三角函数与平面向量解三角形.docx

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三角函数与平面向量解三角形

三角函数与平面向量、解三角形

时间：

120分钟　满分：

150分

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（导学号：

05856017）（2017·九江调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则A等于（　　）

A.B.C.D.

2．（导学号：

05856018）（2017·新余联考）已知两个平面向量a、b的夹角为π，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|等于（　　）

A.B．1C．2D．2

3．（2017·遵义质检）“sinx＞”是“＜x＜”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（导学号：

05856019）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则为（　　）

A.B．－C．2D．－2

5．（导学号：

05856020）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin（A－C）＝2cosAsinC，则b＝（　　）

A．6B．4C．2D．1

6．（导学号：

05856021）如图，在平行四边形ABCD中，＝（1,2），＝（－3,2），则·等于（　　）

A．1

B．3

C．5

D．6

7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cosA＝，且b＜c，则b＝（　　）

A.B．2C．2D．3

8．（导学号：

05856022）（2017·湖州摸底考试）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）的部分图象如图，当x∈[0，]时，满足f（x）＝1的

x的值为（　　）

A.B.

C.D.

9．（导学号：

05856023）已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6，平面内一点M满足＝－，则·等于（　　）

A．－9B．－18C．12D．18

10．（导学号：

05856024）（2017·青岛二模）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝－为f（x）的一个零点，x＝为y＝f（x）图像的一条对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（　　）

A．11B．9C．7D．5

11．（导学号：

05856025）（2017·清远调研）将函数y＝sin（6x＋）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平行移动个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是（　　）

A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）

12．（导学号：

05856026）（2017·咸宁质检）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则下列结论正确的是（　　）

A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形

D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（导学号：

05856027）（2017·恩施联考）若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA＝________.

14．对于函数f（x）＝asinx＋bx＋1（a，b∈R），已知f

（1）＝3，则f（－1）＝________.

15．已知△ABC外接圆O的半径为2，且＋＝2，||＝||，则·＝__________.

16．（2017·达州二模）△ABC中，A＝30°，BC＝1，则AC－AB的取值范围是__________．

三、解答题：

本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

（2017·龙岩联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，bsinC－csinB＝a.

（1）求B的值；

（2）若a＝，求b的值．

18.（本小题满分12分）

（2017·通化联考）已知平面向量a，b，c，其中a＝（3,4）．

（1）若c为单位向量，且a∥c，求c的坐标；

（2）若|b|＝且a－2b与2a－b垂直，求向量a，b夹角的余弦值．

19.（导学号：

05856028）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.

（1）证明：

A＝2B；

（2）若cosB＝，求cosC的值．

20.（导学号：

05856029）（本小题满分12分）

已知f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0）的部分图象如图所示．

（1）求ω的值；

（2）若x∈（－，），求f（x）的值域；

（3）若方程3[f（x）]2－f（x）＋m＝0在x∈（－，）内有解，求实数m的取值范围．

21.（导学号：

05856030）（本小题满分12分）

（2017·泸州调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.

（1）若a＝2，b＝，求cosC的值；

（2）若sinAcos2＋sinB·cos2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．

22.（导学号：

05856033）（本小题满分12分）

（2017·雅安质检）如图，某市效外景区内一条笔直的公路经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向且距A8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km，AD＞BD.

（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；

（2）求∠ACD的正弦值．

专题二　三角函数与

平面向量、解三角形

1.A　由＝得b2＋c2－a2＝bc，cosA＝＝，A＝.

2．A　|a－b|＝＝＝.

3．B

4．A　tanθ＝2，∴＝＝＝.

5．C　由题意得sinAcosC－cosAsinC＝2cosAsinC，即sinAcosC＝3cosAsinC，由正余弦定理，得a·＝3c·，整理，

得2（a2－c2）＝b2……①，又a2－c2＝b……②，联立①②得b＝2，故选C.

6．B　令＝a，＝b，则⇒a＝（2,0），b＝（－1,2），∴·＝b·（1,2）＝3.

7．B　由余弦定理得：

a2＝b2＋c2－2bccosA，所以22＝b2＋

（2）2－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，解得：

b＝2或b＝4，因为b＜c，所以b＝2.

8．D

9．B　因为·＝－·＝·（－）＝·－·＝×6×6×cos120°－×6×6×cos60°＝－18.

10．B　因为x＝－为f（x）的零点，x＝为f（x）图象的对称轴，所以－（－）＝＋kT，即＝·T＝·，所以ω＝4k＋1（k∈N*），又因为f（x）在（，）单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此ω的最大值为9，故选B.

11．A　变换后函数为y＝sin2x，故选A.

12．D　正弦值不可能为负值，故B、C错；取A1＝65°，B1＝70°，C1＝45°，则A2＝25°，B2＝20°，C2＝135°，故A错．

13.　sin2A＝2sinAcosA＝，且A是△ABC的内角，所以0＜2A＜π，

所以0＜A＜，（sinA＋cosA）2＝1＋2sinAcosA＝1＋＝，sinA＋cosA＝＝.

14．－1　F（x）＝f（x）－1＝asinx＋bx为奇函数，故F（－1）＝－F

（1）＝1－f

（1）＝－2.

15．12　由＋＝2可得＋＝0时，即＝，故圆心在BC上且AB⊥AC，

注意到||＝||＝2，故B＝，C＝，BC＝4，AC＝2，·＝||·||cos＝

2×4×＝12.

16．（－1,2]　AC－AB＝2sinB－2sinC

＝－2sinC＋2sin（150°－C）

＝－2sinC＋cosC＋3sinC＝sinC＋cosC

＝2sin（C＋60°）．

∵C∈（0°，150°），∴C＋60°∈（60°，210°），

∴sin（C＋60°）∈（－，1]，

∴AC－AB∈（－1,2]．

17．

（1）∵bsinC－csinB＝a，由正弦定理得

sinBsinC－sinCsinB＝sinA，

整理得sin（B－C）＝sinA，

又∵B，C∈（0，π），∴B－C＝A，

∵A＝，∴B＝，C＝.6分

（2）由a＝，A＝，得b＝＝＝2.10分

18．

（1）设c＝（x，y），由a∥c和|c|＝1可得：

∴或，

∴c＝（，）或c＝（－，－）.6分

（2）∵（a－2b）·（2a－b）＝0，即2|a|2－5a·b＋2|b|2＝0，

又|a|＝5，|b|＝，∴a·b＝12，

∴向量a，b夹角的余弦值cos＝＝.12分

19．

（1）由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，

2sinAcosB＝sinB＋sin（A＋B）＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，

于是，sinB＝sin（A－B），又A，B∈（0，π），故0＜A－B＜π，

所以B＝π－（A－B）或B＝A－B，

因此，A＝π（舍去）或A＝2B，所以A＝2B.6分

（2）由cosB＝，得sinB＝，cos2B＝2cos2B－1＝－，故cosA＝－，sinA＝，

cosC＝－cos（A＋B）＝－cosAcosB＋sinAsinB＝.12分

20．

（1）f（x）＝sin（ωx＋），∵T＝＝4（－），∴ω＝1.4分

（2）由

（1）知f（x）＝sin（x＋），∵－＜x＜，∴0＜x＋＜π，

∴0＜sin（x＋）≤1，∴f（x）的值域为（0,1].8分

（3）令f（x）＝t，则m＝－3t2＋t，t∈（0,1]，

当t＝时，m最大为；当t＝1时，m最小为－2，∴－2≤m≤.12分

21．

（1）由题意可知c＝8－（a＋b）＝.

由余弦定理得cosC＝

＝＝－.4分

（2）由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，可得

sinA·＋sinB·＝2sinC，

化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.

因为sinAcosB＋sinBcosA＝sin（A＋B）＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.

由正弦定理可知a＋b＝3c.又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.

由于S＝absinC＝sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.12分

22．

（1）△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8km，AB＝5km，设DB＝xkm.

则由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.

∵4＋3＞8，舍去，∴x＝4－3，∴这条公路长为（4－3）km.5分

（2）在△ADB中，＝，

∴sin∠DAB＝＝，

∴cos∠DAB＝.在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，

cos105°＝cos（60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝，

sin105°＝sin（60°＋45°）＝，

∴sin∠ACD＝sin[180°－（∠DAC＋105°）]

＝sin（∠DAC＋105°）

＝sin∠DAC·cos105°＋cos∠DAC·sin105°

＝×＋×＝.12分