常微分方程简明教程王玉文等编习题解答.docx

常微分方程简明教程王玉文等编习题解答.docx

《常微分方程简明教程王玉文等编习题解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程简明教程王玉文等编习题解答.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

常微分方程简明教程王玉文等编习题解答

第3章二阶线性常系数微分方程

1.考虑两个参数的线性方程组

若

分别是鞍点、汇、源，试在平面上确定出相应的区域。

解：

方程的特征方程为

.解得特征根为

。

需分类讨论：

（I）当

时，知

。

（i）当

，即

时，

是汇。

（ii）当

，即

时，

是鞍点。

（ii）当

，即

时，

是源。

（II）当

时，知

。

（i）当

，即

时，

是汇。

（ii）当

，即

时，

是鞍点。

（ii）当

，即

时，

是源。

图3-1

2.求解下列给定二阶微分方程的通解:

（1）

解：

方程的特征方程为

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

得

由此得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

（2）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

，得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

（3）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

（4）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

，得

由此得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

（5）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

，得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

（6）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

，得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

3.求解下列初值问题:

（1）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

，得

由此得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

由已知初值条件，则有

由此得

则原方程满足初值条件的特解为

。

（2）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

，得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

由已知初值条件，则有

由此得

则原方程满足初值条件的特解为

。

（3）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

，得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

由已知初值条件，则有

由此得

则原方程满足初值条件的特解为

。

（4）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

，得

由此得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

由已知初值条件，则有

由此得

则原方程满足初值条件的特解为

。

（5）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

，得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

由已知初值条件，则有

由此得

则原方程满足初值条件的特解为

。

（6）

解：

特征方程：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

设

为常数，使得

。

将上式两端求导得

。

令

，得

。

因此，

与

线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为

。

由已知初值条件，则有

由此得

则原方程满足初值条件的特解为

。

4.考虑简谐振动模型

，

考虑当b变化时。

轨线趋于原点速度的变化。

解：

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

。

下面分几种情况讨论。

2

（1）当

时，特征值为正实数或者为实部为大于零的复数，可知解的轨线远离原点。

（2）当

时，特征值为

，方程的通解为

，

轨线为以圆点为中心的圆。

（3）当

时，特征值为

，令

，

，特征值为

，则方程的通解为

。

令

，

，则

。

解的周期为

，其振幅随时间的增长逐渐减少。

此时，简谐振的为小阻尼振动，平衡点

为螺旋汇。

（4）当

时，特征值

，方程的通解为

。

此时，简谐振动为临界阻尼振动，轨线趋向原点并与特征向量所在直线相切，平衡点

为临界汇，不会产生振动现象。

（5）当

时，特征值为

，方程的通解为

。

此时，简谐振动为大阻尼的振动，平衡点

为汇，不会产生振动现象。

5.求下列二阶常系数微分方程的通解.

（1）

解：

先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解并且线性无关。

则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，齐次方程方程的通解为

。

设非齐次方程的的一个特解为

，由于原方程右端为幂函数，则取

，代入方程后比较系数得

，则求得

。

则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为

（2）

解：

先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。

设非齐次方程的的一个特解为

，由于原方程右端为幂函数，令

，代入方程后比较系数得

，则求得

。

则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为

。

（3）

解：

先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。

设非齐次方程的的一个特解为

，由于原方程右端函数包括

，而且2是二重根，则令

，代入方程后比较系数得

，则求得

。

则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为

。

（4）

解：

先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。

设非齐次方程的的一个特解为

，由于原方程右端函数包括

，而且-3是二重根，则令

，代入方程后比较系数得

，则求得

。

则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为

。

6.求下列二阶常系数微分方程的通解.

（1）

解：

先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。

设非齐次方程的的一个特解为

，由于原方程右端包括

，则取

，代入方程后比较系数得

，则求得

。

则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为

（2）

解：

先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。

设非齐次方程的的一个特解为

，由于原方程包括

，令

，代入方程后比较系数得

则求得

。

则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为

。

（2）

解：

先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。

下求非齐次方程的的一个特解为

，由于原方程包括

，考虑右边函数为

时，令

，代入方程后比较系数得

则求得

，对应的实部函数

为非齐次方程的一个特解。

则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为

。

（4）

解：

先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。

下求设非齐次方程的的一个特解为

，由于原方程包括

，考虑右边函数为

时，由于

为二重特征根，则令

，代入方程后比较系数得

，则求得

，对应的虚部函数

为非齐次方程的一个特解。

则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为

。

7.求下列二阶常系数微分方程的通解.

（1）

解：

（I）当

时

直接积分计算得方程得解为

。

（II）当

时，先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。

下求设非齐次方程的的一个特解为

，由于原方程包括

，需要考虑以下两种情况：

（i）当

时

令

，代入方程后比较系数得

，则求得

。

则原非齐次方程的通解为

。

（ii）当

时

令

，代入方程后比较系数得

，则求得

则原非齐次方程的通解为

。

（1）

解：

（I）当

时

直接积分计算得方程得解为

。

（II）当

时，先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

.

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。

下求设非齐次方程的的一个特解为

，令

，代入方程后比较系数得

，则求得

。

则原非齐次方程的通解为

。

（3）

解：

先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。

下求非齐次方程的的一个特解为

，由于原方程右端包括

，考虑右边为

时，令

，代入方程后比较系数得

，则求得

，对应的实部

为非齐次方程的一个特解。

则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为

。

（4）

解：

先求原方程所对应的齐次方程

的通解

齐次方程的特征方程为：

.解得特征根为

因此，

为齐次方程的两个解。

则二阶齐次常系数微分方程的通解为

。