一元二次方程总复习全章知识点梳理.docx

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一元二次方程总复习全章知识点梳理

一元二次方程总复习

考点1:

一元二次方程的概念

一元二次方程:

只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为0,这样的方程叫一元二次方程.

一般形式:

ax2+bx+c=0（a≠0。

注意:

判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。

考点2:

一元二次方程的解法

1.直接开平方法

2.配方法:

3.公式法:

4.因式分解法:

因式分解的方法:

提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。

5.一元二次方程的注意事项:

⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0.因当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.

⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:

①先化方程为一般形式再确定a,b,c的值;②若b2-4ac<0,则方程无解.

★⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2（x+42=3（x+4中,不能随便约去x+4。

⑷注意:

解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:

开平方法→因式分解法→公式法.

6.一元二次方程解的情况

⑴b2-4ac≥0⇔方程有两个不相等的实数根;

⑵b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;

⑶b2-4ac≤0⇔方程没有实数根。

解题小诀窍:

当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑用

b2

-4ac解题。

主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

考点3:

根与系数的关系:

韦达定理

对于方程ax2

+bx+c=0（a≠0利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形

。

解题小诀窍:

当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定

理。

二、经典考题剖析:

【易错】下列方程是关于x的一元二次方程的是（

A.02=++cbxaxB.0652=++kxkC.01232=++x

xxD.0123（22=+++xxk1、（2009成都若关于x的方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（

A.k>-1B.k>-1且k≠0

C.k<1D.k<1且k≠0

2、解方程:

（11（21（3-=-yyyy（2

0862=+-xx

3、（2009鄂州关于x的方程kx2+（k+2x+4k

=0有两个不相等的实数根,

（1求k的取值范围;

（2是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0?

若存在求出k的值;不存在说明理由。

4.当m是何值时,关于x的方程222341（2（xxmxm=--++

（1是一元二次方程;

（2是一元一次方程;

（3若x=-2是它的一个根,求m的值。

考点三:

一元二次方程的应用

一、考点讲解:

1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下:

⑴与几何图形有关的应用:

如几何图形面积模型、勾股定理等;

⑵有关增长率的应用:

此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低两次得到新数据,常见的

等量关系是a（1±x2=b,其中a表示增长（降低前的数据,x表示增长率（降低率,b表示

后来的数据。

注意:

所得解中,增长率不为负,降低率不超过1。

⑶经济利润问题:

总利润=（单件销售额-单件成本³销售数量;或者,总利润=总销售额-总成

本。

⑷动点问题:

此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线

段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程。

★2.注重解法的选择与验根:

在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特

别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性.

二、针对性训练:

1.合肥百货大搂服装柜在销售中发现:

“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。

为

了迎接“十²一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库

存。

经市场调查发现:

如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件。

要想平均每天在

销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少?

2.在宽为20米、长为32米的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分作为耕地,

要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少?

3

.为解决饮用水问题,某省对各市的饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.08

年,A市在财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”,计划以后每年以相同的

增长率,10年该市计划“改水工程”1176万元.

（1求A市“改水工程”的年平均增长率;

（2从08年到10年,A市三年“改水工程”多少万元?

32m

4.如图12-3,△ABC中,∠B=90°,点P从A点开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B

点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。

（1如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒钟,使PBQ∆的面积等于2

8cm?

（2PBQ∆的面积等于210cm么,为什么?

中考真题

1.钟老师出示了小黑板上的题目（如图1-2-2后,小敏回答:

“方程有一根为1”,小聪回答:

“方

程有一根为2”.则你认为（

A.只有小敏回答正确B.只有小聪回答正确

C.两人回答都正确D.两人回答都不正确

2.解一元二次方程x2-x-12=0,结果正确的是（

A.x1=-4,x2=3B.x1=4,x2=-3C.x1=-4,x2=-3D.x1=4,x2=3

3.方程（3（3xxx+=+解是（

A.x1=1B.x1=0,x2=-

3

九年级上复习课教案C．x1=1，x2=3ZND．x1=1，x2=－32224.若t是一元二次方程ax＋bx+c=0（a≠0）的根，则判别式Δ=b－4ac和完全平方式M=（2at+b的关系是（）A．Δ=M5.方程A．0B．Δ＞MC．Δ＜MD．大小关系不能确定x2（x-1=0B．12的根是（）D．0，1）C．0，－16.已知一元二次方程xA．－2B．2－2x－7=0的两个根为x1，x2，则x1+x2的值为（C．－72D．77.已知x1、x2是方程x－3x＋1＝0的两个实数根，则1B、－3C、32211的值是（+x1x2A、3D、1228.用换元法解方程（x＋x＋（x＋x＝6时，如果设x＋x＝y，那么原方程可变形为（）A、y＋y－6＝0C、y－y＋6＝0222B、y－y－6＝0D、y＋y＋6＝0229.方程x－5x=0的根是（）A．0B．0，52C．5，5D．510.若关于x的方程x＋2x＋k=0有实数根，则（）A．k＜1，B．k≤1C．k≤－1D．k≥－111.如果一元二次方程x－4x＋2＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2等于（）A.4B.－422C.2D.－212.用换元法解方程（x－x－A.y＋y－6＝0C.2x2-x＝6时，设x2-x＝y，那么原方程可化为（）y2＋y＋6＝0y2－y＋6＝0（B.D.2y2－y－6＝013.设x1，x2是方程2x+3x-2=0的两个根，则x1＋x2的值是6

九年级上复习课教案A．-33ZN232D．3B．3C．－14.方程x-x=0的解是（）A．0，1B．1，-1C．0，-1D．0，1，－1x25xx-+4=0时，若设=y,则原方程x+1x+115.用换元法解方程x+1_（16.两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是__________17.方程x－x=0的解是______________2_18.等腰△ABC中，BC=8，AB、BC的长是关于x的方程x－10x+m=0的两根，则m的值是________.19.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是_______________.220.解方程2x-9x+5=x-3221.解方程：

x－2x－3x＝0.ìy=x+1í2222.解方程组：

îx+y=53223.解方程：

2（x－1）+5（x－l）+2=0．24.解方程：

x25.解方程：

x22－2x－2=0+5x+3=02226.已知关于x的一元二次方程x-（k+1x-6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．2227.已知关于x的一元二次方程（k+4x+3x+k+3k-4=0的一个根为0，求k的值．28.如图1－2－3为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．（此题用到三角函数）中考预测题一、基础经典题（44分（一选择题（每题4分，共28分7

九年级上复习课教案ZN2【备考1】如果在－1是方程x+mx－1=0的一个根，那么m的值为（）A．－2B．－3C．1D．2【备考2】方程2x（x-3=5（x-3的解是（）A．x=3B.x=52C.x1=3,x2=5D.x=-322【备考3】若n是方程x+mx+n=0的根，n≠0，则m+n等于（）A．－7B．6C．1D．－12【备考4】关于x的方程x+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m＝0，n＝0C．m≠0，n=0B．m＝0，n≠0D．m≠0，n≠0【备考5】以5－26和5+26为根的一元二次方程是（）2A．x-10x+1=0B．x+10x+1=02C．x-10x-1=02D．x+10x-1=022【备考6】已知x1，x2是方程x－x－3=0的两根，那么x1+x2值是（）22A．1B．5C．749D、412x-（m-3x+m2=0【备考7】关于x的方程4有两个不相等的实根，那么m的最大整数是（）A．2B．－1C．0D．l

（二）填空题（每题4分，共16分）【备考8】已知一元二次方程x＋3x+1=0的两个根为x1，x2那么（1+x1）（1+x2）的值等于_______.【备考9】已知一个一元二次方程x+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P的值是_______.【备考10】如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x+2x－3=0的根，则□ABCD的周长是_______2228

九年级上复习课教案AZNDBEC22【备考11】关于x的方程（k+1x+3（k-2x+k-42=0的一次项系数是－3，则k=_______【备考12】关于x的方程（a+1x三、实际应用题（9分）a2-2a-1+x-5=0是一元二次方程，则a=__________.本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量【备考13】2003年2月27日《广州日报》报道：

2002年底广州自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4．65％，尚未达到国家A级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2005年底自然保护区覆盖率达到8％以上，若要达到最低目标8％，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？

（结果保留三位有效数字）．14.据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

15.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

16、9