完整版数量关系公式.docx

1、完整版数量关系公式数量关系常用公式总结：1.行程问题基础公式：路程二速度*时间一、 相遇追及型追及问题：追及距离二（大速度-小速度）X追及时间相遇问题：相遇距离二（大速度+小速度）X相遇时间背离问题：背离距离二（大速度+小速度）X背离时间二、 环形运动型反向运动：第N次相遇路程和为N个周长，环形周长=（大速度+小速度）X相遇时间同向运动：第N次相遇路程差为N个周长，环形周长=（大速度-小速度）X相遇时间三、 流水行船型顺流路程=（船速+水速）X顺流时间逆流路程=（船速-水速）X逆流时间静水速度二（顺水速度+逆水速度）宁2水流速度二（顺水速度-逆水速度）宁2四、 扶梯上下型扶梯总长二人走的阶数X

2、 1 （ V梯V人），顺行用加法，逆行用 减法【例I】自动扶梯以匀速自下向上行驶.甲毎秒钟向上奁1级梯，乙每秒钟向上走2级悌，结果甲刃穆到达梯顶.乙20秒到达梯顶诔扶様共有拿少级？乩 40 B. 60C.S0根据公式带入O. 100S=2OX 2X (1+v - 2) s=60,所以选择B解析：设扶梯为s级，速度为v, 广 S=3OX 1X (1+V - 1)解得 e=1五、队伍行进型队头-队尾：队伍长度=(人速+队伍速度)X时间队尾T队头：队伍长度=(人速-队伍速度)X时间M3 2012-M) 一支609的从伍 W.队尾的通讯员愛与最St面的连长帳系，他用3分钟跑步追上了连长I又在从伍怵息的

3、时间氏同样的速侵跑回了肌尾，用了 2| 分24 B,如队伍和通讯员均匀連前进，则通讯员在看军时从最前面跑步回務队崔需要多故 时剛( )|几射秒 K 1井神 C I 4H秒 0 2分钟解析：假设通讯员和队伍的速度分别为 V和U,所求时间为t,则:丙00二(v-u ) X 3 解得 何=250600二v X (2+24 - 60) u=50所以选择D 一製船从人地f脱刘H也需嘤5天.而该册从B地行驶到A 地则需要？人IJ5i殳船诬、水流速度不变井具备澡流笊件，那么嗚从A地漂流剑R地需 要()天|A.40 B. 35 C 12 D. 2解析：根据公式：漂流所需时间=2 T逆T顺宁(T逆-T顺)=2X

4、 7X5+( 7-5) =35 (天)，选择 B2.排列组合问题排列：与顺序有关，用 A组合：与顺序无关，用C排列公式：Anm二n! /(n-m) ! =nx (n-1) x (n-2) x x (n-m+1)(简单记忆就是从n开始，连续乘以m个数)组 合 公 式 ： Cnm= n ! /(n-m) ! m! = n x (n-1) x (n-2) x x(n-m+1)/m x (m-1) x (m-2) x (m-3) x x 1一、 相邻问题 - 捆绑法6人排成一队，ab要排在一起： A22*A55 (先排ab，再捆在一起与剩下的 4 人一起排队)二、 不相邻 - 插空法6人排队，ab不排

5、在一起：A44*A52 (先排 除了 ab之外的4人，4 人排好后有 5 个空位，再选择其中 2 个排 ab 两人)三、 围成一圈6人围成一圈：A55 (选定6人中其中一人标定位置，其余 5人按顺 序排队)四、 几对夫妻排队4对夫妻排队：A88 (相当于8人排队)五、 夫妻要排一起4 对夫妻排队，并且夫妻要排在一起： ( A22*A22*A22*A22) *A44( 先把每对夫妻排好，再将每队夫妻捆绑在一起排队 )六、 夫妻坐在一起圆桌吃饭4 对 夫 妻 坐 在 圆 桌 上 吃 饭 ， 并 且 每 队 夫 妻 要 坐 在 一 起 ：( A22*A22*A22*A22) *A33)七、 错位排列

6、型N个封信和N个信封，每一封信都不装在自己的信封里，可能的种 数为 Dn,贝卩 D1=0, D2=1, D3=2,D4=9,D5=44八、分配插板O将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少一个，共有多少种分法？ 答：C72。（8个苹果排成一排，除两头外共有 7个空档，选择2个 空档插入）O将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少2个，共有多少种分法？ 答：C42。（8个苹果先给每个小朋友分1个，剩下5个苹果排队， 除去两头外共有4个空档，选择2个空档插入）3.牛吃草问题核心公式：y=（N-x）*T y 代表草量，N代表牛的数量,x代表草长的 速度，T代表吃完草需要的时间表格法解牛吃草问题例：一片草地（

7、草匀速生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃 10天，则这片草可供190只羊吃多少天？1905012N3N3-xT320060 102000N1N1-xT1N1*T1240100 61440N2N2-xT2N2*T2140 4560x=右两项之商 T1-T2 N1*T1-N2*T2y= (N3-x) *T3 = (N1-x) *T1= (N2-x) * T2注：题目中有牛有羊时，可将其全部转换成牛或羊；如果草场面积有区别，如M头牛吃W亩草时，N可用M/W带入，N代表单位面积上的 牛数。4.钟表冋题基本常识：时针每分钟走0.5。，分钟每分钟走6;24h 内，时针和分钟重合22次，垂直44

8、次；钟表上每两格之间为30钟表问题追及公式：T=To+（ 1/11）To,其中T为追及时间，To为静 态时间，及假设时针不动，分针和时针达到条件要求时的虚拟时间。例：时针和分针在7点多少分重合？假设时针不动，分钟需要走 35分钟才能与时针重合（7点时分钟和 时间间间隔35分钟的空格），所以To为35分钟，带入公式，T=35+35/115.余数同于问题氽数呈本恒等式披除敕=除龜商+余数余数除数广核心口诀：余同取余，和同加和， 差同减差，公倍数作周期。（1）余同：一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1,则取1, 表示为60n+1。（ 60为4,5,6的最小公倍数，可取60的任意整 倍数）（2）和

9、同：一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1,则取乙表示为60n+7。(3)差同：一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,则取3,表示为60n-3。注：n的取值范围为整数，可为负值，也可以取 0。6.容斥原理两集合标准型核心公式：满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数= 总个数-两者都不满足的个数三集合标准型核心公式：AU BU C | = | A | + | B | + | C | - | An B | - | An C -三集合整体重复型核心公式:Bn c + An Bn cW=x+y+zA+B+C= xX 1+y X 2+zX 3 A其中满足三个条件的元素数量分别为 A

10、、B、C,而至少满足三个 条件之一的元素总量为 W满足一个条件的元素数量为 x，满足 两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为 y。例：一个班级共有55个学生，暑假参加特长培训班，35人参加书法，28人参加美术，31人参加舞蹈，其中以上三种培训班都参加的有6人，则有多少人只参加一种培训班？ 22解答：W=55 z=6，A=35, B=28, C=31,代入公式_ 55=x+y+6 解得 x=2235+28+31= x X 1+y X 2+6 X 3 y=277.几何问题模块周长计算公式：正方形周长=4a;长方形周长=2(a+b);圆周长=2 n R;扇形周长=2 n RX( n/360

11、 )面积计算公式：正方形面积=a2 ;菱形面积=对角线乘积的一半；长方形面积=ab;圆面积=n R2;扇形面积=n R2X( n/360 );三角形面积=1/2ah=1/2absinC ;平行四边形 =ah ;梯形面积 =1/2(a+b) h;正方体表面积=6a2;长方体表面积=2ab+2ac+2bc ; 球表面积=4n R2=n D2体积计算公式：正方体体积=a2;长方体体积=ab;球体积=3/4 n R2;棱柱体积=sh ;圆柱体积=sh= n R2h ;棱锥体积=1/3sh ;圆锥体积= 1/3sh=1/3 n R2h勾股定理：a2+b2=c2几何特性：1等比放缩一个几何图形，其尺寸变为

12、原来的 m倍，贝y：1.所有对应角度不发生改变2.所有对应长度变为原来的 m倍3.所有对应面积变为原来的 m2倍4.所有对应体积变为原来的 m3倍2几何最值1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小 三角形三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。几何边端： 植树型1.单边线型植树公式：棵数 =总长*间隔+1 ;总长=（棵数-1 ）x间隔2.单边环形植树公式：棵数 =总长*间隔；总长二棵数x间隔3. 单边楼间植树公式：棵数=总长+间

13、隔-1 ;总长=（棵数+1）x间隔4. 双边植树问题公式：响应单边植树问题所需棵数的 2 倍 方阵型（ N 为每边人数）三角形方阵： 总人数 =3N-3 四边形方阵： 总人数 =4N-4 五边形方阵： 总人数 =5N-5 六边形方阵： 总人数 =6N-6M排N列实心方阵：总人数=MX N,外围人数=2M+2N-4 N排N列实心方阵：总人数=NX N,外围人数=4N-4 规律总结： 1. 无论是方阵还是长方阵，相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多 8 人。2.在方阵中，总人数=N2=（外圈人数+ 4+1）28.其他一些常用公式：1.前n个奇数之和为n2;2.等差数列公式：和 =（首项+末项）X项数

14、+ 2=平均数（中位数）x项数；项数 =（末项-首项）+公差+13.等比数列公式： an=a1X qn-1 ; sn=a1X （q n-1/q-1）4.三位数的页码公式： 页码=（数字+111） + 3-仁 数字+ 3+36（数字代表用了多少个数字， 如 115，用了 2 个 1 和 1 个 5 ， 共3个数字）5.四位数页码公式：页码 =（数字+1111）+ 4-16.如果所有的年不是闰年， 那么N年之后星期几相当于 N天之后星期几7.空瓶换酒型，讲M个空瓶换N瓶酒转化为（M-N）个空瓶换N个（无瓶）酒例：超市规定每 3个空汽水瓶可换一瓶汽水，小李有 11个 空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水？解

15、析：3空瓶=1瓶汽水=1空瓶+1汽水，可得2空瓶=1汽水，11 + 2=5.5，所以最多可换5瓶汽水。李委明老师懒人专供部分：1.ABCAC相对效率问题例：小王和小刘一起手工制作一种工艺品，每个工艺品由甲部件和乙部件组成，小王每天可制作 150个甲部件，或者制作75个乙部件，小刘每天可制作60个甲部件，或者制作24 个乙部件。现两人一起制作工艺品，10天时间最多可制造多 少件工艺品？A. 660 B.675 C.700 D.900解析：先列表甲乙小王150 C75 A小刘60 B24将表中的数字十字相乘并比较大小即： C150X 2460 I X 75=150 X 30,显然60X 75 15

16、0X 24,将相乘最大的两个数，把大数设为 A,小数设为B, A所在同一行(左边或右边)所在的数设为 C,则得公式 A(B+C)/(A+C)，代入可得 75X 210-225=70,再乘 以天数10,得出700，即为答案。2.九宫格以下九宫格每行、每列以及两条对角线的和相同，为 wabcde?fghi关于九宫格的结论：1正中间那个数为和的1/3，即e=1/3 X w2d,e,f成等差数列，b,e,h,成等差数列，即2e=d+f=b+h,由此可知两对腰之和相等3顶点处数字为远处两腰的平均数，即i=(d+b)/23.分数求最大公约数和最小公倍数分数的最小公倍数二分子的最小公倍数/分母的最大公约数分

17、数的最大公约数二分子的最大公约数/分母的最小公倍数4. 对角面切长方体，大边则大，小边则小。(大小包括周长和面积) 蚂蚁走路，一点走到另一对点，切割长的棱则路线短，切割短的棱则长。(这个较抽象，可取观看李委明老师的讲课视频理解)5.容斥原理扩展二多型：参与两种的至多有多少例：一个班级有30 ( M名学生，12 (A)个人会跳拉丁舞，8 (B) 个人会跳肚皮舞，10 (C)会跳芭蕾舞，问至多有多少人会跳两种舞 蹈？1.若ABC可以构成三角形，贝恪案为(A+B+C /22.若ABC无法构成三角形，B+C2M则答案为 3M- (A+B+C 三少型：参加三种的至少有多少 例：一小偷藏匿于某商场，三名保安甲乙丙分别行动搜查商场的 100 家商铺。已知甲检查过 80 家，乙检查过 70 家，丙检查过 60 家，贝 三人都检查过的商铺至少有多少家？公式：( A+B+C -2M同理四少型：( A+B+C+D -3M(以上公式，有不足及错误之处，敬请大家指出，谢谢