最新《整式的乘除与因式分解》易错题.docx
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最新《整式的乘除与因式分解》易错题
《整式的乘除因式分解》易错题分析
整式的乘除
例1、（﹣a）3（﹣a）2（﹣a5）=（ ）
A、a10B、﹣a10
C、a30D、﹣a30
考点：
同底数幂的乘法。
分析：
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可．
解答：
解：
（﹣a）3（﹣a）2（﹣a5）=（﹣a3）•a2（﹣a5）=a3+2+5=a10．
故选A．
点评：
本题主要利用同底数幂的乘法的性质求解，符号的运算是容易出错的地方．
例2、已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A、a＞b＞cB、a＞c＞b
C、a＜b＜cD、b＞c＞a
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
解答：
解：
∵a=813=（34）31=3124
b=2741=（33）41=3123；
c=961=（32）61=3122．
则a＞b＞c．
故选A．
点评：
变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．
例3、下列四个算式中正确的算式有（ ）
①（a4）4=a4+4=a8；②[（b2）2]2=b2×2×2=b8；③[（﹣x）3]2=（﹣x）6=x6；④（﹣y2）3=y6．
A、0个B、1个
C、2个D、3个
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
根据幂的乘方，底数不变指数相乘的性质计算即可．（am）n=amn．
解答：
解：
①应为（a4）4=a4×4=a16，故不对；
②[（b2）2]2=b2×2×2=b8，正确；
③[（﹣x）3]2=（﹣x）6=x6，正确；
④应为（﹣y2）3=﹣y6，故不对．
所以②③两项正确．
故选C．
点评：
本题考查了幂的乘方的运算法则．应注意运算过程中的符号．
例4、（2004•宿迁）下列计算正确的是（ ）
A、x2+2x2=3x4B、a3•（﹣2a2）=﹣2a5
C、（﹣2x2）3=﹣6x6D、3a•（﹣b）2=﹣3ab2
考点：
单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方。
分析：
把四个式子展开，比较计算结果即可．
解答：
解：
A、应为x2+2x2=3x2；
B、a3•（﹣2a2）=﹣2a5，正确；
C、应为（﹣2x2）3=﹣8x6；
D、应为3a•（﹣b）2=3ab2．
故选B．
点评：
本题考查了合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式的乘法的法则，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
例5、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A、﹣3B、3
C、0D、1
考点：
多项式乘多项式。
分析：
先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
解答：
解：
∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
解得m=﹣3．
故选A．
点评：
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．
例6、计算x5•x3•x2= x10 ．
考点：
同底数幂的乘法。
分析：
根据同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
解答：
解：
x5•x3•x2=x5+3+2=x10．
点评：
本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
例7、计算：
（a3）2+a5的结果是 a6+a5 ．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．
解答：
解：
（a3）2+a5=a3×2+a5=a6+a5．
点评：
本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意不是同类项的不能合并．
例8、已知a3n=4，则a6n= 16 ．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
运用幂的乘方的逆运算，把a6n转化为（a3n）2，再把a3n=4，整体代入求值．
解答：
解：
∵a3n=4，
∴a6n=（a3n）2=42=16．
点评：
本题考查幂的乘方的性质，灵活运用幂的乘方（an）m=amn进行计算．
例9、已知：
2x=4y+1，27y=3x﹣1，则x﹣y= 3 ．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
在同底数幂的运算中，当底数相等且结果相等时，其幂也相等．本题利用此知识点，借助底数幂的运算法则，进行运算，得到结果．
解答：
解：
∵2x=4y+1
∴2x=2（2y+2）
∴x=2y+2①
又∵27x=3x﹣1∴33y=3x﹣1
∴3y=x﹣1②
解①②组成的方程组得
∴x﹣y=3．
点评：
本题主要考查幂的乘方的性质的逆用：
amn=（am）n（a≠0，m，n为正整数）．
例10、计算：
（1）（2a﹣b）（b+2a）﹣（3a+b）2= ﹣5a2﹣6ab﹣2b2 ；
（2）
= 3 ；
（3）简便方法计算：
（﹣0.25）2009×42010= ﹣4 ．
考点：
单项式乘单项式。
分析：
（1）首先运用平方差公式和完全平方公式计算多项式的乘法和平方，再计算整式的加减运算；
（2）首先运用负整数指数幂、零指数幂的意义计算乘方，再进行加减运算；
（3）首先将42010改写成42009×4，然后逆用积的乘方的运算性质，计算（﹣0.25）2009×42009，即可得出结果．
解答：
解：
（1）原式=4a2﹣b2﹣（9a2+6ab+b2）
=4a2﹣b2﹣9a2﹣6ab﹣b2
=﹣5a2﹣6ab﹣2b2；
（2）原式=4﹣1=3；
（3）原式=（﹣0.25）2009×42009×4=（﹣0.25×4）2009×4=﹣1×4=﹣4．
点评：
本题主要考查了整式及有理数的混合运算．首先确定运算顺序，然后根据运算法则计算．
乘法公式使用
例1、x2+ax+144是完全平方式，那么a=（ ）
A、12B、24
C、±12D、±24
考点：
完全平方式。
分析：
先根据平方项确定出这两个数是x和12，再根据完全平方式：
（a±b）2=a2±2ab+b2表示出乘积二倍项，然后求解即可．
解答：
解：
∵两平方项是x2和144，
∴这两个数是x与12，
∴ax=±2×12•x，
∴解得a=±24．
故选D．
点评：
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项确定出这两个数．
例2、下列计算中：
①x（2x2﹣x+1）=2x3﹣x2+1；②（a+b）2=a2+b2；③（x﹣4）2=x2﹣4x+16；④（5a﹣1）（﹣5a﹣1）=25a2﹣1；⑤（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2，正确的个数有（ ）
A、1个B、2个
C、3个D、4个
考点：
平方差公式；完全平方公式。
分析：
根据单项式乘多项式，应用单项式去乘多项式的每一项；完全平方公式展开应是三项；（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；按照相应的方法计算即可．
解答：
解：
①应为x（2x2﹣x+1）=2x3﹣x2+x，故不对；
②应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故不对；
③应为（x﹣4）2=x2﹣8x+16，故不对；
④应为（5a﹣1）（﹣5a﹣1）=1﹣25a2，故不对；
⑤（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2，正确．
故选A．
点评：
此题主要考查了整式乘法，平方差公式及完全平方公式的运用．
例3、计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（ ）
A、a8+2a4b4+b8B、a8﹣2a4b4+b8
C、a8+b8D、a8﹣b8
考点：
平方差公式；完全平方公式。
分析：
这几个式子中，先把前两个式子相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘时符合平方差公式得到a2﹣b2，再把这个式子与a2+b2相乘又符合平方差公式，得到a4﹣b4，与最后一个因式相乘，可以用完全平方公式计算．
解答：
解：
（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4），
=（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4），
=（a4﹣b4）2，
=a8﹣2a4b4+b8．
故选B．
点评：
本题主要考查了平方差公式的运用，本题难点在于连续运用平方差公式后再利用完全平方公式求解．
例4已知x+y=4，且x﹣y=10，则2xy= ﹣42 ．
考点：
完全平方公式。
专题：
计算题。
分析：
把原题中两个式子平方后相减，即可求出xy的值．
解答：
解：
∵x+y=4，且x﹣y=10
∴（x+y）2=16，（x﹣y）2=100
即x2+2xy+y2=16①，x2﹣2xy+y2=100②
①﹣②得：
4xy=﹣84
所以2xy=﹣42．
点评：
本题主要考查完全平方公式两公式的联系，两公式相减即可消去平方项，得到乘积二倍项，熟记公式结构是解题的关键．
解得k=±1．
例5、已知a﹣b=3，a2﹣b2=9，则a= 3 ，b= 0 ．
考点：
平方差公式。
分析：
先根据a﹣b=3和a2﹣b2=9，利用平方差公式求出a+b=3，再联立方程组
，解方程组即可．
解答：
解：
∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=9，
∴a+b=3，
联立方程组
，
解得：
a=3，b=0．
点评：
本题考查了平方差公式，主要是对平方差公式的灵活应用，也考查了对二元一次方程组的解法．
因式分解
例1.a²-6a+9
错解：
a²-6a+9
=a²-2×3×a+3²
=（a+3）²
分析：
完全平方公式括号里的符号根据2倍多项式的符号来定
正解：
a²-6a+9
=a²-2×3×a+3²
=（a-3）²
例2.4m²+n²-4mn
错解：
4m²+n²-4mn
=（2m+n）²
分析：
要先将位置调换，才能再利用完全平方公式
正解：
4m²+n²-4mn
=4m²-4mn+n²
=（2m）²-2×2mn+n²
=（2m-n）²
例3.（a+2b）²-10（a+2b）+25
错解：
（a+2b）²-10（a+2b）+25
=（a+2b）²-10（a+2b）+5²
=（a+2b+5）²
分析：
要把a+2b看成一个整体，再运用完全平方公式
正解：
（a+2b）²-10（a+2b）+25
=（a+2b）²-2×5×（a+2b）+5²
=（a+2b-5）²
例4.2x²-32
错解：
2x²-32
=2（x²-16）
分析：
要先提取2，在运用平方差公式括号里能继续分解的要继续分解
正解：
2x²-32
=2（x-16）
=2（x²+4）（x²-4）
=2（x²+4）（x+2）（x-2）
例5.（x²-x）²-（x-1）²
错解：
（x²-x）²-（x-1）²
=[（x²-x）+（x-1）][（x²-x）-（x-1）]
=（x²-x+x-1）（x²-x-x-1）
=（x²-1）（x²-2x-1）
分析：
做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方差公式，去括号要变号，括号里能继续分解的要继续分解
正解：
（x²-x）²-（x-1）²
=[（x²-x）+（x-1）][（x²-x）-（x-1）]
=（x²-x+x-1）（x²-x-x-1）
=（x²-1）（x²-2x+1）
=（x+1）（x-1）³
例6.-2a²b²+ab³+a³b
错解：
-2a²b²+ab³+a³b
=-ab（-2ab+b²+a²）
=-ab（a-b）²
分析：
先提公因式才能再用完全平方公式
正解：
-2a²b²+ab³+a³b
=-（2a²b²-ab³-a³b）
=-（ab×2ab-ab×b²-ab×a²）
=-ab（2ab-b²-a²）
=ab（b²+a²-2ab）
=ab（a-b）²
例7.24a（a-b）²-18（a-b）³
错解：
24a（a-b）²-18（a-b）³
=（a-b）²[24a-18（a-b）]
=（a-b）²（24a-18a+18b）
分析：
把a-b看做一个整体再继续分解
正解：
24a（a-b）²-18a-b）
=6（a-b）²×4a-6（a-b）²×3（a-b）
=6（a-b）²[4a-3（a-b）]
=6（a-b）²（4a-3a+3b）
=6（a-b）²（a+3b）
例8.（x-1）（x-3）+1
错解：
（x-1）（x-3）+1
=x²+4x+3+1
=x²+4x+4
=（x+2）²
分析：
无法直接分解时，可先乘开再分解
正解：
（x-1）（x-3）+1
=x²-4x+3+1
=x²-4x+4
=（x-2）²
例9.2（a-b）³+8（b-a）
错解：
2（a-b）³+8（b-a）
=2（b-a）³+8（b-a）
=2（b-a）[（b-a）²+4]
分析：
要先找出公因式再进行因式分解
正解：
2（a-b）³+8（b-a）
=2（a-b）³-8（a-b）
=2（a-b）×（a-b）²-2（a-b）
=2（a-b）[（a-b）²-4]
=2（a-b）（a-b+2）（a-b-2）
例10.（x+y）²-4（x+y-1）
错解：
（x+y）²-4（x+y-1）
=（x+y）²-（4x-4y+4）
=（x²+2xy+y²）-（4x-4y+4）
分析：
无法直接分解时，要仔细观察，找出特点，再进行分解
正解：
（x+y）²-4（x+y-1）
=（x+y）²-4（x+y）+4
=（x+y-2）
1.对于任何整数m,多项式（4m+5）2-9都能（）
A.被8整除B.被m整除
C.被（m-1）整除D.被（2m-1）整除
思路解析:
因为（4m+5）2-9=（4m+5+3）（4m+5-3）=（4m+8）（4m+2）=8（m+2）（2m+1）,所以（4m+5）2-9都能被8整除.
答案:
A
2.满足m2+n2+2m-6n+10=0的是（）
A.m=1,n=3B.m=1,n=-3
C.m=-1,n=3D.m=-1,n=-3
思路解析:
m2+n2+2m-6n+10=（m+1）2+（n-3）2=0,所以m=-1,n=3.
答案:
C
3.已知正方形的面积是9x2+6xy+y2（x>0,y>0）,则该正方形的边长为____________.
思路解析:
把9x2+6xy+y2分解因式可得9x2+6xy+y2=（3x+y）2.
答案:
3x+y
4.若x2+mx+n是一个完全平方式,则m,n的关系是_______.
思路解析:
若x2+mx+n是一个完全平方式,则常数项n等于一次项系数m的一半的平方.
答案:
m2=4n
5.已知a-2=b+c,则代数式a（a-b-c）-b（a-b-c）+c（b-a+c）的值是_______.
思路解析:
因为a-2=b+c,所以a-b-c=2,所以原式=a（a-b-c）-b（a-b-c）-c（a-b-c）=a（a-b-c）-b（a-b-c）-c（a-b-c）=（a-b-c）2=4.
答案:
4
6.已知x,y满足x2+4xy+4y2-x-2y+
=0,则x+2y的值为_______.
思路解析:
x2+4xy+4y2-x-2y+
=（x+2y）2-（x+2y）+
=（x+2y-
）2,由非负数性质可得x+2y=
.
答案:
7.当x_______取时,多项式x2+4x+6取得最小值是_______.
思路解析:
因为x2+4x+6=（x+2）2+2,且（x+2）2≥0,所以当x=-2时,（x+2）2+2有最小值为2.
答案:
-22
14.观察下列各式x2-1=（x-1）（x+1）,x3-1=（x-1）（x2+x+1）,x4-1=（x-1）（x3+x2+x+1）,根据前面各式的规律可猜想xn+1-1=_____________.
思路解析:
观察特点,找出其内在的规律.
答案:
（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）
8.利用分解因式求值.
（1）已知x+y=1,xy=-
利用因式分解求x（x+y）（x-y）-x（x+y）2的值;
（2）已知a+b=2,ab=2,求
a3b+a2b2+
ab3的值
（3）（m2-m）2+
（m2-m）+
.
思路分析:
对于
（1）,可将x（x+y）（x-y）-x（x+y）2提取公因式x（x+y）;对于
（2）,先提取公因式
ab,再运用公式法分解.
解:
（1）x（x+y）（x-y）-x（x+y）2=x（x+y）［（x-y）-（x+y）］=-2xy（x+y）=1;
（2）原式=
ab（a+b）2=4.（3）（m2-m）2+
（m2-m）+
=（m-
）4
9.利用分解因式计算.
（1）
×19
×15;
（2）
.
思路分析:
对于
（1）,可提取公因式
;对于
（2）,可对分子、分母采取分步分解的方法进行化简计算.
解:
（1）
×19
×15=
×（19+15）=-26;
（2）
10.n为整数,试说明（n+5）2-（n-1）2的值一定能被12整除.
思路分析:
要证明（n+5）2-（n-1）2的值能被12整除,只要将此式分解因式,使12成为其中的一个因式即可.
解:
（n+5）2-（n-1）2=［（n+5）+（n-1）］［（n+5）-（n-1）］=（2n+4）×6=2（n+2）×6=12（n+2）,
因为n为整数,所以n+2也为整数,故12（n+2）能被12整除,即（n+5）2-（n-1）2的值一定能被12整除.
11.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x-1）（x-9）,而乙同学因看错了常数项而将其分解为2（x-2）（x-4）,请你将此二次三项式进行正确的因式分解.
思路分析:
解答此类问题的基本思路是“将错就错”,找出在错误的答案下,依然正确的条件,运用整式乘法与因式分解的关系进行求解.
解:
2（x-1）（x-9）=2x2-20x+18,2（x-2）（x-4）=2x2-12x+16,因为甲同学看错了一次项系数,但没有看错常数项,乙同学看错了常数项但没有看错一次项系数,所以原多项式为2x2-12x+18.分解因式得2x2-12x+18=2（x2-6x+9）=2（x-3）2.
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数学考试答题技巧
一、答题原则
大家拿到考卷后，先看是不是本科考试的试卷，再清点试卷页码是否齐全，检查试卷有无破损或漏印、重印、字迹模糊不清等情况。
如果发
答题时，一般遵循如下原则：
1．从前向后，先易后难。
通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难。
因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依
次解答。
当然，有时但也不能机械地按部就班。
中间有难题出现时，可先跳过去，到最后攻它或放弃它。
先把容易得到的分数拿到手，不要
“一条胡同走到黑”，总的原则是先易后难，先选择、填空题，后解答题。
2．规范答题，分分计较。
数学分I、II卷，第I卷客观性试题，用计算机阅读，一要严格按规定涂卡，二要认真选择答案。
第II卷为主观性试
题，一般情况下，除填空题外，大多解答题一题设若干小题，通常独立给分。
解答时要分步骤（层次）解答，争取步步得分。
解题中遇到困
难时，能做几步做几步，一分一分地争取，也可以跳过某一小题直接做下一小题。
3．得分优先、随机应变。
在答题时掌握的基本原则是“熟题细做，生题慢做”，保证能得分的地方绝不丢分，不易得分的地方争取得分，但
是要防止被难题耗时过多而影响总分。
4．填充实地，不留空白。
考试阅卷是连续性的流水作业，如果你在试卷上留下的空白太多，会给阅卷老师留下不好印象，会认为你确实不行
。
另外每道题都有若干采分点，触到采分点便可给分，未能触到采分点也没有倒扣分的规定。
因此只要时间允许，应尽量把试题提问下面的
空白处写上相应的公式或定理等有关结论。
5．观点正确，理性答卷。
不能因为答题过于求新，结果造成观点错误，逻辑不严密；或在试卷上即兴发挥，涂写与试卷内容无关的字画，可
能会给自己带来意想不到的损失。
胡乱涂写可以认为是在试卷上做记号，而判作弊。
因此，要理性答卷。
6．字迹清晰，合理规划。
这对任何一科考试都很重要，尤其是对“精确度”较高的数理化，若字迹不清无法辨认极易造成阅卷老师的误判，
如填空题填写带圈的序号、数字等，如不清晰就可能使本来正确的失了分。
另外，卷面答题书写的位置和大小要计划好，尽量让卷面安排做
到“前紧后松”而不是“前松后紧”。
特别注意只能在规定位置答题，转页答题不予计分。
二、审题要点
审题包括浏览全卷和细读试题两个方面。
一是开考前浏览。
开考前5分钟开始发卷，大家利用发卷至开始答题这段有限的时间，通过答前浏览对全卷有大致的了解，初步估算试卷难度
和时间分配，据此统筹安排答题顺序，做到心中有数。
此时考生要做到“宠辱不惊”，也就是说，看到一道似曾相识的题时，心中不要窃喜
，而要提醒自己，“这道题做时不可轻敌，小心有什么陷阱，或者做的题目只是相似，稍微的不易觉察的改动都会引起答案的不同”。
碰到
一道从未见过，猛然没思路的题时，更不要受到干扰，相反，此时应开心，“我没做过，别人也没有。
这是我的机会。
”时刻提醒自己：
我
易人易，我不大意；我难人难，我不畏难。
二是答题过程中的仔细审题。
这是关键步骤，要求不漏题，看准题，弄清题意，了解题目所给条件和要求回答的问题。
不同的题型，考察不
同的能力，具有不同的解题方法和策略，评分方式也不同，对不同的题型，审题时侧重点有所不同。
1．选择题是所占比例较大（40％）的客观性试题，考察的内容具体，知识点多，“双基”与能力并重。
对选择题的审题，要搞清楚是选择正
确陈述还是选择错误陈述，采用特殊什么方法求解等。
2．填空题属于客观性试题。
一般是中档题，但是由于没有中间解题过程，也就没有过程分，稍微出现点错误就和一点不会做结果相同，“后
果严重”。
审题时注意题目考查的知识点、方法和此类问题的易错点等。
3．解答题在试卷中所占分数较多（74分），不仅需要解出结果还要列出解题过程。
解答这种题目时，审题显得极其重要。
只有了解题目提供
的条件和隐含信息，联想相关题型的通性通法，寻找和确定具体的解题方法和步骤，问题才能解决。
三、时间分配
近几年，随着高考数学试题中的应用问题越来越多，阅读量逐渐增加，科学地使用时间，是临场发挥的一项重要内容。
分配答题时间的基本
原则就是保证在能得分的地方绝不丢分，不易得分的地方争取得分。
在心目
中应有“分数时间比”的概念，花10分钟去做一道分值为12分的中档大题无疑比用10分钟去攻克1道分值为4分的中档填空题更有价值。
有效
地利用最好的答题时间段，通常各时间段内的答题效率是不同的，一般情况下，最后10分钟左右多数考生心理上会发生变化，影响正常答卷
。
特别是那些还没有答完试卷的考生会分心、产生急躁心理，这个时间段效率要低于其它时间段。
在试卷发下来后，通过浏览全卷，大致了解试题的类型、数量、分值和难度，熟悉“题情”，进而初步确定各题目相应的作答时间。
通常一
般水平的考生，解答选择题（12个）不能超过40分钟，填空题（4个）不能超过15分钟，留下的时间给解答题（6个）和验算。
当然这个时间
安排还要因人而异。
在解答过程中，要注意原来的时间安排，譬如，1道题目计划用3分钟，但3分钟过后一点眉目也没有，则可以暂时跳过这道题；但若已接近成
功，延长一点时间也是必要的。
需要说明的是，分配时间应服从于考试成功的目的，灵活掌握时间而不墨守最初安排。
时
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