人教版高中数学选修2123拓展训练双曲线.docx

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人教版高中数学选修2123拓展训练双曲线

2.2双曲线

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．双曲线

的焦距为（）

A．3

B．4

C．3

D．4

2．“双曲线的方程为

”是“双曲线的准线方程为

”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知双曲线

的一个顶点到它的一条渐近线的距离为

，则

（）

A．1B．2C．3D．4

4．双曲线

（

，

）的左、右焦点分别是

，过

作倾斜角为

的直线交双曲线右支于

点，若

垂直于

轴，则双曲线的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

5．与曲线

共焦点，而与曲线

共渐近线的双曲线方程为（）

A．

B．

C．

D．

6．已知双曲线

（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx（k＞0）,离心率e=

则双曲线方程为（）

A．

－

=1B．

C．

D．

7．如果双曲线

上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（）

A．

B．

C．

D．

8．双曲线

的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

9．已知双曲线

的左右焦点分别为

，

为

的右支上一点，且

，则

的面积等于（）

A．

　　B．

　　C．

　　D．

10．连接双曲线

与

的四个顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的的四个焦点构成的四边形的面积为S2，则S1：

S2的最大值是（）

A．2B．1C．

D．

11．设椭圆C1的离心率为

，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）

A．

B．

C．

D．

12．

为双曲线

的右支上一点，

，

分别是圆

和

上的点，则

的最大值为（　　）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）

13．若曲线

表示双曲线，则

的取值范围是.

14．已知双曲线

的两条渐近线方程为

，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为.

15．过双曲线

的右顶点为A，右焦点为F。

过点F平行双曲线的一

条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______.

16．方程

所表示的曲线为C，有下列命题：

①若曲线C为椭圆，则

；

②若曲线C为双曲线，则

或

；

③曲线C不可能为圆；

④若曲线C表示焦点在

上的双曲线，则

。

以上命题正确的是.（填上所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）已知双曲线经过点M（

），且以直线x=1为右准线．

（1）如果F（3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程；

（2）如果离心率e=2，求双曲线方程．

18．（本题满分12分）设双曲线

的方程为

，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线

上的任一点，引

，AQ与BQ相交于点Q.

（1）求Q点的轨迹方程；

（2）设

（1）中所求轨迹为

，

、

的离心率分别为

、

，当

时，求

的取值范围。

19．（本小题满分12分）如图，在以点

为圆心，

为直径的半圆

中，

，

是半圆弧上一点，

，曲线

是满足

为定值的动点

的轨迹，且曲线

过点

.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线

的方程；

（Ⅱ）设过点

的直线

与曲线

相交于不同的两点

、

.若△

的面积等于

，求直线

的方程.

20．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点

，焦点在

轴上，两条渐近线分别为

，经过右焦点

垂直于

的直线分别交

于

两点．已知

成等差数列，且

与

同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设

被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

H

21．（本题满分12分）如图，F为双曲线C：

的右焦点。

P为双曲线C右支上一点，且位于

轴上方，M为左准线上一点，

为坐标原点。

已知四边形

为平行四边形，

。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率

与

的关系式；

（Ⅱ）当

时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若

，求此时的双曲线方程.

22．（本小题满分14分）已知双曲线

的右焦点为

，过点

的动直线与双曲线相交于

两点，点

的坐标是

．

（I）证明

为常数；

（II）若动点

满足

（其中

为坐标原点），求点

的轨迹方程．

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．D解：

由双曲线方程得

，于是

，故选D。

2．A解：

“双曲线的方程为

”

“双曲线的准线方程为

”

但是“准线方程为

”

“双曲线的方程

”，

反例：

。

故选A。

3．D解：

取顶点

一条渐近线为

故选D。

4．B解：

如图在

中，

，

，故选B。

5．A解：

由双曲线与曲线

共焦点知焦点在

轴上，可排除B、D，与曲线

共渐近线可排除C，故选A。

6．C解：

，所以

，故选C。

7．A解：

由点

到双曲线右焦点

的距离是2知

在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点

到双曲线右准线的距离是

，双曲线的右准线方程是

，故点

到

轴的距离是

．选A．

8．C　解：

而双曲线的离心率

故选C.

9．C　　解法一：

∵双曲线

中

∴

∵

∴

作

边上的高

，则

∴

∴

的面积为

故选C。

解法二：

∵双曲线

中

∴

设

，则由

得

又∵

为

的右支上一点∴

∴

∴

即

解得

或

（舍去）

∴

∴

的面积为

故选C。

10．C　

，∴

，故选C。

11．A　解：

对于椭圆

，

，曲线

为双曲线，

，标准方程为：

。

故选A。

12．B　解：

设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9，故选B。

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）

13

解：

。

14．

解：

如图由题设

，

，所以双曲线方程为

15．

解：

双曲线的右顶点坐标

，右焦点坐标

，设一条渐近线方程为

，

建立方程组

，得交点纵坐标

，从而

。

16．②④解：

若曲线C为椭圆，则

，∴①错误；

若曲线C为双曲线，则

，∴②正确；

当

时曲线C方程为

，表示圆，∴③错误；

若曲线C表示焦点在

上的双曲线，则

，∴④正确。

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．解：

（1）设P（x，y）为所求曲线上任意一点，由双曲线定义得

=

化简整理得

（2）

因此，不妨设双曲线方程为

，

因为点M（

）在双曲线上，所以

，得

，

故所求双曲线方程为

18．解：

（1）设

∵

∴

，∵

，∴

，

∴

，化简得：

，

经检验，点

不合题意，∴点Q的轨迹方程为

（2）由

（1）得

的方程为

，

，

∵

，∴

，∴

。

19．解：

（Ⅰ）解法1：

以

为原点，

所在直线分别为

轴、

轴，建立平面直角坐标系，则

，

，依题意得

∴曲线

是以原点为中心，

为焦点的双曲线.

设实半轴长为

，虚半轴长为

，半焦距为

，

则

，

，∴曲线

的方程为

.

解法2：

同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得

.

∴曲线

是以原点为中心，

为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为

＞0，b＞0）.

则由

解得

∴曲线C的方程为

（Ⅱ）解法1：

依题意，可设直线

的方程为

，代入双曲线

的方程并整理，得

.

∵直线

与双曲线

相交于不同的两点

∴

∴

.

设

，则由①式得

于是

=

而原点

到直线

的距离

∴

若

，即

解得

满足②.故满足条件的直线

有两条，其方程分别为

和

解法2：

依题意，可设直线

的方程为

代入双曲线C的方程并整理，

得

.①

∵直线

与双曲线C相交于不同的两点

，

∴

∴

②

设

，则由①式得

.③

当

在同一支上时（如图1所示），

；

当

在不同支上时（如图2所示），

综上得

，于是

由

及③式，得

.

若

，即

解得

满足②.

故满足条件的直线

有两条，方程分别为

和

20．解：

（Ⅰ）设

，

，

由勾股定理可得：

得：

，

，

由倍角公式

，解得

则离心率

．

（Ⅱ）过

直线方程为

与双曲线方程

联立

将

，

代入，化简有

将数值代入，有

解得

故所求的双曲线方程为

。

21．解：

∵四边形

是平行四边形，∴

，作双曲线的右准线交PM于H，则

，又

，

。

（Ⅱ）当

时，

，

，

，双曲线为

四边形

是菱形，所以直线OP的斜率为

，则直线AB的方程为

，代入到双曲线方程得：

，

又

，由

得：

，解得

，则

，所以

为所求。

22．解：

由条件知

，设

，

．

（I）当

与

轴垂直时，可设点

的坐标分别为

，

，

此时

．

当

不与

轴垂直时，设直线

的方程是

．

代入

，有

．

则

是上述方程的两个实根，所以

，

，

于是

．

综上所述，

为常数

．

（II）解法一：

设

，则

，

，

，

，由

得：

即

于是

的中点坐标为

．

当

不与

轴垂直时，

，即

．

又因为

两点在双曲线上，所以

，

，两式相减得

，即

．

将

代入上式，化简得

．

当

与

轴垂直时，

，求得

，也满足上述方程．

所以点

的轨迹方程是

．

解法二：

同解法一得

①

当

不与

轴垂直时，由（I）有

．②

．③

由①、②、③得

．　④

．⑤

当

时，

，由④、⑤得，

，将其代入⑤有

．整理得

．

当

时，点

的坐标为

，满足上述方程．

当

与

轴垂直时，

，求得

，也满足上述方程．

故点

的轨迹方程是

．