3.(2016·淮安模拟)已知命题p:
∃x∈R,log2(3x+1)≤0,则下列说法正确的是________.
①p是假命题;綈p:
∀x∈R,log2(3x+1)≤0;
②p是假命题;綈p:
∀x∈R,log2(3x+1)>0;
③p是真命题;綈p:
∀x∈R,log2(3x+1)≤0;
④p是真命题;綈p:
∀x∈R,log2(3x+1)>0.
答案 ②
解析 ∵3x>0,∴3x+1>1,则log2(3x+1)>0,∴p是假命题;綈p:
∀x∈R,log2(3x+1)>0.
4.已知p:
∀x∈R,x2-x+1>0,q:
∃x0∈(0,+∞),sinx0>1,则下列命题为真命题的是________.(填序号)
①p∨(綈q)②(綈p)∨q
③p∧q④(綈p)∧(綈q)
答案 ①
解析 因为x2-x+1=(x-
)2+
>0恒成立,所以命题p是真命题;∀x∈R,sinx≤1,所以命题q是假命题,所以p∨(綈q)是真命题.
5.(2016·泰州期末)若命题“∃x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是________.
答案 (2,+∞)
解析 “∃x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则其否定“∀x∈R,ax2+4x+a>0”为真命题,当a=0,4x>0不恒成立,故不成立;当a≠0时,
解得a>2,所以实数a的取值范围是(2,+∞).
6.已知命题p1:
∀x∈(0,+∞),有3x>2x,p2:
∃θ∈R,sinθ+cosθ=
,则在命题q1:
p1∨p2;q2:
p1∧p2;q3:
(綈p1)∨p2和q4:
p1∧(綈p2)中,真命题是__________.
答案 q1,q4
解析 因为y=(
)x在R上是增函数,即y=(
)x>1在(0,+∞)上恒成立,所以p1是真命题;sinθ+cosθ=
sin(θ+
)≤
,所以命题p2是假命题,綈p2是真命题,所以命题q1:
p1∨p2,q4:
p1∧(綈p2)是真命题.
7.(2107·江苏淮安中学月考)已知命题:
“∃x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”是真命题,则a的取值范围是________.
答案 [-8,+∞)
解析 由已知得,∃x∈[1,2],使a≥-x2-2x成立;若记f(x)=-x2-2x(1≤x≤2),则a≥f(x)min.而结合二次函数f(x)=-x2-2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f
(2)=-22-2×2=-8,所以a≥-8.
8.设p:
方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:
方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是__________.
答案 (-∞,-2]∪[-1,3)
解析 p:
x2+2mx+1=0有两个不相等的正根,
即m<-1.
q:
x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,
Δ=[2(m-2)]2-4(-3m+10)=4(m2-m-6)<0,
即-2<m<3.
分两种情况:
①p真q假,m≤-2;②p假q真,-1≤m<3.
综上可知,使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3).
9.下列命题中的假命题是________.(填序号)
①∀x∈R,2x-1>0②∀x∈N*,(x-1)2>0
③∃x0∈R,lgx0<1④∃x0∈R,tan
=5
答案 ②
解析 ①中,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得2x-1>0;②中,∵x∈N*,∴当x=1时,(x-1)2=0与(x-1)2>0矛盾;③中,当x0=
时,lg
=-1<1;④中,当x∈R时,tanx∈R,∴∃x0∈R,tan
=5.
10.(2016·泰州模拟)已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“∃x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则f(a+b)=________.
答案 0
解析 若“∃x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则“∀x∈(a,b),f(x)+f(-x)=0”是真命题,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则a+b=0,即f(a+b)=0.
11.下列结论:
①若命题p:
∃x0∈R,tanx0=1;命题q:
∀x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题;
②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是
=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.
其中正确结论的序号为________.
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,
所以p∧(綈q)为假命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
③正确,所以正确结论的序号为①③.
12.已知命题p:
x2+2x-3>0;命题q:
>1,若“(綈q)∧p”为真,则x的取值范围是________________.
答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)
解析 因为“(綈q)∧p”为真,即q假p真,而q为真命题时,
<0,即20,解得x>1或x<-3,由
得x≥3或1<x≤2或x<-3,
所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<-3}.
13.(2016·连云港模拟)已知命题p:
∃x0∈R,(m+1)·(x
+1)≤0,命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为____________.
答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)
解析 由命题p:
∃x0∈R,(m+1)(x
+1)≤0可得m≤-1,由命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,可得-2-1.
14.已知命题p:
“∀x∈R,∃m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命题綈p是假命题,则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,1]
解析 若綈p是假命题,则p是真命题,
即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解,
由于m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,
∴m≤1.
*15.已知函数f(x)=
(x≥2),g(x)=ax(a>1,x≥2).
(1)若∃x0∈[2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为________________;
(2)若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为________________.
答案
(1)[3,+∞)
(2)(1,
]
解析
(1)因为f(x)=
=x+
=x-1+
+1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,所以若∃x0∈[2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为[3,+∞).
(2)因为当x≥2时,f(x)≥3,g(x)≥a2,若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则
解得a∈(1,
].