届高三数学第二轮复习30分的拉分题.docx

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届高三数学第二轮复习30分的拉分题

压轴专题

（一）　选择题第12题、填空题第16题的抢分策略

[全国卷3年考情分析]

年份

卷别

考查内容

命题分析

2017

卷Ⅰ

椭圆的标准方程和性质

选择题第12题、填空题第16题，一般难度较大，从近几年试题分析，这两道题主要考查函数与导数问题、创新问题、圆锥曲线的性质、数列、三角函数、立体几何等知识．大多数考生对这类题目存在畏惧心理，其实若能静下心来审读这类题目，也是完全可以得分的．一些能力欠佳的考生，会用一定的猜题技巧，极有可能猜对答案，即平常我们所说的“瞎猜的不如会猜的”．

三棱锥的体积与球的表面积公式、面面垂直的性质等

卷Ⅱ

抛物线的定义及性质、直线与抛物线的位置关系

解三角形、三角恒等变换

卷Ⅲ

函数的零点

分段函数、解不等式

2016

卷Ⅰ

函数的单调性、导数的应用

卷Ⅱ

二次函数、抽象函数的对称性

实际问题中的逻辑推理

卷Ⅲ

直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率求法

2015

卷Ⅰ

对称问题中函数解析式的求法、指数式与对数式的互化

双曲线的定义、标准方程、三角形的面积

卷Ⅱ

函数的奇偶性、对数函数的性质、复合函数的单调性

导数的几何意义及其应用

审题探寻实质

[典例]　（2016·四川高考）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′，；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身．现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；

②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；

③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；

④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．

其中的真命题是________（写出所有真命题的序号）．

[解析]　对于①，特殊值法．取A（1,1），则A′，A′的“伴随点”为点（－1，－1）．故①为假命题．

对于②，单位圆的方程为x2＋y2＝1，设其上任意一点（x，y）的“伴随点”为（x′，y′），

则

∴y2＋（－x）2＝y2＋x2＝1.故②为真命题．

③设A（x，y），B（x，－y），则它们的伴随点分别为A′，B′，A′与B′关于y轴对称，故③为真命题．

④设共线的三点A（－1,0），B（0,1），C（1,2），则它们的伴随点分别为A′（0,1），B′（1,0），C′，此三点不共线，故④为假命题．

故真命题为②③.

[答案]　②③

[题后悟通]

1．解答此题应理解“伴随点”的含义，即P（x，y）→P′，问题即可解决．

2．解答新定义问题要仔细观察，认真阅读，在彻底领悟、准确辨析的基础上，进行归纳、类比，将新定义问题转化为已有知识的问题解决．　　　　

[针对训练]

1．（2018届高三·湘中高三联考）对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围为________．

解析：

由Hn＝2n＋1，

得n·2n＋1＝a1＋2a2＋…＋2n－1an，①

则当n≥2时，（n－1）·2n＝a1＋2a2＋…＋2n－2an－1，②

①－②，得2n－1an＝n·2n＋1－（n－1）·2n，

所以an＝2n＋2，令bn＝an－kn＝（2－k）n＋2，

又Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立，所以

即解得≤k≤.

答案：

运算善用技巧

[典例]　（2016·全国卷Ⅱ）若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln（x＋1）的切线，则b＝________.

[解析]　求得（lnx＋2）′＝，[ln（x＋1）]′＝.

设曲线y＝lnx＋2上的切点为（x1，y1），曲线y＝ln（x＋1）上的切点为（x2，y2），

则k＝＝，所以x2＋1＝x1.

又y1＝lnx1＋2，y2＝ln（x2＋1）＝lnx1，

所以k＝＝2，

所以x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln2，

所以b＝y1－kx1＝2－ln2－1＝1－ln2.

[答案]　1－ln2

[题后悟通]

解答本题体现了运算技巧，在求解中，巧妙地利用斜率k得出x1＝x2＋1，利用斜率公式可求得k的值，再代入直线方程，求出b的值．解答此类问题应注意整体代换、变形代换的思想．

[针对训练]

2．（2017·郑州质检）设正实数x，y满足x>，y>1，不等式＋≥a恒成立，则a的最大值为（　　）

A．2　　　　　　　　　B．4

C．8D．16

解析：

选C　法一：

依题意得，2x－1>0，y－1>0，＋＝＋≥＋≥4×2＝8，即＋≥8，当且仅当即时，取等号，因此＋的最小值是8，即a≤8，故a的最大值是8.

法二：

令m＝2x－1，n＝y－1，

则m>0，n>0，x＝，y＝n＋1，

＋＝＋

＝＋≥＋≥2＝8，

当且仅当m＝1且n＝1，即x＝1，y＝2时取等号，

即＋≥8，

故a≤8，所以a的最大值是8.

排除简化过程

[典例]　（2017·天津高考）已知函数f（x）＝设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．[－2,2]B．[－2，2]

C．[－2,2]D．[－2，2]

[解析]　选A　法一：

作出f（x）的图象如图所示．

当y＝的图象经过点（0,2）时，可知a＝±2.

当y＝＋a的图象与y＝x＋的图象相切时，

由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，

并结合图象可得a＝2.

要使f（x）≥恒成立，

当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0，

当a＞0时，需满足a≤2，即0＜a≤2，

综上可知，－2≤a≤2.

法二：

∵f（x）≥在R上恒成立，

∴－f（x）－≤a≤f（x）－在R上恒成立．

①令g（x）＝－f（x）－.

当0≤x＜1时，f（x）＝x＋2，

g（x）＝－x－2－＝－x－2≤－2，

即g（x）max＝－2.

当x＜0时，f（x）＝－x＋2，g（x）＝x－2－＝－2，

即g（x）＜－2.

当x≥1时，

f（x）＝x＋，g（x）＝－x－－＝－x－≤－2，

即g（x）max＝－2.

∴a≥－2.

②令h（x）＝f（x）－.

当0≤x＜1时，

f（x）＝x＋2，h（x）＝x＋2－＝＋2≥2，

即h（x）min＝2.

当x＜0时，

f（x）＝－x＋2，h（x）＝－x＋2－＝－x＋2＞2，

即h（x）＞2.

当x≥1时，

f（x）＝x＋，h（x）＝x＋－＝＋≥2，

即h（x）min＝2.

∴a≤2.

综上可知，－2≤a≤2.

法三：

若a＝2，则当x＝0时，f（0）＝2，

而＝2，不等式不成立，故排除选项C，D.

若a＝－2，则当x＝0时，f（0）＝2，而＝2，不等式不成立，故排除选项B.故选A.

[题后悟通]

此题直接求解难度较大，但也有一定的技巧可取，通过比较四个选项，只需判断a＝2，－2是否满足条件即可，这种策略在做选择题时经常用到．　　　　

[针对训练]

3．（2017·东北四市高考模拟）已知函数f（x）＝，若对∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选C　f（x）＝＝1＋，

令t＝cosx＋2，由于－1≤cosx≤1，因此1≤t≤3，

设g（t）＝1＋（1≤t≤3）．

法一：

若对∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，不妨设af（c）恒成立，故只需2f（x）min>f（x）max即可，即2g（t）min>g（t）max.当m＝2时，f（a）＝f（b）＝f（c）＝1，成立，故m＝2符合题意；当m<2时，g（t）＝1＋在[1,3]上单调递增，则解得2时，g（t）＝1＋在[1,3]上单调递减，则解得2

法二：

令m＝5，则g（t）＝1＋（1≤t≤3），∴2≤g（t）≤4.取f（a）＝f（b）＝2，f（c）＝4.不合题意，排除A、B；取m＝，则g（t）＝1－（1≤t≤3），∴≤g（t）≤，取f（a）＝，f（b）＝，f（c）＝，不合题意，排除D，故选C.

破解巧取特殊

[典例]　（2016·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y＝与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi＋yi）＝（　　）

A．0B．m

C．2mD．4m

[解析]　法一：

因为f（－x）＝2－f（x），所以f（－x）＋f（x）＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0,1）对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点（0,1）对称．所以函数y＝与y＝f（x）图象的交点（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym）成对出现，且每一对均关于点（0,1）对称，所以i＝0，i＝2×＝m，所以（xi＋yi）＝m.

法二：

因为f（－x）＝2－f（x），所以f（－x）＋f（x）＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0,1）对称．可设y＝f（x）＝x＋1，由得交点（－1,0），（1,2），则x1＋y1＋x2＋y2＝2，结合选项，应选B.

[答案]　B

[题后悟通]

1．解答此题的思路是由条件f（－x）＝2－f（x）知y＝f（x）的图象关于点（0,1）对称，从而构造特殊函数y＝x＋1，解出与y＝的交点坐标，代入、验证．

2．处理此类问题经常根据题中所给出的条件巧妙选择特殊函数、特殊图形、特殊位置等进行求解．　　　　

[针对训练]

4．（2017·沈阳质检）已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值是（　　）

A．－B.

C．－D.

解析：

选A　法一：

令点P（x0，y0），因为该双曲线的渐近线分别是－y＝0，＋y＝0，所以可取|PA|＝，|PB|＝，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos＝－，所以·＝||·||·cos∠APB＝·＝×＝－.

法二：

如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，

∴∠AOB＝60°，

∴∠APB＝120°，

∴·<0.

取P点为双曲线右顶点．

则|PA|＝|PB|＝|OP|＝，

∴·＝－.

一、选择题

1．设a1，a2，a3，…，an∈R，n≥3.若p：

a1，a2，a3，…，an成等比数列；q：

（a＋a＋…＋a）（a＋a＋…＋a）＝（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2，则（　　）

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析：

选A　（特殊数列）取大家最熟悉的等比数列an＝2n，代入q命题（不妨取n＝3）满足，再取an＝3n代入q命题（不妨取n＝3）也满足，反之取a1＝a2＝a3＝…＝an＝0时，满足q命题，但不满足p命题，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件．

2．（2017·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a＝（　　）

A．－　　　　　　　　　　B．

C．D．1

解析：

选C　法一：

由f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），得f（2－x）＝（2－x）2－2（2－x）＋a[e2－x－1＋e－（2－x）＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a（e1－x＋ex－1）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），所以f（2－x）＝f（x），即x＝1为f（x）图象的对称轴．由题意，f（x）有唯一零点，所以f（x）的零点只能为x＝1，即f

（1）＝12－2×1＋a（e1－1＋e－1＋1）＝0，解得a＝.

法二：

由f（x）＝0⇔a（ex－1＋e－x＋1）＝－x2＋2x.

ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．

－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．

若a>0，则a（ex－1＋e－x＋1）≥2a，

要使f（x）有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.

若a≤0，则f（x）的零点不唯一．

综上所述，a＝.

3．已知函数f（x）在（－1，＋∞）上单调，且函数y＝f（x－2）的图象关于直线x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），则数列{an}的前100项的和为（　　）

A．－200B．－100

C．0D．－50

解析：

选B　因为函数y＝f（x－2）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的图象关于直线x＝－1对称．又函数f（x）在（－1，＋∞）上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50（a50＋a51）＝－100.

4．（2017·贵州适应性考试）已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|，当m取最大值时，|PA|的值为（　　）

A．1B．

C.D．2

解析：

选D　设P（x，y），由抛物线的定义知|PF|＝y＋1，|PA|＝，所以m＝，平方得m2＝，又x2＝4y，当y＝0时，m＝1，当y≠0时，m2＝＝＋1＝1＋，由基本不等式可知y＋≥2，当且仅当y＝1时取等号，此时m取得最大值，故|PA|＝＝2.

5．对任意实数a，b，c，d，定义＝

已知函数f（x）＝，直线l：

kx－y＋3－2k＝0，若直线l与函数f（x）的图象有两个交点，则实数k的取值范围是（　　）

A.∪B.

C.∪D．（－1,1）

解析：

选A　由题意知，

f（x）＝＝

直线l：

y＝k（x－2）＋3过定点A（2，3），画出函数f（x）的图象，如图所示，其中f（x）＝（x≤－2或x≥2）的图象为双曲线的上半部分，f（x）＝（－2

6．（2016·浙江高考）已知实数a，b，c，（　　）

A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100

B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100

C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100

D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100

解析：

选D　对于A，取a＝b＝10，c＝－110，

显然|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1成立，

但a2＋b2＋c2＞100，即a2＋b2＋c2＜100不成立．

对于B，取a2＝10，b＝－10，c＝0，

显然|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1成立，

但a2＋b2＋c2＝110，即a2＋b2＋c2＜100不成立．

对于C，取a＝10，b＝－10，c＝0，

显然|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1成立，

但a2＋b2＋c2＝200，即a2＋b2＋c2＜100不成立．

综上知，A、B、C均不成立，所以选D.

7．（2017·郑州质检）已知函数f（x）＝.若当x>0时，函数f（x）的图象恒在直线y＝kx的下方，则k的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　由题意，当x>0时，f（x）＝0.又f′（x）＝，由切线的几何意义知，要使f（x）

8．设D，E分别为线段AB，AC的中点，且BE―→·＝0，记α为与的夹角，则下述判断正确的是（　　）

A．cosα的最小值为

B．cosα的最小值为

C．sin的最小值为

D．sin的最小值为

解析：

选D　依题意得＝（＋）＝[－＋（－）]＝（－2），BE―→＝（＋）＝[－＋（－）]＝（－2）．由·BE―→＝0，得（－2）·（－2）＝0，即－22－22＋5·＝0，整理得，||2＋||2＝||·||cosα≥2||·||，所以cosα≥，sin－2α＝cos2α＝2cos2α－1≥2×2－1＝，所以sin－2α的最小值是.

9．（2017·石家庄质检）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（　　）

解析：

选A　如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD.

设AB＝BD＝CD＝1，

则＝＝，即PQ＝，

又＝＝＝，所以QR＝，

所以PR＝＝

＝，

所以f（x）＝＝，结合图象知选A.

10．过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b（a，b∈R），则以下说法正确的是（　　）

A．点P（a，b）一定在单位圆内

B．点P（a，b）一定在单位圆上

C．点P（a，b）一定在单位圆外

D．当且仅当ab＝0时，点P（a，b）在单位圆上

解析：

选B　使用特殊值法求解．设A（1,0），B（0，－1），则＝a＋b＝（a，－b）．∵C在圆上，

∴a2＋b2＝1，∴点P（a，b）在单位圆上，故选B.

二、填空题

1．已知函数f（x）＝当1

解析：

当10，解得0，0,2

答案：

4

2．（2015·全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．

解析：

（特殊图形）如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在△BCE中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝30°，BC＝2，由正弦定理可得＝，即＝，解得BE＝＋，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝30°，由正弦定理知，＝，即＝，解得BF＝－，所以AB的取值范围是（－，＋）．

答案：

（－，＋）

3．设0

解析：

由题可知，k的最大值即为＋的最小值．因为＋＝[2m＋（1－2m）]＝3＋＋≥3＋2，取等号的条件是当且仅当1－2m＝m，即m＝1－∈时成立，所以k的最大值为3＋2.故所求实数k的取值范围是（－∞，3＋2]．

答案：

（－∞，3＋2]

4．设函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.

解析：

∵f＝2，f＝0，

∴－＝（2m＋1），m∈N，

∴T＝，m∈N，

∵f（x）的最小正周期大于2π，∴T＝3π，

∴ω＝＝，∴f（x）＝2sin.

由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.

又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.

答案：

5．已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝a·b＝3，若（c－2a）·（2b－3c）＝0,则|b－c|的最大值是________．

解析：

设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ，

∴cosθ＝＝＝，

∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

设＝a，＝b，c＝（x，y），建立如图所示的平面直角坐标系．

则A（1,1），B（3,0），

∴c－2a＝（x－2，y－2），2b－3c＝（6－3x，－3y），

∵（c－2a）·（2b－3c）＝0，

∴（x－2）（6－3x）＋（y－2）（－3y）＝0.

即（x－2）2＋（y－1）2＝1.

又知b－c＝（3－x，－y），

∴|b－c|＝≤＋1＝＋1，

即|b－c|的最大值为＋1.

答案：

＋1

6．等腰△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的中线，且BD＝3，则△ABC的面积的最大值为________．

解析：

设AD＝x，则AB＝AC＝2x，

因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

所以AB＋AD>BD，即2x＋x>3，x>1，AB－AD

在△ABD中，由余弦定理得

9＝（2x）2＋x2－2·2x·xcosA，即cosA＝，

S△ABC＝2S△ABD＝2××2x×x×sinA

＝2x2＝，

令t＝x2，则t∈（1,9），S△ABC＝，当t＝5，即x＝时，S△ABC有最大值6.

答案：

6

7．对于函数f（x）与g（x），若存在λ∈{x∈R|f（x）＝0}，μ∈{x∈R|g（x）＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f（x）与g（x）互为“零点密切函数”，现已知函数f（x）＝ex－2＋x－3与g（x）＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________．

解析：

易知函数f（x）为增函数，且f

（2）＝e2－2＋2－3＝0，所以函数f（x）＝ex－2＋x－3只有一个零点x＝2，则取λ＝2，由|2－μ|≤1，知1≤μ≤3.由f（x）与g（x）互为“零点密切函数”知函数g（x）＝x2－ax－x＋4在区间[1,3]内有零点，即方程x2－ax－x＋4＝0在[1,3]内有解，所以a＝x＋－1，而函数y＝x＋－1在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以当x＝2时，a取最小值3，且当x＝1时，a＝4，当x＝3时，a＝，所以amax＝4，所以实数a的取值范围是[3,4]．

答案：

[3,4]

8．对于数列{an}，定义{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an（n∈N*）．对正整数k，规定{Δkan}为数列{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ（Δk－1an）．若数列{Δ2an}的各项均为2，且满足a11＝a2015＝0，则a1的值为________．

解析：

因为数列{Δ2an}的各项均为2，即Δan＋1－Δan＝2，所以Δan＝Δa1＋2n－2，即an＋1－an＝Δa1＋2n－2，

所以an－a1＝（n－1）Δa1＋（0＋2＋4＋…＋2n－4）

＝（n－1）Δa1＋（n－1）（n－2）（n≥2），

所以

即

解得a1＝20140.

答案：

20140

9．已知圆O：

x2＋y2＝1和点A（－2,0），若定点B（b,0）（b≠－2）和常数λ满足：

对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则b＝________；λ＝________.

解析：

法一：

（三角换元）在圆O上任意取一点M（c