高中数学同步题库含详解49等差数列.docx

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高中数学同步题库含详解49等差数列

高中数学同步题库含详解49等差数列

一、选择题（共40小题；共200分）

1.在等差数列中，，则的值为

A.B.C.D.

2.已知在等差数列中，，，则的值是

A.B.C.D.

3.下列数列不是等差数列的是

A.，，，，，B.，，，，，

C.，，，，，D.，，，，，

4.若首项为的等差数列从第项起为正数，则公差的取值范围是

A.B.C.D.

5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：

“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何?

”其意思为：

“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?

”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为

A.钱B.钱C.钱D.钱

6.《九章算术》“竹九节”问题：

现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为

A.升B.升C.升D.升

7.设数列，都是等差数列，且，，，则等于

A.B.C.D.

8.若数列满足，且，则使的值为

A.B.C.D.

9.已知数列满足，且．若，则正整数

A.B.C.D.

10.在等差数列中，，，则

A.B.C.D.

11.已知数列是等差数列，若，则

A.B.C.D.

12.首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是

A.B.C.D.

13.在数列中，若，，则数列的通项公式为

A.B.C.D.

14.设是等差数列，下列结论中正确的是

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

15.在中，三内角，，成等差数列，则的值为

A.B.C.D.

16.在等差数列中，，则

A.B.C.D.

17.《九章算术》“竹九节”问题：

现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为

A.升B.升C.升D.升

18.《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书的第卷题，“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两节容量是多少升

A.B.C.D.

19.南北朝时期我国数学著作《张丘建算经》有一道题为：

“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何?

”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和

A.多斤B.少斤C.多斤D.少斤

20.已知数列是首项为，公差为的等差数列，若是该数列中的一项，则公差不可能是

A.B.C.D.

21.已知数列是公差为的等差数列，设，，则

A.数列不是等差数列

B.数列是公差为的等差数列

C.数列是公差为的等差数列

D.数列是公差为的等差数列

22.已知是等差数列，且，，则

A.B.C.D.

23.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：

某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺?

该问题的答案为

A.尺B.尺C.尺D.尺

24.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：

把个面包分给个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为

A.B.C.D.

25.已知数列满足，则使不等式成立的所有正整数的集合为

A.B.

C.D.

26.在等差数列中，若，，则的值是

A.B.C.D.

27.在等差数列中，，则的值为

A.B.C.D.

28.数列满足，，则

A.B.C.D.

29.已知在等差数列中，，，则的取值范围是

A.B.C.D.

30.等差数列为递增数列，若，，则数列的公差等于

A.B.C.D.

31.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为升，下面三节的容积之和为升，求中间两节的容积各为多少?

”该问题中第节，第节，第节竹子的容积之和为

A.升B.升C.升D.升

32.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了个问题及其解法，其中一个问题为“现在一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为升，下面三节的容积之和为升，求中间两节的容积各为多少?

”该问题中第节，第节，第节竹子的容积之和为

A.升B.升C.升D.升

33.一个等差数列的首项为，从第项起开始比大，则这个等差数列的公差的取值范围是

A.B.C.D.

34.在数列中，，，则的值为

A.B.C.D.

35.在等差数列中，，且不大于，则的取值范围为

A.B.C.D.

36.已知正项数列中，，，，则等于

A.B.C.D.

37.在等差数列中，，，则

A.B.C.D.

38.在等差数列中，已知，，则

A.B.C.D.

39.已知数列的首项为，为等差数列，且．若，，则

A.B.C.D.

40.某小朋友按如图所示的规则练习数数，大拇指，食指，中指，无名指，小拇指，无名指，，一直数到时，对应的指头是

A.大拇指B.无名指C.小拇指D.中指

二、填空题（共40小题；共200分）

41.等差数列中，，，则数列的公差为 ．

42.已知在等差数列中，，则 ．

43.在数列中，，是方程的两实根，若是等差数列，则 ．

44.给出下列各数列，其中为等差数列的是 ．

（1），，，，；

（2），，，，；

（3），，，；

（4），，．

45.已知等差数列的公差，且．若，则 ．

46.在等差数列中，若，，则数列的公差为 ．

47.在等差数列中，已知，那么 ．

48.在等差数列中，若，则 ．

49.设数列，都是等差数列，若，，则 ．

50.若，，，，成等差数列，则 ．

51.已知数列是递增的等差数列，且，，则 ； ．

52.在等差数列中，已知，那么等于 ．

53.等差数列中，，．则数列的通项公式 ．

54.在数列中，，，已知该数列的通项公式是关于的一次函数，则 ．

55.三个数成等差数列，其和为，前两项之积为最后一项的倍，则这三个数为 ．

56.在等差数列中，已知，则 ．

57.已知数列满足，若点在直线上，则 ．

58.已知等差数列中，，，，则 ．

59.已知数列中，且，则 ．

60.在等差数列中，已知，，则 ．

61.若数列为等差数列，，，则 ．

62.已知关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则 ．

63.设数列是公差为的等差数列，若，，则 ， ．

64.在等差数列中，，，则公差 ， ．

65.等差数列，的前项和分别是，，如果，则 

66.已知数列是等差数列，若，且，则 ．

67.已知等差数列中，，且，为的两个实根，则此数列的通项公式是 ．

68.若，且，，，和，，，，各自都成等差数列，则 ．

69.若，两个等差数列，，，与，，，，的公差分别为和，则的值为 ．

70.数列是等差数列，且，则实数 ．

71.设等差数列满足：

公差，，且中任意两项之和也是该数列中的一项，若，则的所有可能的取值之和为 ．

72.设等差数列的公差为正数，若，，则 ．

73.已知等差数列中，若，则 ．

74.设为数列的前项之积，即，若，，当时，的值为 ．

75.已知等差数列的公差为正数，，，为常数，则 ．

76.数列满足，，则 ．

77.已知数列中，，，则数列的通项公式 ．

78.已知，是公差分别为，的等差数列，且，，若，，则 ；若为等差数列，则 ．

79.《九章算术》“竹九节”问题：

现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为 升．

80.在等差数列中，，，则 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.已知等差数列．

（1）若，，求的值；

（2）若，，，求．

82.在等差数列中，

（1）已知，，求与；

（2）已知，，求．

83.已知数列中，，．

（1）若数列是等差数列，求的值；

（2）若数列是等差数列，求数列的通项公式．

84.在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）是否是数列中的项．

85.已知等差数列，，公差，若，试判断数列是否为等差数列，并证明你的结论．

86.

（1）在等差数列中，若，求；

（2）已知为等差数列，，，求．

87.首项为的等差数列，从第项起开始为正数，求公差的取值范围．

88.在等差数列中，，，求此数列的通项公式．

89.已知，，成等差数列，那么，，是否成等差数列?

90.设数列满足当时，，且．

（1）求证：

数列为等差数列．

（2）是否是数列中的项?

如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．

91.在数列中，，，通项公式是关于的一次函数．

（1）求数列的通项公式；

（2）求的值；

（3）是否为数列中的项?

说明理由．

92.已知各项均为正数的两个数列和满足：

，．设，，求证：

数列是等差数列．

93.已知数列满足，（，且），令．

（1）求证：

数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式．

94.判断是否存在数列同时满足下列条件：

①是等差数列，且公差不为；

数列也是等差数列．

如果存在，写出它的通项公式；如果不存在，请说明理由．

95.下面给出一个数表，其中每行、每列都是等差数列，表示第行、第列的数．

（1）求；

（2）写出的通项公式．

96.已知数列的公差是正数，且，，求它的通项公式．

97.已知为等差数列，，，若在每相邻两项之间插人三个数，使它和原数列构成一个新的等差数列，求：

（1）原数列的第项是新数列的第几项?

（2）原数列的第项是新数列的第几项?

98.某县为迎战即将到来的洪峰，需要在24小时内加高一堤坝，经计算，某工程相当于一台挖土机连续挖小时．该县仅有台挖土机可以立即投人挖土，其余挖土机需要从他处紧急调用，若每隔分钟可有一台挖土机投人工作，且所有挖土机都是同一型号，至少应调用多少台挖土机才能确保工程如期完成?

99.已知数列满足，，令，

（1）求证：

数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式．

100.已知数列的通项公式为，．

（1）在数列中，是否存在连续项成等差数列?

若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；

（2）试证在数列中，一定存在满足条件的正整数，，使得，，成等差数列；并求出正整数，之间的关系；

（3）在数列中是否存在某项成等差数列?

若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．

答案

第一部分

1.A2.A【解析】由于题目中的数列是等差数列，就容易联想到利用相关性质来求解，并且注意到，从而利用性质很快求解．

由，得．故．

3.D【解析】选项A，B，C都是等差数列，数列不是等差数列．事实上，不是常数．

4.D【解析】设该等差数列的公差为，则，，．

因为从第项起为正数，

所以即即．

5.D

【解析】设等差数列的首项为，公差为，

依题意有

6.B【解析】设节竹子的容积从上往下依次为，，，，公差为，则有，，即，，联立解得：

．

7.C【解析】因为，都是等差数列，

所以也是等差数列．

又因为，，

所以，

故．

8.D【解析】因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，由，所以使的值为．

9.C【解析】是等差数列，则．

因为，

所以，

所以，

所以．

10.B

11.D12.D13.A【解析】因为，，则数列为等差数列，

所以，

所以．

14.C【解析】若，，则不一定成立，故A错误；

若，，则不一定成立，故B错误；

若，则，故C正确；

若，则，故D错误．

15.B

16.D17.C18.B19.D【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列，则，，

由等差数列的性质得，，

所以，

所以等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和少斤．

20.B

21.C22.A23.B【解析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：

，，，，，其公差为，则，，

所以，所以．

24.C【解析】由题意可得中间的那份为个面包，设最小的一份为，公差为，由题意可得，解得．

25.A

26.B【解析】设等差数列的公差为，

因为，，

所以，，

联立解得，，

所以．

27.C28.C【解析】因为数列满足，，

所以，所以是首项为，公差为的等差数列，

所以，所以，解得．

29.D【解析】因为，，

所以，

又为等差数列，

故，

所以，

所以．

30.A

【解析】依题意得，

所以，又，，

所以，，．

31.A【解析】自上而下依次设各节竹子的容积分别为，，，，

依题意有

因为，，

故．

32.A【解析】自上而下依次设各节竹子的容积分别为，，，，依题意有因为，，故．

33.D【解析】由题意可得即所以．

34.C【解析】依题意，得．

因为，所以．

则．

35.B

【解析】由等差数列的性质得，因为，所以．又因为，所以，则．

36.D【解析】因为正项数列满足，

所以数列是一个等差数列，

由，，可得，，

所以，

所以，

所以，

所以．

37.B【解析】因为，所以，所以．

38.A【解析】公差，所以．

39.B【解析】设数列的首项为，公差为，

由，，

得解得

所以．

因为，

所以

40.C

【解析】由题图中数字可知，大拇指对应的数分别为，，，．

所以大拇指对应的数构成以为首项，为公差的等差数列，则通项为．

中指对应的数构成以为首项，为公差的等差数列，则通项为．

小拇指对应的数构成以为首项，为公差的等差数列，则通项为．

由，得，不是整数，不合题意．

由，得，不是整数，不合题意．

由，得．

所以数到时，对应的指头是小拇指．

第二部分

41.

42.

【解析】因为是等差数列，所以．

43.

【解析】因为，是方程的两实根，所以．又因为是等差数列，所以．

44.

（2）（4）

【解析】

（1），，，，，所以该数列不是等差数列．

（2）因为，所以该数列是等差数列．

（3）因为，．

当，即时，该数列是等差数列；当时，该数列不是等差数列．

（4）因为，所以该数是等差数列．

45.

【解析】因为，

所以，

所以．

所以，则．

因为，

所以．

46.

【解析】设等差数列的公差为，由题意得解得所以公差．

47.

48.

【解析】因为是等差数列，所以，，即，所以．

49.

【解析】设数列，的公差分别为，．

因为

所以．

所以．

50.

【解析】由等差数列的性质可得，解得，

又可得，

解之可得，

同理可得，

解得．

故．

51.，

52.

【解析】因为等差数列，

所以，

又，

所以，

则．

53.或

【解析】因为，所以，

所以，所以且．

所以，是方程的两根，

所以或

若且，则，所以．

同理可得，若，，．

故或．

54.

【解析】因为通项公式是关于的一次函数，所以数列为等差数列．

设（，是常数），由已知得解得

所以，则．

55.，，

【解析】设这三个数分别为，，，则解得故这三个数为，，．

56.

【解析】方法1：

在等差数列中，，所以．

方法2：

因为，所以．

57.

【解析】由题设可得，即，所以数列是以为公差的等差数列，且首项为，故通项公式，所以．

58.

【解析】设公差为，因为，即，得，所以．

59.

【解析】由已知得，

故．

60.

【解析】因为，，所以

所以所以．

所以．

61.

【解析】方法一：

因为，所以，即，因为，所以．

所以．

方法二：

因为数列为等差数列，所以点在一条直线上．

不妨设，记点，，则直线的斜率，如图所示，

由图知，即点的坐标为，故．

62.

63.，

【解析】，

所以，

所以．

64.，

【解析】由等差数列的性质得，，

故．

由，得，

故．

65.

【解析】

66.

【解析】因为，

所以．

又因为，

所以．

67.

【解析】由题意得：

又，

所以解得，，

所以解得

从而，即．

68.

【解析】设数列，，，的公差为，数列，，，，的公差为，则，而，

所以．

又，所以．

所以，所以．

69.

【解析】由，，得，，

所以．

70.

【解析】因为是等差数列，

所以．

所以．

所以，

所以．

71.

【解析】由题意知，，对数列中的任意两项其和为，

设，则，

即，

因为，所以是的整数倍，

即的所有可能的取值为和为.

72.

【解析】由条件可知，从而，，得，，公差为，所以．

73.

【解析】因为数列为等差数列，且有，

所以，

所以，

所以，

所以．

74.

75.

76.

77.

78.，

【解析】易知数列是首项为，公差为的等差数列，则，由，，得，即得，化简得．

79.

【解析】设所构成的等差数列的首项为，公差为，

由题意，得

即

解得

所以．

80.

【解析】由等差数列与一次函数的关系可知，点与是一次函数图象上的两点，并且数列的所有点都分布在这个一次函数的图象上，所以当时，，即．

第三部分

81.

（1）因为，

所以，

所以．

（2）由，得，

所以，

所以．

82.

（1）由题意，知

解得

（2）由题意，知

解得

所以．

83.

（1）设等差数列的公差为，则，

由题设，所以．

所以．

所以．

（2）设，则数列是等差数列，，，，，

所以．

84.

（1）因为由，，可得，

所以，

所以．

（2）令，即得，由于，

所以不是数列中的项．

85.数列是等差数列．

等差数列中，，，

所以

所以，

所以．

所以．

又因为，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

86.

（1）因为，

所以，

所以．

所以．

又因为，

所以．

（2）解法：

因为为等差数列，

所以，，，，也成等差数列，设其公差为，为首项，则为其第项，

所以，得．

所以．

解法：

设的公差为