（2）∵点P的横坐标为m，∴P（2
m,m），D（m，2）.⋯⋯⋯⋯⋯
334分
若△BDP为等腰直角三角形，则PD=BD.
224
①当点P在直线BD上方时，PD=mm
.33
（I）若点P在y轴左侧，则m<0，BD=m.
224
∴mm
33
=m，∴m1=0（舍去），m2=
1
2
（舍去）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
（II）若点P在y轴右侧，则m>0，BD=m.
224
∴mm
33
=m，∴m1=0（舍去），m2=
7
2
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
224
②当点P在直线BD下方时，m>0，BD=m，PD=mm
.33
224
∴mm
33
=m，∴m1=0（舍去），m2=
1
2
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
综上，m=
7
2
或
1
2
7
.即当△BDP为等腰直角三角形，PD的长为
2
或
1
2
.⋯⋯⋯⋯⋯
8分
4544542511
（3））
P（5,,P（5,）,P（,）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
123
33832
11分
【提示】∵∠PBP′=∠OAC,OA=3,OC=4,
∴AC=5,∴sin∠PBP′=
4
5
cos∠PBP′=
3
5
.
①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，
交BD于点M，∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′.
32244
如图1，ND′-MD′=2，即）2
（mm）（m.
5335
32244
如图2，ND′+MD′=2，即）2
（mm）（m.5335
454454
∴）
P（5,,P（5,）.
12
33
②当点P′落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，
交BD于点M，过点P′作P′
N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，
∠DBD′=∠ND′P′=∠
PBP′.
∵P′N=BM,即
422
（m
53
4
3
m）
3
5
m
2511
∴）
P（,.
3
832
（2017）【解答】解：
（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点
A（3，0），与y轴交于点B，
∴0=﹣2+c，解得c=2，
∴B（0，2），
∵抛物线y=﹣x
2+bx+c经过点A，B，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x
2+x+2；
（2）①由
（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物
线分别交于点P，N，
∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m
2+m+2），
∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m
2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=9°0或∠NBP=∠AMP=9°0，
当∠BNP=9°0时，则有BN⊥MN，
∴BN=OM=m，
∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2.5，
∴M（2.5，0）；
当∠NBP=9°0时，则有=，
∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），
∴BP==m，AP==（3﹣m），
∴=，解得m=0（舍去）或m=，
∴M（，0）；
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，
0）或（，0）；
②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），
∵M，P，N三点为“共谐点”，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，
当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三
点重合，舍去）或m=；
当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍
去）或m=﹣1；
当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍
去）或m=﹣；
综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．
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