届高考数学艺体生文化课复习讲义考点48 事件与概率.docx
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届高考数学艺体生文化课复习讲义考点48事件与概率
考点四十八事件与概率
知识梳理
1．随机事件和确定事件
（1）在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件．
（2）在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件．
（3）必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．
（4）在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件．
（5）确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．
2．频率与概率
（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝
为事件A出现的频率．
（2）在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P（A）．
3．事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）
B⊇A（或A⊆B）
相等关系
若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件（和事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
A∪B（或A＋B）
交事件（积事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
A∩B（或AB）
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅且A∪B＝Ω
4．概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：
0≤P（A）≤1.
（2）必然事件的概率P（E）＝1.
（3）不可能事件的概率P（F）＝0.
5．互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
6．互斥事件与对立事件的概率计算公式
如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．
若事件A与事件
互为对立事件，则P（A）＝1－P（
）．
典例剖析
题型一随机事件的概念
例1 将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是________．
答案 随机事件
解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．
变式训练从6个男生2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是________．
①3个都是男生②至少有1个男生
③3个都是女生④至少有1个女生
答案 ②
解析 因为只有2名女生，所以选出的3人中至少有一个男生．
题型二频率与概率
例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环次数m
8
19
44
93
178
453
击中10环频率
（1）计算表中击中10环的各个频率；
（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
解析
（1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.
（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.90.
变式训练（2015陕西文）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
（1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
解析
（1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝
＝
.
（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2日与3日等），这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为
，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为
.
解题要点频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小，但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．
题型三互斥事件与对立事件概念辨析
例3 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取一张，判断下列给出的每对事件，互斥事件为________，对立事件为________．
①“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
答案 ①② ②
解析 ①是互斥事件．
理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．
②是互斥事件，且是对立事件．
理由是：
从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
③不是互斥事件．
理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10.因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
变式训练一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则________．
1A与B是互斥而非对立事件
2A与B是对立事件
3B与C是互斥而非对立事件
4B与C是对立事件
答案 ④
解析 A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．
解题要点对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系．
题型三利用互斥事件与对立事件求概率
例4（2015天津文）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
解析
（1）应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
（2）①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P（A）＝
＝
.
变式训练现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．
（1）求C1被选中的概率；
（2）求A1和B1不全被选中的概率．
解析
（1）用M表示“C1恰被选中”这一事件．
从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为：
（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2）．
C1恰被选中有6个基本事件：
（A1，B1，C1），（A1，B2，C1），（A2，B1，C1），（A2，B2，C1），（A3，B1，C1），（A3，B2，C1），
因而P（M）＝
＝
.
（2）用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件
表示“A1，B1全被选中”这一事件，由于
＝
，所以事件
由两个基本事件组成，所以P（
）＝
＝
，
由对立事件的概率公式得P（N）＝1－P（
）＝1－
＝
.
解题要点求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：
（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．
当堂练习
1．从三个红球，两个白球中随机取出两个球，则取出的两个球不全是红球的概率是________．
答案
解析取出两个球的情况共有10种，不全是红球的对立事件为全为红球，其概率为
，故所求概率为1－
＝
.
2．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A＝“a为3”，B＝“a为4”，C＝“a为奇数”，则下列结论正确的是________．
①A与B为互斥事件 ②A与B为对立事件
③A与C为对立事件④A与C为互斥事件
答案①
解析依题意，事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，但A与B不是对立事件，显然，A与C既不是对立事件也不是互斥事件．
3.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是________．
①对立事件②不可能事件
③互斥但不对立事件④不是互斥事件
答案③
解析显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给乙、丙两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．
4．（2015江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
答案
解析 这两只球颜色相同的概率为
，故两只球颜色不同的概率为1－
＝
.
5．（2014·四川卷）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解析
（1）由题意，（a，b，c）所有的可能为：
（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）＝
＝
.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为
.
（2）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件B包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．
所以P（B）＝1－P（B）＝1－
＝
.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为
.
课后作业
一、填空题
1．下列说法：
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率
就是事件A发生的概率；
③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
5频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是________．
答案①④⑤
解析由频率与概率的定义知①④⑤正确.
2．下列说法中正确的是________．
①某厂一批产品的次品率为
，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品
②气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨
③某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有冶愈，第10个病人就一定能治愈
④掷一枚均匀硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
答案④
解析概率是指某一事件发生可能性的大小，根据这一定义可知，只有选项④正确．
3．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为________．
答案0.32
解析P（摸出黑球）＝1－0.45－0.23＝0.32.
4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为
，乙获胜的概率为
，则下列说法正确的是________．
①甲获胜的概率是
②甲不输的概率是
③乙输了的概率是
④乙不输的概率是
答案①
解析“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P＝1－
－
＝
；
设事件A为“甲不输”，则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P（A）＝
＋
＝
（或设事件A为“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件，所以P（A）＝1－
＝
.
5．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数 ②至少有一个是奇数和两个都是奇数 ③至少有一个是奇数和两个都是偶数 ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是________．
答案③
解析③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有三个事件：
“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．
6．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为________．
答案
解析 从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P＝
.
7．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点1,2,3,4,5,6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率为________．
答案
解析由于“至少出现一次6点向上”的对立事件是“没有一次出现6点”，故所求概率为P＝1－（
）3＝1－
＝
.
8．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．
答案
解析从五个小球中任取两个共有10种，而1＋2＝3,2＋4＝6,1＋5＝6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为
.
9．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
答案
解析2本数学书记为数1，数2，3本书共有（数1数2语），（数1语数2），（数2数1语），（数2语数1），（语数1数2），（语数2数1）6种不同的排法，其中2本数学书相邻的排法有4种，对应的概率为P＝
＝
.
10．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
答案
解析基本事件的总数为3×2＝6，甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖只有2种情况，所以两人都中奖的概率P＝
＝
.
11．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
答案
解析甲有3种选法，乙也有3种选法，所以他们共有9种不同的选法．若他们选择同一种颜色，则有3种选法，所以其对应的概率P＝
＝
.
二、解答题
12．（2015北京文）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解析
（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
＝0.2.
（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
＝0.3.
（3）与
（1）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
13．（2015安徽文）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50），[50,60），…，[80,90），[90,100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40,60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50）的概率．
解析
（1）因为（0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028）×10＝1，所以a＝0.006.
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022＋0.018）×10＝0.4.
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
（3）受访职工中评分在[50,60）的有：
50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50）的有：
50×0.004×10＝2（人），记为B1，B2，
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝
.
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