届高考数学三角函数三角变换解三角形平面向量备考复习教案.docx

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届高考数学三角函数三角变换解三角形平面向量备考复习教案

2012届高考数学三角函数、三角变换、解三角形、平面向量备考复习教案

专题二：

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

【备考策略】

根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：

1．掌握三角函数的概念、图象与性质；熟练掌握同角公式、诱导公式、和角与差角、二倍角公式，且会推导掌握它们之间的内在联系。

掌握正弦、余弦定理，平面向量及有关的概念，向量的数量积以及坐标形式的运算。

2．熟练掌握解决以下问题的思想方法

本专题试题以选择题、填空题、解答题的形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊方法，如数形结合法、函数法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等。

另外对有些具体问题还要掌握和运用一些基本结论（如对正弦、余弦函数的图象的对称轴经过最高点或最低点，对称中心为三角函数值为零的点，应熟练的写出对称轴的方程及对称中心的坐标；应用三角函数线解三角方程、比较三角函数值的大小；对三角函数的角的限制及讨论；常数1的代换等）。

3．特别关注

（1）与三角函数的图象与性质有关的选择、填空题；

（2）向量、解三角形以及三角函数的图象与性质等知识交汇点命题；

（3）与测量、距离、角度有关的解三角形问题。

第一讲三角函数的图象与性质

【最新考纲透析】

1．了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。

2．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

3．能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出=sinx，=sx，=tanx的图象，了解三角函数的周期性。

4．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，]的性质（如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间的单调性。

．理解同角三角函数的基本关系式：

sin2x+s2x=1,sinx/sx=tanx

6．了解函数=Asin（ωx+φ）的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响。

7．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

【核心要点突破】

要点考向1：

三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用

考情聚焦：

1．三角函数的定义、同角三角函数的关系及诱导公式的简单应用，在近几年高考中时常出现。

2．该类问题出题背景选择面广，易形成知识交汇题。

3．多以选择题、填空题的形式出现，属于中、低档题。

考向链接：

1．三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值。

2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条。

例1：

（2010届•日照五一中高三段检）如图，以x为始边作角α与β（），它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（，）

（1）求的值；

（2）若•，求。

解：

（1）由三角函数定义得，

∴原式

•（）=

（2）•，∴

∴，∴

要点考向2：

函数=Asin（ωx+φ）的解析式、图象问题

考情聚焦：

1．三角函数=Asin（ωx+φ）的图象与解析式的问题，年看都会在高考中出现。

2．试题背景大多是给出图象或解析式中某些量满足的一些条下，求解析式或另处一些量。

多数考查周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换。

3．三种题型都有可能出现，属于中、低档题。

考向链接：

1．已知图象求函数=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的方法是待定系数法。

由图中的最大、最小值求出A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标确定φ的值。

2．将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点。

“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为，其他依次类推即可。

例2：

已知是实数，则函数的图象不可能是（）【解析】选D对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，

它的振幅大于1，但周期反而大于了．

要点考向3：

与三角函数的性质有关的问题

考情聚焦：

1．有关三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值问题在历年高考中都会考查，是高考考查的重点内容。

2．试题背景呈现多样性、选择面广，往往与三角恒等变换、图象性质、平面向量等交汇命题。

3．三种题型都有可能出现，属中、低档题。

例3：

已知函数

⑴求的最小正周期及对称中心；

⑵若，求的最大值和最小值

【解析】⑴

∴的最小正周期为，

令，则，

∴的对称中心为；

⑵∵∴∴∴

∴当时，的最小值为；当时，的最大值为

【高考真题探究】

1．（2010•陕西高考理科•Ｔ3）对于函数，下列选项中正确的是（）

（A）在（，）上是递增的（B）的图像关于原点对称

（）的最小正周期为2（D）的最大值为2

【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本性质，属保分题。

【思路点拨】是奇函数B

【规范解答】选B因为，所以是奇函数，因而的图像关于原点对称，故选B

2．（2010•全国卷Ⅰ理科•Ｔ2）记,那么

AB-D-

【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，着重考查了三角变换中的弦切互化

【思路点拨】由及求出，再利用公式

求出的值

【规范解答】选B【解析1】,

所以

【解析2】，

3．（2010•重庆高考科•Ｔ１）如题

（1）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在上）且半径相等。

设第i段弧所对的圆心角为（i=1,2,3），则

【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识，考查三角函数的基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想

【思路点拨】第i段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角，再根据三个圆心确定的正三角形求解

【规范解答】作三段圆弧的连心线，连结一段弧的两个端点，如图所示,△是正三角形，点P是其中心，根据圆的有关性质可知，第i段弧所对的圆心角为都是，

所以【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快捷解答

4．（2010•福建高考科•Ｔ１0）将函数的图像向左平移个单位。

若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（）

A4B68D12

【命题立意】本题考查三角函数的图像平移，解三角方程。

【思路点拨】先进行平移后，再比较与原函数的差异，解三角方程，或采用代入法求解。

【规范解答】选B，把向左平移个单位得，

又该函数图像与原函数图像重合，所以恒成立，，，所以不可能为6。

【方法技巧】注意应把变为而非。

图像的变换问题，依据三角函数的图像的变换口诀“左加右减，上加下减”即可解决。

一般地，函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左（当＞0时）或向右（当＜0时）平行移动个单位长度而得到。

．（2010•广东高考科•Ｔ16）设函数，，，

且以为最小正周期．

（1）求；

（2）求的解析式；

（3）已知，求的值．

【命题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换

【思路点拨】

（2）由已知条求出，从而求出的解析式；

（3）由

【规范解答】

（1）

（2），，所以的解析式为：

（3）由得，即

，

【方法技巧】三角函数的性质问题，往往都要先化成的形式再求解

6．（2010•湖北高考科•Ｔ16）已经函数（Ⅰ）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变化得出？

（Ⅱ）求函数的最小值，并求使取得最小值的的集合。

【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值，同时考查考生的运算求解能力．

【思路点拨】（Ⅰ）先将函数解析式等价变形为的形式，再与的表达式对照，比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程。

（Ⅱ）将函数变形为或的形式再利用正、余弦函数的图象和性质求出最值。

【规范解答】（Ⅰ），所以要得到的图象只需把的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可。

（Ⅱ），

当且仅当时取得最小值，此时对应的的集合为。

【方法技巧】1、三角函数中的图象变换问题一般要先将表达式化简到或的形式（两函数所用三角函数要同名），然后再通过比较两函数的振幅、周期、相位等写出变化过程。

2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等化到或的形式，然后结合三角函数的图像和性质求解。

【跟踪模拟训练】

一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）

1已知△AB中，，则（）

（A）（B）（）（D）

2下列关系式中正确的是（）

A．B．

．D．

3已知，那么角是（　　）

Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角

Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角

4．已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图象（）

（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位

（）向左平移个单位（D）向右平移个单位

．若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点（，0）对称，则的最小值是（）

A．B．．D．

6．已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（）

（A）（B）

（）（D）

二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）

7．若，则

8．（2010•苏、锡、常、镇四市高三调研）函数的最小正周期为．

9．函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则=

三、解答题（10、11题每小题1分，12题16分，总分46分）

10．（本小题满分12分）

已知向量与互相垂直，其中．

（1）求和的值；

（2）若，求的值

11．（2010•广州高三六校联考）

已知函数的部分图象如图所示

（1）求函数的解析式；

（2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由

12．已知向量

（1）若求x的值；

（2）函数，若恒成立，求实数的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．【解析】选D由知A为钝角，sA<0排除A和B，再由选D

2．【解析】选因为，由于正弦函数在区间上为递增函数，因此，即

3．【解析】选

4．【解析】选方法1：

方法2：

故选。

．【解析】选A将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为

，

由

令

6．【解析】选，由题设的周期为，∴，

由得，，故选

二、填空题

7．【解析】由题意可知在第三象限，∴，

答案：

8．答案：

9．【解析】因为，，所以

答案：

3

三、解答题

10．【解析】

（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴

（2）∵，，∴，

∴，

∴

11．【解析】

（1）由图象知

的最小正周期,故

将点代入的解析式得,又,∴

故函数的解析式为

（2）

，

故为偶函数

12．解析：

（1）

由因此

（2）则恒成立，得

【备资】