2x>1，则p是q成立的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由q：
2x>20⇒x>0可知：
由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件.
2.（2015·绵阳高二检测）“a=2”是“直线（a2-a）x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行”的 （ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.若a=2，则2x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行，是充分条件；若直线（a2-a）x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行，则a=2或a=-1，不是必要条件，故选C.
【补偿训练】（2015·杭州高二检测）“a=-1”是“l1：
x+ay+6=0与l2：
（3-a）x+2（a-1）y+6=0平行（l1与l2不重合）”的__________条件（填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”）.
【解析】若直线l1：
x+ay+6=0与l2：
（3-a）x+2（a-1）y+6=0平行，则需满足
1×2（a-1）-a×（3-a）=0，化简整理得a2-a-2=0，解得a=-1或a=2，经验证得当a=-1时两直线平行，当a=2时，两直线重合，故“a=-1”是“l1：
x+ay+6=0与l2：
（3-a）x+2（a-1）y+6=0平行”的充要条件.
答案：
充要
3.（2015·北京高考）设a，b是非零向量，“a·b=|a||b|”是“a∥b”的 （ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos=1，=0，所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.
【补偿训练】已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的 （ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.a>2可以推出a2>2a，a2>2a可以推出a>2或a<0，不一定推出a>2，“a>2”是“a2>2a”的充分不必要条件.
4.（2015·陕西高考）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.方法一：
由cos2α=0得cos2α-sin2α
=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=0，
得sinα=cosα或sinα=-cosα.
所以sinα=cosα⇒cos2α=0，
即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.
方法二：
由sinα=cosα，得
sin
=0，即α-
=kπ，α=kπ+
，
k∈Z.
而cos2α=0，得2α=kπ+
，α=
+
，k∈Z.
所以sinα=cosα⇒cos2α=0，即“sinα=cosα”是
“cos2α=0”的充分不必要条件.
5.（2015·中山高二检测）若m>0且m≠1，n>0，则“logmn<0”是“（m-1）（n-1）
<0”的 （ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由logmn<0知，
当m>1时，0当01，此时（m-1）（n-1）<0成立，
所以logmn<0是（m-1）（n-1）<0的充分条件；
反之，因为m>0且m≠1，n>0，
所以当（m-1）（n-1）<0时，
或
此时总有logmn<0，
所以，logmn<0是（m-1）（n-1）<0的必要条件.
综上，选C.
二、填空题（每小题5分，共15分）
6.设p，r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的____________条件，r是t的__________条件.
【解析】由题意可画出图形，如图所示.
由图形可以看出p是t的充分条件，r是t的充要条件.
答案：
充分 充要
【补偿训练】（2013·哈尔滨高二检测）设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的 （ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由题意，甲⇒乙，而乙甲，丙⇔乙，丙⇒丁，而丁⇒/丙，可见甲⇒丁，而丁⇒/甲，故丁是甲的必要不充分条件.
7.直线x+y+m=0与圆（x-1）2+（y-1）2=2相切的充要条件是__________.
【解析】因为直线x+y+m=0与圆（x-1）2+（y-1）2=2相切，所以圆心（1，1）到直线x+y+m=0的距离等于
，所以
=
，即|m+2|=2解得m=-4或0.
当m=-4或0时，直线与圆相切.
答案：
m=-4或0
8.（2015·杭州高二检测）设m∈N*，一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=________.
【解题指南】先将根用m表示，再用整数等有关概念分析验证.
【解析】x=
=2±
，因为x是整数，即2±
为整数，所以
为整数，且m≤4，又m∈N*，取m=1，2，3，4.验证可得m=3，4符合题意，所以m=3，4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根.
答案：
3或4
三、解答题（每小题10分，共20分）
9.（2015·威海高二检测）已知p：
-4（x-2）（x-3）<0，且q是p的充分而不必要条件，试求a的取值范围.
【解析】设q，p表示的范围为集合A，B，
则A=（2，3），B=（a-4，a+4）.
由于q是p的充分而不必要条件，则有A
B，
即
或
解得-1≤a≤6.
10.求证：
关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
【证明】充分性：
因为m≥2，所以Δ=m2-4≥0.
所以x2+mx+1=0有实根，两根设为x1，x2，
由根与系数的关系，知x1x2=1>0，
所以x1与x2同号，
又x1+x2=-m≤-2<0，所以x1，x2同为负实根.
必要性：
因为x2+mx+1=0有两个负实根x1和x2，
所以
故m≥2，
综上，m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.
【补偿训练】（2014·衡水高二检测）求证：
关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-（c+d）.
【证明】充分性：
因为a+b=-（c+d），
所以a+b+c+d=0.
所以a×13+b×12+c×1+d=0成立，
故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根.
必要性：
关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1，所以a+b+c+d=0，
所以a+b=-（c+d）成立.综上得证.
（20分钟 40分）
一、选择题（每小题5分，共10分）
1.（2015·四川高考）设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由3a>3b>3，知a>b>1，
所以log3a>log3b>0，
所以
<
，
即loga3所以“3a>3b>3”是“loga3但是取a=
，b=3也满足loga3b>1，
所以“3a>3b>3”是“loga32.（2015·湖北高考）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：
l1，l2是异面直线，
q：
l1，l2不相交，则 （ ）
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【解析】选A.若p：
l1，l2是异面直线，由异面直线的定义知，l1，l2不相交，所以命题q：
l1，l2不相交成立，即p是q的充分条件，反过来，若q：
l1，l2不相交，则l1，l2可能平行，也可能异面，所以不能推出l1，l2是异面直线，即p不是q的必要条件.
二、填空题（每小题5分，共10分）
3.给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件.
【解析】“直线l与平面α内无数条直线都垂直”中的“无数条直线”是“一组平行直线”时，不能推出线面垂直；由“直线l与平面α垂直”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都垂直”.
答案：
必要不充分
【延伸探究】本题条件中的两处“垂直”都变为“平行”，则结论如何？
【解析】当直线l⊂α时，不能推出l∥α，不是充分条件；由“直线l与平面α平行”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都平行”，所以是必要不充分条件.
4.（2015·长沙高二检测）若“0【解析】令A={x|0由题意可得A
B，所以
解得-1≤a≤0.
答案：
三、解答题（每小题10分，共20分）
5.（2015·郑州高二检测）
（1）是否存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件？
（2）是否存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件？
【解析】
（1）欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件，则只要
⊆{x|x<-1或x>3}，即只需-
≤-1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.
（2）欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件，则只要{x|x<-1或x>3}⊆
，这是不可能的.故不存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.
6.（2015·烟台高二检测）设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，证明：
“a2=b（b+c）”是“A=2B”的充要条件.
【证明】充分性：
由a2=b（b+c）=b2+c2-2bccosA可得1+2cosA=
=
.
即sinB+2sinBcosA=sin（A+B）.
化简，得sinB=sin（A-B），
由于sinB>0且在三角形中，
故B=A-B，即A=2B.
必要性：
若A=2B，则A-B=B，sin（A-B）=sinB，
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB.
所以sin（A+B）=sinB（1+2cosA）.
因为A，B，C为△ABC的内角，
所以sin（A+B）=sinC，
即sinC=sinB（1+2cosA）.
所以
=1+2cosA=1+
=
，
即
=
.
化简得a2=b（b+c）.
所以a2=b（b+c）是“A=2B”的充要条件.
【补偿训练】已知{an}为等差数列，且a1+a4=10，a1+a3=8，前n项和为Sn.求证：
a1，ak，Sk+2成等比数列的充要条件是k=6.
【证明】设等差数列{an}的公差为d，
由题意得
解得
所以an=2+2（n-1）=2n，
由此得Sn=
=
=n（1+n）.
（充分性）当k=6时，a1=2，ak=a
升级会员 