版高中数学人教B版选修21学案313 两个向量的数量积.docx

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版高中数学人教B版选修21学案313两个向量的数量积

3.1.3　两个向量的数量积

学习目标

　1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．

知识点一　两个向量的数量积

思考1　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？

并总结求两个向量数量积的方法．

思考2　等边△ABC中，与的夹角是多少？

梳理　

（1）定义：

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积（或内积），记作a·b.

（2）数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律

（λa）·b＝________

交换律

a·b＝________

分配律

（a＋b）·c＝________

知识点二　两个向量的夹角

（1）定义：

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．

（2）范围：

〈a，b〉∈________.特别地：

当〈a，b〉＝________时，a⊥b.

知识点三　两个向量的数量积的性质

两个向量数量积的性质

①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________

②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝______或|a|＝

③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝________

④|a·b|≤|a|·|b|

类型一　空间向量的数量积运算

命题角度1　空间向量数量积的基本运算

例1　

（1）下列命题是否正确？

正确的请给出证明，不正确的给予说明．

①p2·q2＝（p·q）2；

②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；

③若a与（a·b）·c－（a·c）·b均不为0，则它们垂直．

（2）设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：

①a·b；②（3a－2b）·（a＋2b）．

反思与感悟　

（1）已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．

（2）如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．

跟踪训练1　已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于（　　）

A.B.

C.D．4

命题角度2　利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题

例2　已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：

（1）·；

（2）·；（3）·.

反思与感悟　两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．

跟踪训练2　已知正四面体OABC的棱长为1，求：

（1）（＋）·（＋）；

（2）|＋＋|.

类型二　利用数量积求夹角或模

命题角度1　利用数量积求夹角

例3　已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．

反思与感悟　利用向量求异面直线夹角的方法

跟踪训练3　已知：

PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.

求证：

l⊥PA.

命题角度2　利用数量积求模（或距离）

例4　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

反思与感悟　利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．

跟踪训练4　如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．

类型三　利用空间向量的数量积解决垂直问题

例5　如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：

OA⊥BC.

反思与感悟　

（1）证明线线垂直的方法

证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．

（2）证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法

先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.

跟踪训练5　已知向量a，b满足：

|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．

1．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于（　　）

A．14B.C．4D．2

2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是（　　）

A.·B.·

C.·D.·

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：

①（＋＋）2＝32；

②·（－）＝0；

③与的夹角为60°.

其中真命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．0

4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.

5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．

1．空间向量运算的两种方法

（1）利用定义：

利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．

（2）利用图形：

计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．

2．在几何体中求空间向量数量积的步骤

（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．

（3）代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．

提醒：

完成作业　第三章　3.1.3

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　∵＝－，

∴·＝·－·

＝||||cos〈，〉－||||·

cos〈，〉

＝8×4×cos135°－8×6×cos120°

＝24－16.

求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算．

思考2　120°.

梳理　

（2）λ（a·b）　b·a　a·c＋b·c

知识点二

（1）∠AOB　

（2）[0，π]　

知识点三

a·b＝0　|a|·|b|　－|a|·|b|　|a|2

题型探究

例1　

（1）解　①此命题不正确．

∵p2·q2＝|p|2·|q|2，

而（p·q）2＝（|p|·|q|·cos〈p，q〉）2

＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，

∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝（p·q）2.

②此命题不正确．

∵|p2－q2|＝|（p＋q）·（p－q）|

＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，

∴当且仅当（p＋q）∥（p－q）时，

|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.

③此命题正确．

∵a·[（a·b）·c－（a·c）·b]＝a·（a·b）·c－a·（a·c）·b＝（a·b）（a·c）－（a·b）（a·c）＝0，

且a与（a·b）·c－（a·c）·b均为非零向量，

∴a与（a·b）·c－（a·c）·b垂直．

（2）解　①∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，

∴a·b＝3×4×cos120°＝－6.

②∵（3a－2b）·（a＋2b）＝3|a|2＋4a·b－4|b|2

＝3|a|2＋4|a||b|cos120°－4|b|2，

∴（3a－2b）·（a＋2b）＝3×9＋4×3×4×（－）－4×16＝27－24－64＝－61.

跟踪训练1　C

例2　解　如图，设＝a，＝b，

＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，

a·b＝b·c＝c·a＝0.

（1）·＝b·[（c－a）＋b]

＝|b|2＝42＝16.

（2）·＝·（a＋c）＝|c|2－|a|2

＝22－22＝0.

（3）·

＝·

＝（－a＋b＋c）·

＝－|a|2＋|b|2＝2.

跟踪训练2　解　

（1）（＋）·（＋）＝（＋）·（－＋－）＝（＋）·（＋－2）＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.

（2）|＋＋|

＝

＝

＝.

例3　解　如图所示．∵＝＋，＝＋，

∴·＝（＋）·（＋）

＝·＋·＋·＋·.

∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，

∴·＝0，·＝0，

·＝0且·＝－a2.

∴·＝－a2.

又·＝||·||cos〈，〉，

∴cos〈，〉＝＝－.

又∵〈，〉∈[0°，180°]，

∴〈，〉＝120°，

又∵异面直线所成的角是锐角或直角，

∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.

跟踪训练3　证明　如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，.

因为l⊥OA，

所以a·＝0.

因为PO⊥α，且l⊂α，所以l⊥PO，

因此a·＝0.

又因为a·＝a·（＋）

＝a·＋a·＝0，

所以l⊥PA.

例4　解　因为＝＋＋，

所以2＝（＋＋）2＝2＋2＋2＋2（·＋·＋·）．

因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，

所以〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，

所以2＝1＋4＋9＋2（1×3×cos60°＋2×3×cos60°）＝23.

因为2＝||2，

所以||2＝23，||＝，

即AC1＝.

跟踪训练4　解　∵＝＋＋，

∴||2＝（＋＋）2

＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2（2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°）＝8，

∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.

例5　证明　因为OB＝OC，AB＝AC，

OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，

所以∠AOC＝∠AOB.

又·＝·（－）

＝·－·

＝||·||cos∠AOC－||·

||cos∠AOB＝0，

所以⊥，即OA⊥BC.

跟踪训练5　45°

当堂训练

1．B　2.D　3.B　4.　5.