高二数学上 72《等差数列的通项公式和前N项和》教案沪教版.docx

高二数学上 72《等差数列的通项公式和前N项和》教案沪教版.docx

《高二数学上 72《等差数列的通项公式和前N项和》教案沪教版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学上 72《等差数列的通项公式和前N项和》教案沪教版.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高二数学上72《等差数列的通项公式和前N项和》教案沪教版

2019-2020年高二数学上7.2《等差数列的通项公式和前N项和》教案沪教版

一、教学内容分析

本课是在学习等差数列的通项公式和前n项和公式后的一节练习课.在知晓公式的两种表示形式后，进一步分析公式的特征，运用公式解决一些基本问题.

二、教学目标设计

1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.从而发展分析问题、解决问题的能力.

三、教学重点及难点

熟练掌握等差数列的求和公式

灵活应用求和公式解决问题

四、教学用具准备

实物投影仪

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、情景引入

1．回忆

回忆一下上一节课所学主要内容.

1.等差数列的前项和公式：

和.

2.

是一个常数项为零的二次式.

2．思考

两个求和公式的基本特征和使用条件.

3．讨论

二、学习新课

1．基本问题简析

求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.

分析：

由2n－1＜60,得n＜.

又∵n∈N*.∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.

即集合M中一共有30个元素，可列为：

1，3，5，7，9，…，59.它们组成一个以=1,=59,n=30的等差数列.

∵=,∴==900.

故集合M中一共有30个元素，其和为900.

2．例题分析

例1.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和

分析：

满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*，n∈N}

解：

分析题意可得满足条件的数属于集合.

M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N}

由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,

∴n可取0，1，2，3，…，32.

即在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：

2，5，8，…，98.

它们可组成一个以=2,d=3,=98,n=33的等差数列.

由=,得==1650.

故在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.

例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？

分析：

若要确定其前n项求和公式，则要确定和d,由已知条件可获两个关于和的关系式，从而可求得.

解：

由题意知.

代入公式.

可得解得

.

[说明]

（1）一般来说，等差数列的求解中，就是已知这五个量中的三个量，求另外的两个量的问题.其中和d是关键的基本量.

（2）从本题还可以看来，由S10与S20可确定Sn.事实上，已知两次代入求和公式就可以求出基本量和d，因此确定.

补充练习：

一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和

解：

在等差数列中，

－,－,……,－,－组成以为首项、（其中d为原等差数列的公差）为公差的等差数列.

∴新数列的前10项和＝原数列的前100项和.

10+·D==10.解得D=－22.

∴－＝＋10×D＝－120,∴＝－110.

[说明]本题可以用等差数列前10项、前100项公式求得首项和公差，再求得前110项和.本题教师应根据自己学生的实际情况选用.

例3．已知数列是等差数列，是其前n项和，

求证：

，-，-成等差数列.

证明：

设首项是，公差为d，则

∵

.

是以36d为公差的等差数列

3．问题拓展

已知数列是等差数列，是其前n项和，

求证：

（）成等差数列.

证明：

同理可得是以（或）为公差的等差数列.

[说明]该问题是对上面例题的推广.

三、巩固练习

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：

将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：

根据题意，得=24,－=27.

则设等差数列首项为,公差为d,则

解得：

∴=2n+1.

2．两个数列1,,,……,,5和1,,,……,,5均成等差数列,公差分别是,,求与的值

解：

∵5＝1＋8,＝.又5＝1＋7,＝.

∴＝;

∵++……+＝7＝7×＝21,

++……+＝3×（1＋5）＝18.

∴＝.

3．在等差数列{}中,＝－15,公差d＝3,求数列{}的前n项和的最小值

解法1：

∵＝+3d,

∴－15＝+9,＝－24.

∴＝－24n+＝[（n－）－].

∴当|n－|最小时，最小.

即当n＝8或9时，＝＝－108最小.

解法2：

由已知解得＝－24,d＝3,＝－24＋3（n－1）.

∵由≤0得n≤9.

∴＝0.

∴当n＝8或9时，＝＝－108最小.

[说明]以上巩固练习题供教师根据学生的实际情况选用.

四、课堂小结

本节课学习了以下内容：

（1）在问题解决过程中,灵活运用通项公式和前n项和公式；

（2）是等差数列，是其前n项和，则（）仍成等差数列

五、作业布置

练习册:

P614,15,16.

补充练习:

1．一个凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.

2．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:

27，求公差d.

3．两个等差数列，它们的前n项和之比为,求这两个数列的第九项的比

4．设等差数列{}的前n项和为，已知=12，>0，<0，

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出,,,……,中哪一个最大，说明理由

补充练习参考答案

1.82.53.4.

（1）;

（2）最大

七、教学设计说明

该节课的学习过程中，要注意引导学生观察分析和把握公式的结构特点，重视公式的多样性.在解题时，注意公式的合理选择.解决等差数列的前n项和的时候，既要注意从数列方面考虑问题，又要注意到数列自身的特殊性——项的符号对数列前n项和的单调性的影响，培养学生从多角度分析问题和处理问题的习惯.

2019-2020年高二数学上7.3两条直线的位置关系

（一）优秀教案

一、教学目标

（一）知识教学点

掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．

（二）能力训练点

通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．

（三）学科渗透点

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．

二、教材分析

1．重点：

两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．

2．难点：

启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．公式的记忆与应用．

3．疑点：

对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．

三、活动设计

提问、讨论、解答．

四、教学过程

（一）特殊情况下的两直线平行与垂直

这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；

（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

（二）斜率存在时两直线的平行与垂直

设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是

l1：

　y=k1x+b1；　l2：

　y=k2x+b2．

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．

我们首先研究两条直线平行（不重合）的情形．如果l1∥l2（图1-29），那么它们的倾斜角相等：

α1=α2．

∴tgα1=tgα2．

即　k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，　0°≤α＜180°，

∴α1=α2．

∵两直线不重合，

∴l1∥l2．

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即

eq\x（）

要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

现在研究两条直线垂直的情形．

如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1（图1-30），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

可以推出　α1=90°+α2．

l1⊥l2．

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

（三）例题

例1　已知两条直线

l1：

　2x-4y+7=0，　L2：

　x-2y+5=0．

求证：

l1∥l2．

证明两直线平行，需说明两个要点：

（1）两直线斜率相等；

（2）两直线不重合．

证明：

把l1、l2的方程写成斜截式：

∴两直线不相交．

∵两直线不重合，

∴l1∥l2．

例2求过点　A（1，-4），且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．

即　2x+3y+10=　0．

解法2　因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A（1，-4）代入有m=10，故所求直线方程为

2x+3y+10=0．

例3　已知两条直线

l1：

　2x-4y+7=0，　l2：

　2x+y-5=0．

求证：

l1⊥l2．

∴l1⊥l2．

例4　求过点A（2，1），且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．

解法1　已知直线的斜率k1=-2．

∵所求直线与已知直线垂直，

根据点斜式得所求直线的方程是

就是　x-2y=0．

解法2　因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A（2，1）代入方程得m=0，所求直线的方程是

x-2y=0．

（四）两条直线的夹角

两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2（θ1+θ2=180°）．

l1到l2的角有三个要点：

始边、终边和旋转方向．

现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是

l1∶y=k1x+b1　l2∶y=k2x+b2

如果1+k1k2=0，那么θ=90°，

下面研究1+k1k2≠0的情形．

由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．

设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2（图1-32），甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角．

tgα1=k1，　tgα2=k2．

∵θ=α2-α1（图1-32），

或θ=π-（α1-α2）=π+（α2-α1），

∴tgθ=tg（α2-α1）．

或tgθ=tg[π（α2-α1）]=tg（α2-α1）．

可得

即

eq\x（）

上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．

（五）夹角公式

从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角（就是两条直线所成的角，简称夹角）就可以了，这时可以用下面的公式

（六）例题

解：

k1=-2，k2=1．

∴θ=arctg3≈71°34′．

本例题用来熟悉夹角公式．

例2　已知直线l1：

　A1x+B1y+C1=0和l2：

　A2x+B2y+C2=0（B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0），l1到l2的角是θ，求证：

证明：

设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则

这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．

例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点（-2，0）在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．

解：

先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关．

设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则

．

因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以

θ1=θ2．

tgθ2=tgθ1=-3．

解得　k3=2．

因为l3经过点（-2，0），斜率为2，写出点斜式为

y=2[x-（-2）]，

即　2x-y+4=0．

这就是直线l3的方程．

讲此例题时，一定要说明：

无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．

（四）课后小结

（1）斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；

（2）两斜率存在的直线垂直的等价条件；

（3）与已知直线平行的直线的设法；

（4）与已知直线垂直的直线的设法．

（5）l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；

（6）l1到l2的角的正切公式；

（7）l1与l2的夹角的正切公式；

（8）等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．

五、布置作业

1．7练习第1，2，3题习题三第3，10题