完整版数量关系公式.docx
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完整版数量关系公式
数量关系常用公式总结：
1.行程问题
基础公式：
路程二速度*时间
一、相遇追及型
追及问题：
追及距离二（大速度-小速度）X追及时间
相遇问题：
相遇距离二（大速度+小速度）X相遇时间
背离问题：
背离距离二（大速度+小速度）X背离时间
二、环形运动型
反向运动：
第N次相遇路程和为N个周长，
环形周长=（大速度+小速度）X相遇时间
同向运动：
第N次相遇路程差为N个周长，
环形周长=（大速度-小速度）X相遇时间
三、流水行船型
顺流路程=（船速+水速）X顺流时间
逆流路程=（船速-水速）X逆流时间
静水速度二（顺水速度+逆水速度）宁2
水流速度二（顺水速度-逆水速度）宁2
四、扶梯上下型
扶梯总长二人走的阶数X[1±（V梯—V人）]，顺行用加法，逆行用减法
【例I】自动扶梯以匀速自下向上行驶.甲毎秒钟向上奁1级梯，乙每秒钟向上走2级
悌，结果甲刃穆到达梯顶.乙20秒到达梯顶•诔扶様共有拿少级？
乩40B.60
C.S0
根据公式带入
O.100
S=2OX2X（1+v-2）s=60
所以选择B
解析：
设扶梯为s级，速度为v,广S=3OX1X（1+V-1）解得e=1
五、队伍行进型
队头-队尾：
队伍长度=（人速+队伍速度）X时间
队尾T队头：
队伍长度=（人速-队伍速度）X时间
[M3]2012-M）一支609的从伍W.队尾的通讯员愛与最St面的连长
帳系，他用3分钟跑步追上了连长I又在从伍怵息的时间氏同样的速侵跑回了肌尾，用了2|分24B,如队伍和通讯员均匀連前进，则通讯员在看军时从最前面跑步回務队崔需要多故时剛（）|
几射秒K1井神CI4H秒02分钟
解析：
假设通讯员和队伍的速度分别为V和U,所求时间为t,则:
丙00二（v-u）X3解得何=250
600二vX（2+24-60）u=50
所以选择D
<600=（v+u）Xtt=2,L
六、往返相遇型
左右点出发：
第N次迎面相遇，路程和二全程X（2N-1）
第N次追上相遇，路程差二全程X（2N-1）
同一点出发：
第N次迎面相遇，路程和二全程X2N
第N次追上相遇，路程差二全程X2N
【例心（浙江2013-53）甲、乙两地相距210舍里、心b两辆汽车分则从眄乙两地
[同时相向出彊井连续往返于两地“从THktb发的计汽车的速惟为90公里/小时.从乙地出发|
Kib汽车的遼度为）20公里/小时，何乱汽车第2次从甲甌发后M汽q棺遇时，b汽车共行驶了热少公里■?
扎560公里氏600公里
A620公里CL公里
解析：
a汽车第二次从甲地出发后与b汽车相遇，实际上是两辆车第
3次迎面相遇，根据公式，路程和为5个全程，即5X210=1050（公
里），使用的时间为1050^（90+120）=5（小时）,所以b汽车共行
驶了120X5=600（公里），选择B
七、典型行程模型
等距离平均速度二（2速度1X速度2）^（速度1+速度2）（调和平
均数公式）（速度1和速度2分别代表往、返的速度）
[1511]（北京2014-76）M人开车从A筑前在前一半路程中.臥毎小时60公|凰的建度刑逊：
而在肓半的路密山以甸小时120公里的連度前进口则此人AAlAfJ达R镇的平期违度是每小时邹少公里？
|
恫GO1L80U90IX100
解析：
代入公式v=2X60X120-（60+120）=80
等发车前后过车：
发车间隔T=（2t1Xt2）宁（t1+12）;
V车/V人=（t2+t1）-（t2-t1）
例：
某人沿电车线路匀速行走，每分钟有一辆电车从后面追上，每4
分钟有一辆电车迎面开来，假设两个起点站的发车间隔相同，则这个发车间隔为多少？
解析：
依据公式，发车间隔T=（2t1Xt2）-（t1+12）=2X12X4宁
（12+4）=6（分钟）。
推导原型：
设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔t2
分钟就有辆公共汽车从后面超过该人，有方程组：
S=（V车+V人）Xt1TV车=（S/t1+S/t2）-2—
S=（V车-V人）Xt2V人=（S/t1-S/t2）-2
厂T二S/V车=2t1t2/（t1+t2）
N=V车N人二（t2+t1）/（t2-t1）
（S表示发车间距，T为发车间隔时间，V车为车速，V人为人速，N
为车速与人速的比）
不间歇多次相遇：
单岸型：
S=（3S1+S2/2（S表示两岸的距离）
推导原型：
设第一次相遇地点距离A地S1，第二次相遇地点距离A
地S2,则V甲/V乙=S1/（S-S1）=（2S-S2）/（S+S2—
S=（3S1+S2/2（注：
单岸指的是S1、S2都是距离同一出发地的距
离）
【例4】乙两乍同时从九R两地相向而肓，在距丸地铀千米处相遇，和遇麻两车继续前进.屮车測达B斬N阵到达A地后均立即按SWB理回，弟二茂在距A地创干|米处相遇.求A、B两地间的路程•|
|A」30于米B.1WT咪C.180FXD2MI■•米
解析：
假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了80、（S-80）,
根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=80/（S-80）,第二
次相遇时，甲、乙各走了（2S-60）、（S+60）,同理可得，V甲/V乙=（2S-60）
/（S+60），综上80/（S-80）=（2S-60）/（S+60），解得S=150选择B
注：
直接代入单岸型公式S=（3X80+60）/2=150。
两岸型:
S=3S1-S2
推导原型：
设第一次相遇地点距离A地S1,第二次相遇地点距离B
地S2,则V甲/V乙二S1/（S-S1）=（S+S2）/（2S-S2）—
S=3S1-S2
[M31甲从A地、乙从B地同时以均匀的遽度相向而低第一欢相]
辿离A地6r继续前进I刮达対方起点后立即返虬在离B地3「•米处谄
fillAB两地相IE#少千米？
（）|
扎1012C18D.15
『
解析：
假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了6、（S-6）,
根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=6/（S-6）,第二次
相遇时，甲、乙各走了（S+3）、（2S-3）,同理可得，V甲/V乙=（S+3）
/（2S-3），综上6/（S-6）=（S+3）/（2S-3），解得S=15选择D
注：
直接代入两岸型公式S=3X6-3=15
无动力顺水漂流：
漂流所需时间=2T逆T顺+（T逆-T顺）（其中T
逆T顺分别代表船逆流和顺流所需的时间）
【例Q（上海2Q12A-M）>一製船从人地f」脱刘H也需嘤5天.而该册从B地行驶到A地则需要？
人・IJ5i殳船诬、水流速度不变’井具备澡流笊件，那么嗚从A地漂流剑R地需要（）天・|
A.40B.35C12D.2
解析：
根据公式：
漂流所需时间=2T逆T顺宁（T逆-T顺）=2X7X
5+（7-5）=35（天），选择B
2.排列组合问题
排列：
与顺序有关，用A
组合：
与顺序无关，用C
排列公式：
Anm二n!
/（n-m）!
=nx（n-1）x（n-2）x…x（n-m+1）（简
单记忆就是从n开始，连续乘以m个数）
组合公式：
Cnm=n!
/（n-m）!
m!
=nx（n-1）x（n-2）x…x
（n-m+1）/mx（m-1）x（m-2）x（m-3）x…x1
一、相邻问题-捆绑法
6人排成一队，ab要排在一起：
A22*A55（先排ab，再捆在一起与
剩下的4人一起排队）
二、不相邻-插空法
6人排队，ab不排在一起：
A44*A52（先排除了ab之外的4人，4人排好后有5个空位，再选择其中2个排ab两人）
三、围成一圈
6人围成一圈：
A55（选定6人中其中一人标定位置，其余5人按顺序排队）
四、几对夫妻排队
4对夫妻排队：
A88（相当于8人排队）
五、夫妻要排一起
4对夫妻排队，并且夫妻要排在一起：
（A22*A22*A22*A22）*A44（先
把每对夫妻排好，再将每队夫妻捆绑在一起排队）
六、夫妻坐在一起圆桌吃饭
4对夫妻坐在圆桌上吃饭，并且每队夫妻要坐在一起：
（（A22*A22*A22*A22）*A33）
七、错位排列型
N个封信和N个信封，每一封信都不装在自己的信封里，可能的种数为Dn,贝卩D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44
八、分配插板
O将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少一个，共有多少种分法？
答：
C72。
（8个苹果排成一排，除两头外共有7个空档，选择2个空档插入）
O将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少2个，共有多少种分法？
答：
C42。
（8个苹果先给每个小朋友分1个，剩下5个苹果排队，除去两头外共有4个空档，选择2个空档插入）
3.牛吃草问题
核心公式：
y=（N-x）*Ty代表草量，N代表牛的数量,x代表草长的速度，T代表吃完草需要的时间
表格法解牛吃草问题
例：
一片草地（草匀速生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，则这片草可供190只羊吃多少天？
190
50
12
N3
N3-x
T3
200
6010
2000
N1
N1-x
T1
N1*T1
240
1006
1440
N2
N2-x
T2
N2*T2
1404
560
x=
右两项之商T1-T2N1*T1-N2*T2
y=（N3-x）*T3=（N1-x）*T1=（N2-x）*T2
注：
题目中有牛有羊时，可将其全部转换成牛或羊；如果草场面积有
区别，如M头牛吃W亩草时，N可用M/W带入，N代表单位面积上的牛数。
4.钟表冋题
基本常识：
时针每分钟走0.5。
，分钟每分钟走6°;
24h内，时针和分钟重合22次，垂直44次；
钟表上每两格之间为30°
钟表问题追及公式：
T=To+（1/11）To,其中T为追及时间，To为静态时间，及假设时针不动，分针和时针达到条件要求时的虚拟时间。
例：
时针和分针在7点多少分重合？
假设时针不动，分钟需要走35分钟才能与时针重合（7点时分钟和时间间间隔35分钟的空格），所以To为35分钟，带入公式，
T=35+35/11
5.余数同于问题
氽数呈本恒等式"披除敕=除龜％商+余数余数＜除数广
核心口诀：
余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期。
（1）余同：
一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1,则取1,表示为60n+1。
（60为4,5,6的最小公倍数，可取60的任意整倍数）
（2）和同：
一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1,则取乙
表示为60n+7。
（3）差同：
一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,则取3,
表示为60n-3。
注：
n的取值范围为整数，可为负值，也可以取0。
6.容斥原理
两集合标准型核心公式：
满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数
三集合标准型核心公式：
AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|AnB|-|AnC-
三集合整体重复型核心公式:
Bnc+AnBnc
{W=x+y+z
A+B+C=xX1+yX2+zX3A
其中满足三个条件的元素数量分别为A、B、C,而至少满足三个条件之一的元素总量为W满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为y。
例：
一个班级共有55个学生，暑假参加特长培训班，35人参加
书法，28人参加美术，31人参加舞蹈，其中以上三种培训班都
参加的有6人，则有多少人只参加一种培训班？
22
解答：
W=55z=6，A=35,B=28,C=31,代入公式
_55=x+y+6解得x=22
35+28+31=xX1+yX2+6X3y=27
7.几何问题模块
周长计算公式：
正方形周长=4a;长方形周长=2（a+b）;圆周长=2nR;扇形
周长=2nRX（n/360°）
面积计算公式：
正方形面积=a2;菱形面积=对角线乘积的一半；长方形面积
=ab;圆面积=nR2;扇形面积=nR2X（n/360°）;三角形
面积=1/2ah=1/2absinC;平行四边形=ah;梯形面积=1/2
（a+b）h;正方体表面积=6a2;长方体表面积=2ab+2ac+2bc;球表面积=4nR2=nD2
体积计算公式：
正方体体积=a2;长方体体积=ab;球体积=3/4nR2;棱柱体
积=sh;圆柱体积=sh=nR2h;棱锥体积=1/3sh;圆锥体积
=1/3sh=1/3nR2h
勾股定理：
a2+b2=c2
几何特性：
1等比放缩
一个几何图形，其尺寸变为原来的m倍，贝y：
1.所有对应角度不发生改变
2.所有对应长度变为原来的m倍
3.所有对应面积变为原来的m2倍
4.所有对应体积变为原来的m3倍
2几何最值
1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。
2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。
3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大
4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小
③三角形三边关系
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
几何边端：
①植树型
1.单边线型植树公式：
棵数=总长*间隔+1;
总长=（棵数-1）x间隔
2.单边环形植树公式：
棵数=总长*间隔；
总长二棵数x间隔
3.单边楼间植树公式：
棵数
=总长+间隔-1;
总长=
=（棵数+1）x间隔
4.双边植树问题公式：
响应单边植树问题所需棵数的2倍
②方阵型（N为每边人数）
三角形方阵：
总人数=3N-3四边形方阵：
总人数=4N-4五边形方阵：
总人数=5N-5六边形方阵：
总人数=6N-6
M排N列实心方阵：
总人数=MXN,外围人数=2M+2N-4N排N列实心方阵：
总人数=NXN,外围人数=4N-4规律总结：
1.无论是方阵还是长方阵，相邻两圈的人数都满
足：
外圈比内圈多8人。
2.在方阵中，总人数=N2=（外圈人数+4+1）2
8.其他一些常用公式：
1.前n个奇数之和为n2;
2.等差数列公式：
和=（首项+末项）X项数+2=平均数
（中位数）x项数；项数=（末项-首项）+公差+1
3.等比数列公式：
an=a1Xqn-1;sn=a1X（qn-1/q-1）
4.三位数的页码公式：
页码=（数字+111）+3-仁数字+3+36
（数字代表用了多少个数字，如115，用了2个1和1个5，共3个数字）
5.四位数页码公式：
页码=（数字+1111）+4-1
6.如果所有的年不是闰年，那么N年之后星期几相当于N天
之后星期几
7.空瓶换酒型，讲M个空瓶换N瓶酒转化为（M-N）个空瓶换N
个（无瓶）酒
例：
超市规定每3个空汽水瓶可换一瓶汽水，小李有11个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水？
解析：
3空瓶=1瓶汽水=1空瓶+1汽水，可得2空瓶=1汽水，
11+2=5.5，所以最多可换5瓶汽水。
李委明老师懒人专供部分：
1.ABCAC相对效率问题
例：
小王和小刘一起手工制作一种工艺品，每个工艺品由甲
部件和乙部件组成，小王每天可制作150个甲部件，或者制
作75个乙部件，小刘每天可制作60个甲部件，或者制作24个乙部件。
现两人一起制作工艺品，10天时间最多可制造多少件工艺品？
A.660B.675C.700D.900
解析：
先列表
甲
乙
小王
150C
75A
小刘
60B
24
将表中的数字十字相乘并比较大小即：
C150X24
60IX75=150X30,显
然60X75>150X24,将相乘最大的两个数，把大数设为A,
小数设为B,A所在同一行（左边或右边）所在的数设为C,
则得公式A（B+C）/（A+C），代入可得75X210-225=70,再乘以天数10,得出700，即为答案。
2.九宫格
以下九宫格每行、每列以及两条对角线的和相同，为w
a
b
c
d
e?
f
g
h
i
关于九宫格的结论：
1正中间那个数为和的1/3，即e=1/3Xw
2d,e,f成等差数列，b,e,h,成等差数列，即2e=d+f=b+h,由此可知
两对腰之和相等
3顶点处数字为远处两腰的平均数，即i=（d+b）/2
3.分数求最大公约数和最小公倍数
分数的最小公倍数二分子的最小公倍数/分母的最大公约数
分数的最大公约数二分子的最大公约数/分母的最小公倍数
4.对角面切长方体，大边则大，小边则小。
（大小包括周长和面积）蚂蚁走路，一点走到另一对点，切割长的棱则路线短，切割短的
棱则长。
（这个较抽象，可取观看李委明老师的讲课视频理解）
5.容斥原理扩展
二多型：
参与两种的至多有多少
例：
一个班级有30（M名学生，12（A）个人会跳拉丁舞，8（B）个人会跳肚皮舞，10（C）会跳芭蕾舞，问至多有多少人会跳两种舞蹈？
1.若ABC可以构成三角形，贝恪案为（A+B+C/2
2.若ABC无法构成三角形，B+C3.若（A+B+C>2M则答案为3M-（A+B+C三少型：
参加三种的至少有多少例：
一小偷藏匿于某商场，三名保安甲乙丙分别行动搜查商场的100家商铺。
已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，贝三人都检查过的商铺至少有多少家？
公式：
（A+B+C-2M
同理四少型：
（A+B+C+D-3M
（以上公式，有不足及错误之处，敬请大家指出，谢谢
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