第8讲 一次函数的图象与性质.docx

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第8讲一次函数的图象与性质

第8讲一次函数的图象与性质

考点·方法·破译

1．一次函数及图象：

⑴形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0），则y叫做x的一次函数，当b＝0，k≠0时，y叫做x的正比例函数．

⑵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过（0,0），（1，k）两点的直线，一次函数y＝kx＋b（k≠0）是经过（0，b）、（－

，0）两点的直线．

2．一次函数的性质：

当k＞0时，y随自变量x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

3．函数y＝kx＋b中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．

经典·考题·赏析

【例１】（山东）函数y＝ax＋b①和y＝bx＋a②（ab≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

【解法指导】A中①a＞0，b＞0，②b＜0，a＜0矛盾．B中①a＜0，b＜0，矛盾．C中①a＞0，b＞0②b＞0，a＝0矛盾．D中①a＞0，b＜0②b＜0，a＞0，故选D．

【变式题组】

01．（河北）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（）

02．（安徽）已知函数y＝kx＋b的图象如左图，则y＝2kx＋b的图象可能是（）

03．下列图象中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m、n为常数，则mn≠0）的图象是（）

【例２】（绍兴）如图，一次函数y＝x＋5的图象经过点P（a，b）和Q（c，d）则a（c－d）－b（c－d）的值为_______．

【解法指导】因为点P（a，b）,Q（c，d）在一次函数图象上，∴b＝a＋5，d＝c＋5∴a－b＝－5，c－d＝－5，a（c－d）－b（c－d）＝（c－d）（a－b）＝（－5）×（－5）＝25

【变式题组】

01．如图一条直线l经过不同三点A（a，b）,B（b，a）C（a－b，b－a）则直线l经过（）

A．第二、四象限B．第一、三象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限

02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A（2,3）,B（5,4）C（－4,1）依次连接这三点，则（）

A．构成等边三角形B．构成直角三角形C．构成锐角三角形D．三点在同一条直线上

03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a的值为_______．

【例３】如图，已知正方形ABCD的顶点坐标为A（1,1）、B（3,1）、C（3,3）、D（1,3）,直线y＝2x＋b交AB于点E，交CD于点F．直线与y轴的交点为（0，b），则b的变化范围是_____.

【解法指导】直线y＝2x＋b是平行于直线y＝2x的直线，当直线经过B点时，b最小，当x＝3时，y＝1

∴1＝2×3＋b，b＝－5

当直线经过D点时，b最大，

所以当x＝1时，y＝3

∴3＝2×1＋b，b＝1

∴－5≤b≤1

【变式题组】

01．线段y＝－

x＋a（1≤b≤3），当a的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）

A．6B．8C．9D．10

02．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P（－1,1），Q（2,2），函数y＝kx－1的图象与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是_________.

03．（济南）阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：

设一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y＝k2x＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：

⑴求过点P（1,4）且与已知直线y＝－2x－1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；

⑵设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：

y＝kx＋t（t＞0）与直线平行且交于x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数关系式．

【例４】已知一次函数y＝kx＋b，当自变量取值范围是2≤x≤6时，函数值的取值范围5≤y≤9.求此函数的解析式．

【解法指导】⑴当k＞0，y随x的增大而增大，∴y＝kx＋b经过（2,5），（6,9）两点

∴

∴

，∴y＝x＋3

⑵当k＜0，y随x的增大而减小，∴y＝kx＋b经过（2,9），（6,5）两点

∴

∴

，∴y＝－x＋11

∴所求解析式为y＝x＋3或y＝－x＋11

【变式题组】

01．已知一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9，则kb的值为（）

A．4B．－6C．－4或21D．－6或14

02．（遂宁）已知整数x满足－5≤x≤5，y1＝x＋1，y2＝2x＋4，对任意一个x，m都取y1,、y2中的最小值，则m的最大值是（）

A．1B．2C．24D．－9

【例５】如图，直线y＝－5x－5与x轴交于A，与y轴交于B，直线y＝kx＋b与x轴交于C，与y轴交于B点，CD⊥AB交y轴于E．若CE＝AB,求直线BC的解析式．

【解法指导】由CE＝AB，CD⊥AB可得△AOB≌△EOC,因而OB＝OC而y＝－5x－5与y轴交于B

∴B（0，－5）

∴C（5,0）,而直线BC经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y＝x－5

【变式题组】

01．如图，在平面直角坐标系中，点P（x，y）是直线y＝－x＋6第一象限上的点，点A（5,0）,O是坐标原点，△PAO的面积S．

⑴求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

⑵探究：

当P点运动到什么位置时△PAO的面积为10.

02．如图，直线l：

y＝－

x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0,4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．

⑴求A、B两点的坐标；

⑵求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；

⑶当t为何值时，△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．

03．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx＋b经过A（0,2）、B（4,2）两点．

⑴求直线AB的解析式；

⑵点C的坐标为（0,1），过点C作CD⊥AO交AB于D.x轴上的点P和A、B、C、D、O中的两个点所构成的三角形与△ACD全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．

【例６】如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A和点B.另一条直线y＝kx＋b（k≠0）经过（1，0），且把△AOB分成两部分．⑴若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；⑵若△AOB被分成的两部分的面积比为1:

5,求k和b的值．

【解法指导】欲求k和b的值，需知道直线y＝kx＋b（k≠0）经过两已知点，而点C（1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．

解：

⑴由题意得（2，0）、B（0，2），∴C为OA的中点，因而直线y＝kx＋b过OA中点且平分△AOB的面积时只可能韦中线BC．

∴y＝kx＋b经过C（1，0），（0，2）

∴

∴k＝2b＝2

⑵①设y＝kx＋b与OB交于M（0，t）则有S△OMC＝S△CAN,∴MN∥x轴，∴N（

）

∴直线y＝kx＋b经过

），（1，0）∴

∴

【变式题组】

01．如图，在平面直角坐标系xOy，已知直线AC的解析式为y＝－

x＋2，直线AC交x轴于点C，交于y轴于点A．

⑴若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；

⑵过点B作x轴的垂线l，在l上是否存一点P，使得△AOP的周长最小？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．

02．（浙江杭州）已知，直线y＝－

与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边的第一象限内作等腰Rt△ABC,

°，且点P（1,a）为坐标系中的一个动点．

⑴求三角形ABC的面积S△ABC;

⑵证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；

⑶要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

演练巩固·反馈提高

01．（芜湖）关于x的一次函数y＝kx＋k2＋1的图象可能正确的是（）

02．一次函数y＝kx－b和正比例函数y＝kbx在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）

03．一次函数y＝（m－1）x＋m2＋2的图象与y轴的交点的纵坐标是3，则m的值是（）

A．

B．

C．－1D．－2

04．直线y1＝kx＋b过第一、二、四象限，则直线y2＝bx－k不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

05．已知一次函数y＝（1－2m）x＋m－2，函数y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（）

A．m＞

B.m≤2C．

＜m＜2D.

＜m≤2

06．如图，点A、B、C、D在一次函数y＝－2x＋m的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）

A．1B．3C．3（m－1）D．

（m－2）

07．（绍兴）如图，在x轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y＝ax，y＝（a＋1）x，y＝（a＋2）x相交，其中a＞0，则图中阴影部分的面积是（）

A．12.5B．25C．12.5aD．25a

08．（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（）

09．（日照）如图，点A的坐标为（－1,0）,点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）

A．（0，0）B．（

，－

）C．（－

，－

）D．（－

，－

）

10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：

它的图象经过第一象限；乙：

它的图象经过第二象限；丙：

在第一象限内函数值y随x增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.

11．观察下列各直角坐标系中的直线AB，点P（x，y）是线段AB上的点，且x、y都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：

⑴第5个图中满足条件的点P个数是_______;

⑵第n个图中满足条件的点P个数m与n之间的关系是________.

12．（十堰）直线y＝kx＋b经过点A（－2,0）和y轴上的一点B，如果△ABO（O为坐标原点）的面积为2，则b的值为________.

13．如图，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝－x＋b恰好平分长方形的面积，则b＝_______.

14．如图，点B、C分别在两条直线y＝2x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k＝______.

15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y＝kx＋b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn的坐标是________.

16．点P为直线y＝－3x＋6上的一点，且点P到两坐标轴距离相等，则P点坐标为_____.

17．已知直线y1＝x，y2＝

x＋1，y3＝－

x＋5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中最小的值，则y的最大值为_______.

18．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点P（0,－3）,且与函数y＝

x＋1的图象相交于点A（

）.

⑴求a的值；

⑵若函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点是B,函数y＝

x＋1的图象与y轴的交点是C,求四边形ABOC的面积（其中O为坐标原点）.

19．定义

为一次函数y＝px＋q的特征数．

⑴求一次函数y＝－2（x－1）的特征数；

⑵若特征数是

的一次函数为正比例函数，求k的值．

20．已知：

三点A（a，1）、B（3,1）、C（6,0），点A在正比例函数y＝

x的图象上．

⑴求a的值；

⑵点P为x轴上一动点，当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标；

21.已知直线ln：

y＝－

x＋

（n是正整数）.当n＝1时，直线l1:

y＝－2x＋1与x轴和y轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1（O是平面直角坐标系的原点）的面积为s1.当n＝2时，直线l2：

y＝－

与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，…，依次类推，直线ln与x轴和y轴分别交于点An和Bn，设△AnOBn的面积为Sn.

⑴求△A1OB1的面积s1；

⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2010的值.

22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．

⑴s与t之间的函数关系式是：

_________；

（2）与图③相对应的P点的运动路径是：

________；P点出发_______秒首次到达点B；

⑶写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．

培优升级·奥赛检测

01．已知abc≠0，且

＝t，则直线y＝tx＋t一定通过（）

A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限

02．一个一次函数的图象与直线y＝

＋

平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（－1,－25）,则在线段AB上（包括端点A、B）横坐标、纵坐标都是整数的点有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

03．在一次函数y＝－x＋3的图象上取点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，长方形OAPB的面积为2，则这样的点P共有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

04．在直角坐标系中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，若MP＋MQ取最小值，则点M的坐标为________.

05．已知点A（0，2）、B（4,0），点C、D分别在直线x＝1与x＝2上运动，且CD∥x轴，当AC＋CD＋DB的值最小值，点C的坐标为_____________.

06．在直角坐标系中，有两个点A（－8,3）、B（－4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0）.当四边形ABCD的周长最短时，

的值为_________.

07．已知函数y＝（a－2）x－3a－1，当自变量x的值范围为3≤x≤5时，y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a的取值范围．

08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y＝ax＋b（a为整数）的图象过（98，19），它与x轴的交点为（p，0），与y轴的交点为（0，q），若P为质数，q是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？

若存在，求出解析式；若存在，说明理由．

09．若直线y＝mx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形面积为12，求m.

10．设f（x）＝kx＋1是x的函数，若m（k）表示函数f（x）＝kx＋1在1≤x≤3条件下的最大值，求函数m（k）的解析式，并作出图象．