数学与应用数学专业数学与大数据学院惠州学院.docx
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数学与应用数学专业数学与大数据学院惠州学院
数学与应用数学专业
课程教学大纲（第二版）
惠州学院数学系
2009年10月
目录
《高等代数》教学大纲2
《数学分析》课程教学大纲8
《解析几何》课程教学大纲12
《近世代数》课程教学大纲15
《常微分方程》课程教学大纲18
《复变函数》课程教学大纲22
《组合数学》课程教学大纲26
《初等数论》课程教学大纲29
《实变函数》课程教学大纲32
《竞赛数学》课程教学大纲35
《数学教育学》课程教学大纲37
《高等几何》课程教学大纲40
《数学分析选讲》课程教学大纲48
《高等代数选讲》课程教学大纲51
《数学建模》课程教学大纲57
《泛函分析》课程教学大纲64
《拓扑学》课程教学大纲67
《高等代数》教学大纲
HIGHERALGEBRA
（2009年10月修订，李桂贞执笔）
一、课程的适用专业、学时及学分
本课程的适用专业为：
数学与应用数学专业，192学时，11学分。
二、课程的性质、目的和任务
《高等代数》是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程。
通过学习本课程，使学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。
三、与其它课程的联系
《高等代数》是数学专业必修的代数类基础课，是中学代数的继续和提高，是后续的专业课如常微分方程、近世代数、泛函分析等课程的先修课。
四、课程的基本内容、重点及难点
（一）基本概念
本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。
1、集合
子集集的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积
2、映射
映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件
3、数学归纳法
自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法
、整数的一些整除性质
5、数环和数域
重点及难点：
映射可逆映射数域。
（二）多项式
本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。
多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。
1、一元多项式的定义和运算
2、多项式的整除性
整除的基本性质带余除法定理
3、多项式的最大公因式
最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质
4、多项式的唯一因式分解定理
不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式
5、多项式的重因式
多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件
6、多项式函数与多项式的根
多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数
7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）
8、有理数域上多项式的可约性及有理根
本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根
9、多元多项式
多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数
10、对称多项式
对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理
重点及难点：
整除，最大公因式，互素，唯一分解定理，代数基本定理，Eisenstein判别法。
（三）行列式
行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广，也是一种重要的数学工具。
1、二阶和三阶行列式的结构
2、排列
排列的概念反序数及排列的奇偶性对换及其对排列奇偶性的影响
3、n阶行列式的定义和性质
4、行列式依行依列展开
余子式与代数余子式的概念行列式依行依列展开Vandermonde行列式
5、Cramer规则
6、Laplace定理
重点及难点：
n阶行列式的计算，Vandermonde行列式的计算及应用。
（四）线性方程组
本章在理论上解决了线性方程组有解的判定，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义。
此外，它在本课程及数学的其它分支、生产实践及其它学科都有广泛应用。
1、线线方程组的消元法
线性方程组的初等变换方程组的一般解和自由未知量系数矩阵和增广矩阵
2、矩阵的秩
k阶子式矩阵秩的定义初等变换不改变矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩
3、线性方程组有解的判别法
线性方程组有解判别定理及解的个数定理
4、线性方程组的公式解
线性方程组的公式解齐次线性方程组及其非零解的概念齐次线性方程组有非零解的充要条件
、结式和判别式
结式判别式二元高次方程组的解法
重点及难点：
矩阵的秩的概念及求法线性方程组有解的判别及求解
（五）矩阵
矩阵是线性代数的一个主要研究对象，它是数学及其它学科的一个重要工具。
本章主要介绍矩阵的运算及其基本性质。
1、矩阵的运算
矩阵的加法、数乘、乘法和转置单位矩阵
2、逆矩阵
可逆矩阵及逆矩阵的概念可逆矩阵的性质求逆矩阵的公式
3、初等矩阵
初等矩阵与初等变换的关系可逆矩阵的判定用初等变换求逆矩阵
4、矩阵乘积的行列式与秩
5、矩阵的分块
矩阵的分块分块矩阵的加法、数乘及乘法对角线分块矩阵
重点及难点：
逆矩阵的求法，初等矩阵与初等变换的关系。
（六）向量空间
向量空间的理论是线性代数的主要内容，它在自然科学和工程技术的许多领域中有着广泛的应用。
本章主要介绍向量空间的概念与性质。
1、向量空间的定义、例子及简单性质。
2、子空间
子空间的定义及充要条件子空间的交与和
3、向量组的线性相关性
线性相关线性无关替换定理及其推论等价的向量组及其性质极大无关组及其性质
4、基和维数
生成子空间基和维数的定义基的性质维数公式
5、子空间的直和
直和的定义及充要条件。
6、坐标
坐标的定义过渡矩阵基变换公式坐标变换公式
7、向量空间的同构
同构映射的定义与性质向量空间同构的定义与充要条件
8、齐次线性方程组的解空间
矩阵的行（列）空间齐次线性方程组的基础解系
9、非齐次线性方程组解的结构。
重点及难点：
向量的线性相关性，基与维数的求法，过渡矩阵，直和的充要条件，齐次线性方程组的基础解系，线性方程组解的结构。
（七）线性变换
线性变换是向量空间中最简单而又最基本的变换。
它是线性代数的主要研究对象之一，对于研讨向量空间中向量之间的内在联系及向量空间的结构起着重要的作用。
本章主要介绍线性变换的运算、性质、线性变换与矩阵的关系及矩阵的相似与化简。
1、线性变换的定义及其简单性质
2、线性变换的象与核
线性变换的象与核的定义及其基与维数的求法
3、线性变换的运算
线性变换的加法、数乘与乘法可逆线性变换及其逆变换
4、线性变换和矩阵
线性变换的矩阵向量的象的坐标公式线性变换与矩阵的同构对应
5、矩阵的相似
矩阵相似的定义同一线性变换关于不同基的矩阵之间的关系
6、不变子空间
7、特征根、特征向量、特征多项式
特征根、特征向量及特征子空间的定义、求法矩阵的迹和行列式同特征根的关系相似矩阵的特征多项式
8、可对角化的矩阵
属于不同特征根的特征向量的线性无关性特征子空间的维数与所属特征根的重数关系线性变换和矩阵可对角化的条件
重点及难点：
线性变换与矩阵的同构对应，特征根，特征向量，矩阵的相似，线性变换的象与核。
（八）欧氏空间
欧氏空间是实数域上带有一个内积的向量空间，是通常几何空间的推广。
本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基和正交变换。
1、欧氏空间的定义及基本性质
2、Cauchy—Schwarz不等式向量的长度及两个向量的夹角
3、正交基标准正交基和正交化方法
4、向量与子空间的正交正交补向量到子空间的距离
5、同构的定义和同构的充要条件
6、正交变换与正交矩阵
正交变换与正交矩阵的关系一个线性变换是正交变换的充要条件
7、对称变换与实对称矩阵
对称变换的定义对称变换与实对称矩阵的关系对称矩阵的标准形
、酉空间
、酉变换和对称变换
重点及难点：
Cauahy-Schwarz不等式，正交基与正交化方法，正交补，正交变换，对称矩阵的标准形。
（九）二次型
二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学有关内容的深入和提高，也是线性代数的一个主要研究对象。
本章主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判别。
1、二次型的矩阵表示
二次型的定义变量的非退化线性变换二次型的秩二次型的化简与对称矩阵的合同
2、标准形
3、复数域和实数域上二次型的标准形的唯一性惯性定理
4、正定二次型的定义及充要条件
正定二次型的定义正定矩阵正定二次型的充要条件
重点及难点：
矩阵的合同，求二次型的标准形和典范形，正定二次型的判别。
五、学时分配表
章节
主要内容
各教学环节学时分配表
备注
讲授
实验
讨论
习题
课外
其它
小计
一
基本概念
6
2
8
二
多项式
24
2
6
32
三
行列式
14
4
18
四
线性方程组
12
2
14
五
矩阵
12
2
4
18
六
向量空间
24
2
6
32
七
线性变换
24
6
30
八
欧氏空间和酉空间
18
6
24
九
二次型
14
2
16
合计
148
6
38
192
六、教材与参考书
[1]张禾瑞，郝鈵新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年（选用教材）
[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，《高等代数》，高等教育出版社，2000．
[3]钱芳华，黎有高等编，《高等代数习题课教材》，广西师范大学出版社，2001.
[4]王品超编，《高等代数新方法》，山东教育出版社，1989．
[5]杨子胥编，《高等代数习题解》，山东科学技术出版社
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《数学分析》课程教学大纲
MATHEMATICALANALYSIS
（2009年10修订，许金泉执笔）
一、选用专业，学时及学分
本课程适用专业为：
数学与应用数学专业；学时：
264，学分:
15学分，分三学期授课（第一、二、三学期）。
二、课程的性质、目的和任务
本课程是高等师范院校数学教育专业的一门最重要的基础课，授课时间最长。
通过本课程的学习使学生掌握极限论，一元函数微积分学，无穷级数及多元函数微积分学方面的系统知识，为进一步学习复变函数论，微分方程，微分几何，概率论与数理统计，实变函数，数学模型等后续课程，也是为深入理解初等数学及从事中学数学工作打下坚实的基础。
三、课程的基本内容、重点及难点
（一）函数
函数概念，函数的四则运算、图象、数列、函数的有界性、单调性，奇偶性、周期性，复合函数，反函数，初等函数。
重点和难点：
函数的概念与表示，函数的复合运算。
（二）数列极限
极限思想、数列极限概念、收敛数列的性质：
唯一性、有界性、单调性，保号性、迫敛性；收敛数列的四则运算，数列收敛的判别法；单调有界定理，柯西收敛准则；子数列及其收敛性。
重点和难点：
数列极限概念，ε—N方法的运用，数列收敛的判别。
（三）函数极限
x→∞时函数f（X）的极限，x→a时函数f（X）的极限，单侧极限，函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，函数极限存在判别法，无穷小，无穷大，无穷小的比较。
重点和难点：
函数极限概念，ε---δ方法的运用，函数极限存在判别法。
（四）连续函数
函数在一点的连续性，函数在区间的连续性，单侧连续性，间断点及其分类，连续函数的局部性质；闭区间上连续函数的性质：
有界性，最值性，介值性，一致连续性；连续函数的四则运算，反函数，复合函数及初等函数的连续性。
重点和难点：
连续函数的概念，连续函数的性质，一致连续性。
（五）实数的连续性
实数连续性的基本定理：
闭区间套定理，确界定理，有限复盖定理，聚点定理，致密性定理，柯西收敛准则；闭区间连续函数性质的证明。
重点及难点：
柯西收敛准则，实数完备性定理的等价性。
（六）导数与微分
引出导数概念的实例，导数概念；求导法则与导数公式;隐函数与参数方程求导法则；微分概念及运算，近似计算；高阶导数与高阶微分。
重点和难点：
导数概念及其计算，复合函数微分法。
（七）微分学基本定理及其应用
微分中值定理；待定型计算的洛必达法则；泰勒公式；导数在研究函数上的应用：
单调性的判定，极限与最值，曲线凹凸性，拐点，渐进线；函数图象的描绘。
重点与难点：
拉格朗日中值定理及其证明方法，极值的判定。
（八）不定积分
原函数与不定积分的概念，基本初等函数的积分公式；换元积分法与分部积分法；有理函数的积分法，三角函数及简单无理函数的不定积分。
重点与难点：
不定积分的概念与计算，第一类换元积分法。
（九）定积分
引出定积分概念的实例，定积分概念；可积准则：
可积必要条件，小和与大和，可积充要条件，三类可积函数；定积分性质；定积分的计算：
积分上限函数，定积分基本公式，换元积分与分部积分法；定积分的应用：
微元法，平面面积，体积，弧长，旋转曲面面积的计算，定积分在物理上的应用。
重点与难点：
定积分概念，定积分性质，积分上限函数，定积分的应用。
（十）无穷级数
1．数值级数：
级数收敛与发散的概念，收敛级数的性质，正项级数及其敛散性的判定；交错级数，任意项级数，绝对收敛，条件收敛。
2．函数项级数：
函数级数的收敛域，一致收敛的概念与判定；函数列的一致收敛，和函数的分析性质。
3．幂级数：
幂级数的收敛域，幂级数和函数的分析性质，泰勒级数，基本初等函数的幂级数展开，幂级数的应用。
4．付立叶级数。
重点与难点：
正项级数审敛法，函数级数一致收敛的概念与判定，幂级数收敛区间及和函数求法，初等函数的幂级数展开。
（十一）多元函数微分学
1.多元函数：
平面点集，坐标平面的连续性，多元函数的概念。
2.二元函数的极限与连续。
3.多元函数微分法：
偏导数，全微分定义及几何意义，复合函数微分法，方向导数。
4.高阶导数与二元函数的泰勒公式
重点与难点：
二重极限，累次极限，二元函数的连续性，多元复合函数的微分法
（十二）隐函数存在性定理及其应用
1．隐函数概念，隐函数存在性定理，隐函数求导法则；隐函数组，隐函数组的存在性定理及求导法则。
2．函数行列式及其性质。
3．几何应用：
平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；条件极值。
重点与难点：
隐函数存在性定理及求导法则。
（十三）广义积分与含参变量的积分
1.无穷积分：
无穷积分收敛与发散的概念，无穷积分的性质，无穷积分敛散性的判定。
2.瑕积分：
瑕积分收敛与发散的概念，瑕积分敛散性的判定。
3.含参变量的有限积分，含参变量的无穷积分，
函数与
函数。
重点与难点：
无穷积分、瑕积分收敛与发散的概念，判定，含参变量的无穷积分的一致收敛性。
（十四）重积分
1.二重积分：
引出二重积分定义的实例，二重积分的概念，性质，二重积分的计算，二重积分的换元，曲面面积。
2.三重积分：
三重积分的定义，计算，换元及简单应用。
重点与难点：
二重积分的概念与计算，三重积分的换元。
（十五）曲线积分与曲面积分
1．曲线积分：
第一、二型曲线积分的概念与计算；格林公式，曲线积分与路径无关的条件。
2．曲面积分：
第一、二型曲面积分概念与计算，奥—高公式，斯托克斯公式。
3．场论初步：
梯度，散度，旋度。
重点和难点：
两类曲线积分的概念及计算，格林公式及曲线积分与路径无关的条件。
四、学时分配表
章节
主要内容
各教学环节学时分配表
备注
讲授
实验
讨论
习题
课外
其它
小计
一
函数
6
2
8
二
数列极限
8
4
12
三
函数极限
12
4
16
四
连续函数
8
2
10
五
实数连续性
6
2
8
六
导数与微分
10
4
14
七
中值定理及导数应用
16
6
22
八
不定积分
10
4
14
九
定积分
18
8
26
十
无穷级数
28
8
36
十一
多元函数微分学
20
6
26
十二
隐函数
10
4
14
十三
广义积分与参量积分
8
6
14
十四
重积分
16
6
22
十五
线面积分
16
6
22
合计
192
72
264
五、教材与教学参考书
1．《数学分析讲义》上下册，刘玉琏编，高等教育出版社。
2．《数学分析》（第二版）华东师范大学编,高教出版社。
3．《数学分析》上下册，江泽坚、吴智全、周光亚编,人民教育出版社。
4．《数学分析原理》第一、二卷菲赫金哥尔茨著,人民教育出版社。
5．《数学分析习题集》吉米多维奇著。
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《解析几何》课程教学大纲
ANALYTICGEOMETRY
（2009年修订，王小梅执笔）
一、课程的适用专业、学时及学分
本课程的适用专业为：
数学与应用数学专业，60学时，4学分。
二、课程的性质、目的和任务
《解析几何》是数学与应用数学专业的一门专业必修课。
通过学习本课程，使学生系统掌握向量代数、平面与空间直线，二次曲面以及常用的一些特殊曲线和曲面等空间解析几何的基本知识，掌握以向量为工具运用代数知识解决几何问题的基本思想方法，提高运用代数方法解决几何问题的能力，提高空间想象能力，为进一步学习后继课程和从事中学数学教育打下基础。
三、与其他课程的联系
本课程是数形结合的典型学科，是从学习初等数学进入学习高等数学的转折点，是进一步学习数学专业其他课程的基础，也是学习物理及工程技术的基础。
四、课程的基本内容、重点及难点
（一）向量与坐标（20学时）
1.向量的概念；
2.向量的加法；
3.数量乘向量；
4.向量的线性关系与向量的分解；
5.标架与坐标；
6.向量在轴上的射影；
7.两向量的数量积；
8.两向量的向量积；
9.三向量的混合积；
重点及难点
向量的各种运算及运算律，尤其要注意的是向量的数量积和向量的向量积运算不满足结合律；两向量的向量积不满足交换律等。
向量在轴上的射影的概念，向量的线性关系与向量的分解的有关结论。
（二）轨迹与方程（8学时）
1.平面曲线的方程；
2.曲面的方程；
3.空间曲线的方程。
重点及难点：
曲面和空间曲线方程的建立；对于缺少某一坐标的方程所代表的轨迹，必须首先明确它所讨论的范围。
（三）平面与空间直线（18学时）
1.平面方程；
2.平面与点的相关位置；
3.两平面的相关位置；
4.空间直线的方程；
5.直线与平面的相关位置；
6.空间直线与点的相关位置；
7.空间两直线的相关位置；
8.平面束。
重点及难点：
平面和空间直线各种方程的求法；各种方程中系数的几何意义；点、直线与平面的各种相关位置。
（四）柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（14学时）
1.柱面；
2.锥面；
3.旋转曲面；
4.椭球面；
5.双曲面；
6.抛物面；
7.单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。
重点及难点：
柱面、锥面、旋转与二次曲面的定义及方程；特殊二次曲面方程所表示的图形。
从椭球面、抛物面、双曲面的方程出发，利用平行截割法讨论曲面的形状及性质；单叶双曲面与双曲抛物面的直母线方程。
五、学时分配表
章节
主要内容
各教学环节学时分配
备注
讲授
实验
讨论
习题
课外
其他
小计
一
向量与坐标
16
4
20
二
轨迹与方程
6
2
8
三
平面与空间直线
14
4
18
四
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
12
2
14
合计
48
12
60
六、教材与教学参考书
教材
《解析几何》（第四版）吕林根、许子道编高等教育出版社
参考书
1、《解析几何学习指导书》吕林根、张紫霞、孙存金编高等教育出版社
2、《解析几何讲义》华南师范大学数学系几何教研室编广东高教出版社
3、《空间解析几何引论》南开大学数学系编人民教育出版社
4、《空间解析几何及其应用》蒋大为编著科学出版社
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《近世代数》课程教学大纲
MODERNALGEBRA
（2009年10修订，潘庆年执笔）
一、课程的适用专业、学时及学分
本课程的适用专业为：
数学与应用数学专业，68学时，4学分。
二、课程的性质、目的和任务
近世代数是数学与应用数学专业一门必修的专业基础课，是现代数学的重要基础之一。
通过本课的学习，能够使学生掌握群、环、域的基础知识，深刻理解和体会公化这一现代数学的思想方法，同时掌握代数的一些基本方法：
集合、运算、运算性质，特殊元素，特殊子对象，商对象，同态同构，为学生的进一步学习提供理论基础和方法保证，加深对中等数学中代数体系的理解。
三、与其它课程的联系
本课程的学习需要一定集合论和高等代数的基础，对数论、组合论、离散数学的学习有一定的帮助。
四、课程的基本内容、重点及难点
（一）基本概念
1、集合及其运算。
2、映射，映射的合成，一一映射，可逆映射击，一一映射与可逆映射的关系。
3、代数运算及其运算律。
4、同态，同构，自同态，自同构。
5、等价关系，集合元素的分类，二者的关系。
重点及难点：
同态、同构等价关系与集合元素的分类
（二）群
1、群的定义及其等价条件。
2、群的同态及其性质。
3、变换群，Cayley定理。
4、置换群，置换的循环表方法，交代群。
5、循环群，整数加群Z和模n剩余类加群Zn，结构定理。
6、子群及子群的陪集，Lagrange定理。
7、不变子群，商群，同态基本定理。
重点及难点：
群的定义，循环群与置换群，不变子群与商群，同态基本定理。
（三）环与域
1、环的定义及简单性质，几类常用的环的实例。
2、交换律，单位元，可逆元，零因子，正则元，整环。
3、除环和域，四元数除环，域中元的运算。
4、无零因子环的特征。
5、子环，环的同态及同态映射的性质。
6、多项式环，同态及代入法，未定元的存在性。
7、理想，剩余类（商）环，同态基本定理。
8、极大理想，域的构作。
9、分式域的存在条件及其构作方法
重点与难点：
环（域）的概念，几类常用环的性质，理想与商环，同态及同态基本定理。
（四）整环的因子分解理论
1、整除，因子与平几因子，相伴元，素元，唯一分解。
2、唯一分解环及其等价条
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