最新考研数三真题及解析资料.docx
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最新考研数三真题及解析资料
在上海，随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要的商业圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。
在人民广场地下“的美”购物中心，有一家DIY自制饰品店---“碧芝自制饰品店”。
调研课题：
4、“体验化”消费
情感性手工艺品。
不少人把自制的手机挂坠作为礼物送给亲人朋友，不仅特别，还很有心思。
每逢情人节、母亲节等节假日，顾客特别多。
我们大学生没有固定的经济来源，但我们也不乏缺少潮流时尚的理念，没有哪个女生是不喜欢琳琅满目的小饰品，珠光宝气、穿金戴银便是时尚的时代早已被推出轨道，简洁、个性化的饰品成为现代时尚女性的钟爱。
因此饰品这一行总是吸引很多投资者的目光。
然而我们女生更注重的是感性消费，我们的消费欲望往往建立在潮流、时尚和产品的新颖性上，所以要想在饰品行业有立足之地，又尚未具备雄厚的资金条件的话，就有必要与传统首饰区别开来，自制饰品就是近一两年来沿海城市最新流行的一种。
在现代文化影响下，当今大学生对新鲜事物是最为敏感的群体，他们最渴望为社会主流承认又最喜欢标新立异，他们追随时尚，同时也在制造时尚。
“DIY自制饰品”已成为一种时尚的生活方式和态度。
在“DIY自制饰品”过程中实现自己的个性化追求，这在年轻的学生一代中尤为突出。
“DIY自制饰品”的形式多种多样，对于动手能力强的学生来说更受欢迎。
图1-5购物是对消费环境的要求分布
调研提纲：
服饰□学习用品□食品□休闲娱乐□小饰品□
创业首先要有“风险意识”，要能承受住风险和失败。
还要有责任感，要对公司、员工、投资者负责。
务实精神也必不可少，必须踏实做事；2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题：
1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
x
（1）
设函数f（x）在区间[1,1]上连续，则x0是函数gx（）0ftdt（）的（）
x
A跳跃间断点.B可去间断点.
C无穷间断点.D振荡间断点.
（2）
如图，曲线段方程为yfx（），函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分xf（xdx）等于（）A曲边梯形ABOD面积.
B梯形ABOD面积.
C曲边三角形ACD面积.
D三角形ACD面积.
（3）
设fxy（,）ex2y4,则函数在原点偏导数存在的情况是（）
Afx（0,0）存在,fy（0,0）存在Bfx（0,0）存在,fy（0,0）不存在
Cfx（0,0）不存在,fy（0,0）存在Dfx（0,0）不存在,fy（0,0）不存在
（4）
设函数f连续.若
fx2y2
Fuv,dxdy，
Duvxy其中区域Duv为图中阴影部分，
F
则
（）
u
2v2v
AvfuB
fuCvfuD
fuuu
（5）设A为n阶非0矩阵E为n阶单位矩阵若A3O，则（）
AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆.
CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.
12
（6）设A则在实数域上与A合同的矩阵为（）
2
1
A2
1
1
.
2
B2
1
1
.
2
C2
1
1
.
2
D1
2
2
.
1
（7）随机变量X,Y独立同分布，且X分布函数为Fx，则ZmaxXY,分布函数为
（）
AF2x.BFxFy.
C11Fx2.D1Fx1Fy.（8）随机变量XN0,1，YN1,4且相关系数XY1，则（）
APY2X11.
BPY2X11.
CPY2X11.
DPY2X11.
二、填空题：
9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数fx（）在（,）内连续，则c.
xc
æ1öx+x
（10）函数fxx1x4，求积分2fxdx
.
（11）设D（xy,）|x2y21，则（x2ydxdy）.
D
（12）微分方程xyy0,y
（1）1,求方程的特解y.
（13）
设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则4A1E.
（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PXEX2.
三、解答题：
15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）
1sinx求极限lim0x2lnx.
x
（16）（本题满分10分）设zz（xy,）是由方程x2y2zxyz所确定的函数，其中具有2阶导数且1，
（I）求dz
（II）
记uxy,x1yxzyz，求
ux.
（17）（本题满分11分）计算maxxy,1dxdy,其中D{（xy,）0x2,0y2}
D
（18）（本题满分10分）
设fx是周期为2的连续函数，
t22
（I）证明对任意实数t都有tfxdx0fxdx
xt2
（II）证明Gx02fttfsdsdt是周期为2的周期函数．
（19）（本题满分10分）
设银行存款的年利率为r0.05，并依年复利计算.某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年取出（10+9n）万元，并能按此规律一
直提取下去，问A至少应为多少万元？
（20）（本题满分12分）
设n元线性方程组Axb，其中
2a1
2
Aa2a
2a
1
2ann
x11
x20
，x，b，
xn0
（I）证明行列式An1an；
（II）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；
（III）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.
（21）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，1,2为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足
A323.
（1）证明1,2,3线性无关；
（2）令P1,2,3，求P1AP.
（22）（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为PXi
i1,0,1，Y的概率密
10y1
度为fYy，记ZXY.
0其它
1
求：
（I）PZX0；
2
（II）Z的概率密度fZ（z）．
（23）（本题满分11分）设X1,X2,,Xn是总体N（,2）的简单随机样本.记
1n
XXi，S2
1n（XiX）2，TX21S2
ni1n1i1n
（I）证明T是2的无偏估计量；（II）当0,1时，求DT.
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、选择题
（1）【答案】B
x
ftdt（）
【详解】limgx（）lim0limfxf0，
x0x0xx0
所以x0是函数g（x）的可去间断点．
（2）【答案】C
aaaa
【详解】xf（xdx）xdfx（）xfx（）a0fxdxafa（）（）fxdx（）
0000
aa其中af（a）是矩形ABOC面积，f（xdx）为曲边梯形ABOD的面积，所以xf（xdx）为
00
曲边三角形的面积．
（3）【答案】C
x204x
【详解】fx（0,0）lim
fx（,0）f（0,0）lime1lime1
x0x0x0xx0x
ex1ex1ex1ex1
limlim1，limlim1x0xx0xx0xx0x
故fx（0,0）不存在．
02y4y22
fy（0,0）limf（0,y）f（0,0）lime1lime1lim
y0
y0y0y0yy0yy0y
所以fy（0,0）存在．故选C
（4）【答案】A
fu2v2vu2u
【详解】用极坐标得Fuv,dudvdvfr（r）rdrv1frdr
（2）
01Duv
F2
所以
vfu
u
（5）【答案】C
【详解】（EAE）（AA2）EA3E，（EAE）（AA2）EA3E故EA,EA均可逆．
（6）【答案】D
12
【详解】记D，
21
122122
则ED14，又EA14
2121
所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值.又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.
（7）【答案】A
【详解】FzPZzPZmaxXY,zPXzPYzFzFzFz2
（8）【答案】D
【详解】用排除法.设YaXb，由XY1，知道X,Y正相关，得a0，排除A、C由X~N（0,1）,Y~N（1,4），得EX0,EY1,所以EY（）EaX（b）aEXba0b1,所以b1.排除B.故选择D
二、填空题
（9）【答案】1
2x,xc
【详解】由题设知c|x|0，所以fx（）x21,cxc
2x,xc
22，limfxlim22
因为limfxlim（x1）c1
xcxcxcxcxc
又因为f（x）在（,）内连续，f（x）必在xc处连续
22所以limfxlimfxfc（），即c1
c1
xcxcc
（10）【答案】
ln3
【详解】fx，令t1x，得ft2t
1xt2
2x2
xx
121
所以2fxdx2x22dx2lnx2ln6ln2
2ln3
（11）【答案】
4
【详解】（x2ydxdy）利用函数奇偶性xdxdy2
1x2ydxdy2
2
DDD
12d1rrdr2
2004
1
（12）【答案】y
x
dyy
【详解】由，两端积分得lnylnxC1，所以C，又y
（1）1，所以dxx
1
y
.x
（13）【答案】3
【详解】A的特征值为1,2,2，所以A1的特征值为1,12,12，所以4A1E的特征值为4113，41211，41211所以4A1E3113
（14）【答案】
e1
【详解】由DXEX2（EX）2，得EX2DX（EX）2，又因为X服从参数为1的泊松
2
分布，所以DXEX1，所以EX2112，所以PX21e11e1
2！
2
三、解答题
（15）【详解】
方法一：
limx0x12lnsinxxlimx0x12ln1sinxx1
sinxxcosx1sinx1
limx0x3limx03x2limx06x6
1sinxxcosxsinxxcosxsinx
方法二：
limx0x2lnx洛必达法则limx02x2sinxlimx02x3
xsinx1洛必达法则lim06x26
x
（16）【详解】（I）2xdx2ydydzxyzdxdydz
1dz2xdx2ydy
2xdx2ydy
dz11
z2xz2y
（II）由上一问可知,，
x1y1
1zz12x2y12y2x2
所以uxy,（）（）
xyxyxy11xy11
z2x
u2（12x）2（112）2（123x）2（12）3x.
所以
x1111
（17）
【详解】曲线xy1将区域分成两个区域D1和D2D3，为了便于计算继续对区域分割，最后为
maxxy,1dxdy
D
xydxdydxdydxdy
D1D2D3
1
2222
dx1dydxx1dy1dx1xydy
0002x
12ln2ln2
ln2
（18）【详解】方法一：
（I）由积分的性质知对任意的实数t，
t202t2
tfxdxtfxdx0fxdx2fxdx
t2tt0令x2u，则2fxdx0f2udu0fudutfxdx
t20202
所以tfxdxtfxdx0fxdxtfxdx0fxdx
t222
（II）由
（1）知，对任意的t有tfxdx0fxdx，记a0fxdx，则
x
Gx（）20fuduax.所以，对任意的x，
x2x
Gx
（2）Gx（）20fuduax
（2）20fuduax
x22
2xfudu2a20fudu2a0所以Gx是周期为2的周期函数.
t2方法二：
（I）设Ft（）tfxdx（），由于Ft（）ft
（2）ft（）0，所以F（t）为常数，
22从而有Ft（）F（0）.而F（0）0fxdx（），所以Ft（）0fxdx（），即
t22
tfxdx（）0fxdx（）.
t222
（II）由（I）知，对任意的t有tfxdx0fxdx，记a0fxdx，则
xx2
Gx（）20fuduax，Gx
（2）20fuduax
（2）由于对任意x，Gx
（2）2fx
（2）a2fx（）a，Gx（）2fx（）a所以Gx
（2）Gx（）0，从而Gx
（2）Gx（）是常数即有Gx
（2）Gx（）G
（2）G（0）0所以Gx是周期为2的周期函数.
（19）【详解】方法一：
设An为用于第n年提取（109）n万元的贴现值，则
An（1r）n（109）n
109n19nn
故An1Ann1（1r）n10n1（1r）nn1（1r）n2009n1（1r）n设Sx（）nxnx（1,1）
n1
nxx
因为Sx（）x（n1x）x（1x）（1x）2x（1,1）
11
所以S（）S（）420（万元）1r1.05故A20094203980（万元），即至少应存入3980万元.方法二：
设第t年取款后的余款是yt，由题意知yt满足方程
yt（10.05）yt1（109）t，即yt1.05yt1（109）t
（1）
（1）对应的齐次方程yt1.05yt10的通解为ytC（1.05）t设
（1）的通解为yt*atb，代入
（1）解得a180，b3980所以
（1）的通解为ytC（1.05）t180t3980
由y0A，yt0得AC3980C0故A至少为3980万元．
（20）【详解】（I）证法一：
2a1
证法二：
记Dn|A|，下面用数学归纳法证明Dn（n1）an．当n1时，D12a，结论成立．
2a12
当n2时，D223a，结论成立．a2a假设结论对小于n的情况成立．将Dn按第1行展开得
0
Dn2aDn1
2aa2
1
2a1
a2
1
2a
a21
2aDn1aD2n22anan1an2
（1）an2（n1）an
故|A|（n1）an证法三：
记Dn|A|，将其按第一列展开得Dn2aDn1aD2n2，
所以DnaDn1aDn1aD2n2aD（n1aDn2）
a2（Dn2aDn3）an2（D2aD1）an即DnanaDn1anaa（n1aDn2）2anaD2n2
（n2）anan2D2（n1）anan1D1
（n1）anan12a（n1）an
（II）因为方程组有唯一解，所以由AxB知A0，又A（n1）an，故a0．由克莱姆法则，将Dn的第1列换成b，得行列式为
112a1
02a1a22a1a22aa22an1
Dn1na
11
a22aa22a
（n1）（n1）
Dn1n
所以x1
Dn（n1）a
（III）方程组有无穷多解，由A0，有a0，则方程组为
01
01
x11
x20
01xn10
0xn0
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n1，所以方程组有无穷多解，其通解为k1000T0100T,k为任意常数．
（21）【详解】（I）
证法一：
假设1,2,3线性相关．因为1,2分别属于不同特征值的特征向量，故1,2线性无关，则3可由1,2线性表出，不妨设3l11l22，其中l1,l2不全为零（若l1,l2同时为0，则3为0，由A323可知20，而特征向量都是非0向量，矛盾）
A11,A22
A3232l11l22，又A3Al（11l22）l11l22
l11l222l11l22，整理得：
2l1120则1,2线性相关，矛盾.所以，1,2,3线性无关.
证法二：
设存在
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