高三总复习理科数学85椭圆.docx

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高三总复习理科数学85椭圆

[课时跟踪检测]　

[基础达标]

1．（2017年浙江卷）椭圆＋＝1的离心率是（　　）

A.B．

C.D．

解析：

由椭圆方程，得a2＝9，b2＝4.

∵c2＝a2－b2＝5，∴a＝3，c＝，e＝＝.

答案：

B

2．（2017年全国卷Ⅲ）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（　　）

A.B．

C.D．

解析：

∵点A1，A2是椭圆的左、右顶点，

∴|A1A2|＝2a，

∴以线段A1A2为直径的圆可表示为x2＋y2＝a2，

该圆的圆心为（0,0），半径为a.

又∵该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，

∴圆心（0,0）到直线bx－ay＋2ab＝0的距离等于半径，

即＝a，

整理得a2＝3b2.

又∵在椭圆中，a2＝b2＋c2，

∴e＝＝＝，故选A.

答案：

A

3．曲线＋＝1与曲线＋＝1（k<9）的（　　）

A．长轴长相等B．短轴长相等

C．离心率相等D．焦距相等

解析：

c2＝25－k－（9－k）＝16，所以c＝4，所以两个曲线的焦距相等．

答案：

D

4．椭圆C：

＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）

A.B．

C.D．

解析：

设P（x0，y0），则有＋＝1，即4－x＝y.①

由题意知A1（－2,0），A2（2,0），设直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则k1＝，k2＝，

所以k1·k2＝.②

由①②得k1·k2＝－.

因为k2∈[－2，－1]，

所以k1的取值范围为，故选B.

答案：

B

5．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（　　）

A.＋＝1

B.＋＝1或＋＝1

C.＋＝1

D.＋＝1或＋＝1

解析：

∵a＝4，e＝，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∵焦点的位置不确定，∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.

答案：

B

6．焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1（a>b>0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（　　）

A.B．

C.D．

解析：

如图，由椭圆的性质可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b，

S△ABC＝AB·OC＝·2c·b＝bc，

S△ABC＝（a＋a＋2c）·r＝·（2a＋2c）×＝，

∴＝bc，a＝2c，

∴e＝＝.

答案：

C

7．椭圆C：

＋y2＝1（a>0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是（　　）

A．2（＋）B．＋2

C.＋D．4＋2

解析：

如图，因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝|PF2|.同理，ON∥PF1，且|ON|＝|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形．由题意知，|OM|＋|ON|＝，故|PF1|＋|PF2|＝2，即2a＝2，a＝.由a2＝b2＋c2，知c2＝a2－b2＝2，c＝，所以|F1F2|＝2c＝2，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝2（＋），选A.

答案：

A

8．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（－2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为（　　）

A.＋＝1B．＋＝1

C.＋＝1D．＋＝1

解析：

设椭圆的标准方程为＋＝1（a>b>0），焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F（－2，0）为C的左焦点，所以c＝2.

由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝－42＝8.由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－

（2）2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.

答案：

B

9．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．

解析：

满足·＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c

答案：

10．（2018届安徽江南十校联考）椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的右顶点为A，经过原点O的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．

解析：

不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|＝＝，在Rt△POA中，cos∠POA＝＝，故∠POA＝60°，易得P，代入椭圆方程得，＋＝1，故a2＝5b2＝5（a2－c2），则＝，所以离心率e＝.

答案：

11．已知椭圆＋＝1（a>b>0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

（1）若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

（2）若＝2，·＝，求椭圆的方程．

解：

（1）若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.

所以a＝c，e＝＝.

（2）由题知A（0，b），F1（－c,0），F2（c,0），其中c＝，

设B（x，y）．

由＝2，得（c，－b）＝2（x－c，y），

解得x＝，y＝－，

即B.

将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，

即＋＝1，解得a2＝3c2，①

又由·＝（－c，－b）·＝，

得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1，②

由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.

所以椭圆的方程为＋＝1.

12.（2018届河北邯郸质检）如图，已知F1、F2是椭圆G：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，直线l：

y＝k（x＋1）经过左焦点F1，且与椭圆G交于A、B两点，△ABF2的周长为4.

（1）求椭圆G的标准方程；

（2）是否存在直线l，使得△ABF2为等腰直角三角形？

若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解：

（1）设椭圆G的半焦距为c，因为直线l与x轴的交点为（－1,0），故c＝1.

又△ABF2的周长为4，即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝4，故a＝，

所以b2＝a2－c2＝3－1＝2.

因此，椭圆G的标准方程为＋＝1.

（2）不存在．理由如下：

先用反证法证明AB不可能为底边，即|AF2|≠|BF2|.

由题意知F2（1,0），设A（x1，y1），B（x2，y2），假设|AF2|＝|BF2|，

则＝，

又＋＝1，＋＝1，代入上式，消去y，y，得（x1－x2）（x1＋x2－6）＝0.

因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以x1≠x2，故x1＋x2＝6（与x1≤，x2≤，x1＋x2≤2<6，矛盾）．

联立方程得（3k2＋2）x2＋6k2x＋3k2－6＝0，

所以x1＋x2＝－<6，矛盾．

故|AF2|≠|BF2|.

再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．

假设△ABF2为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点．

设|AF1|＝m，则|AF2|＝2－m，

在△AF1F2中，由勾股定理得m2＋（2－m）2＝4，此方程无解．

故不存在这样的等腰直角三角形．

[能力提升]

1．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

b2＝2，c＝，故|F1F2|＝2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得cos120°＝＝－，化简得8a＝24，即a＝3，故选B.

答案：

B

2．（2018届陕西省五校联考）椭圆＋＝1（a为定值，且a>）的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．

解析：

设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.

又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，

当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．

此时4a＝12，则a＝3.

故椭圆方程为＋＝1，

所以c＝2，所以e＝＝.

答案：

3．已知椭圆G：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，右焦点为（2，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（－3,2）．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△PAB的面积．

解：

（1）由已知得c＝2，e＝＝.

解得a＝2.

又b2＝a2－c2＝4，

所以椭圆G的方程为＋＝1.

（2）设直线l的方程为y＝x＋m.

由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①

设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1

x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.

因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，

所以PE的斜率k＝＝－1.

解得m＝2.

此时方程①为4x2＋12x＝0.

解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.

所以|AB|＝3.

此时，点P（－3,2）到直线l：

x－y＋2＝0的距离

d＝＝，

所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.

4．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0,2），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围．

解：

（1）由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆方程为＋＝1（a>b>0），

由题意知a＝2，b＝c，

又a2＝b2＋c2，则b＝，

所以椭圆的方程为＋＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意知，直线l的斜率存在，

设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，

得

则（2＋k2）x2＋2mkx＋m2－4＝0，

Δ＝（2mk）2－4（2＋k2）（m2－4）>0，即m2－4<2k2.

由根与系数的关系知

又由＝2，

即（－x1，m－y1）＝2（x2，y2－m），

得－x1＝2x2，故

可得＝－22，

整理得（9m2－4）k2＝8－2m2，

又9m2－4＝0时不符合题意，所以k2＝>0，

解得0.解不等式

得

所以m的取值范围为∪.