军用装备的定点投放.docx
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军用装备的定点投放
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军用装备的定点投放
摘要
在现代信息化联合作战条件下，空投装备及物资是装备补给和后勤保障的重要方式。
本文主要研究了装备空投的安全因素，建立它们与装备安全的数学模型，运用物理学运动方程，目标函数的优化，电脑模拟，蒙特卡罗随机模拟等方法求解出保证装备安全的最正确降落伞选配方案以及装备降落过程的运行轨迹和降落点位置。
针对问题一，我们将整个降落伞的下降过程分为四个阶段：
变加速下降，开伞，变减速下降，匀速下降。
分析各个阶段的物理学运动方程，并考虑安全降落的定解条件，最后得出各个阶段相关因素与装备安全着陆关系的数学模型。
针对问题二，根据降落伞完全撑开后的半径与装备安全的数学关系，并对系统和装备分别进行受力分析，得出伞绳最大承受力的过程应该为伞撑开的瞬间，即伞绳绷紧时刻。
通过动量守恒定律，求得各装备与其配置所需最小伞面积的关系以及伞绳的承载力。
针对问题三，我们引入安全系数λ，通过层次分析法得到三个因素影响安全度的权重系数分别为0.2803，0.1350和0.5842，即降落伞受到的空气阻力对安全着陆影响最大。
通过建立安全系数λ与伞的个数N的函数关系式，对其进行最优化处理，求得不同型号的物资所需的伞的个数与大小的最优解。
针对问题四，考虑实际情况风向、风力、气压、温度等因素，根据降落伞的运动学方程确定理论投放的地点。
结合各项影响因素对理论模型进行修正，通过比照实际与理论的差异求得降落的准确性，通过电脑模拟调整各类装备最正确的投放高度和时机，并得出装备降落过程的运行轨迹。
利用蒙特卡罗法随机模拟风向、风速，得出了装备落地的准确性程度。
关键词：
装备空投层次分析法伞群效率运动学方程蒙特卡罗随机模拟
一、问题重述
在信息条件下多兵种的联合作战，战时的快速反应，是致胜的重要环节，特别是对于机械化部队的武器装备是胜利作战的重要保证。
实际中，必要时需将一些武器装备利用空投的方法及时投放到前沿阵地，使部队以最快的速度利用武器装备发挥战斗力。
通常武器装备的大小、重量都有不同，如何选配合适的降落伞，使能保证将所需要的武器装备快速、安全、准确地投放到阵地上。
现有几种类型装备都可以视为长方体型，其几何尺寸（长×宽×高/m）和重量（t）如下表所示。
类型
属性
A
B
C
D
E
F
重量/t
1
2
3
5
10
15
尺寸/m
××
3×2×
×2×2
××
4×3×
4×3×
实际中，飞机可以从1000m~5000m高空投放这些装备，装备下投之后，一般降落伞需要5s~10s才能够打开。
为了保证装备的安全，要求装备落地时的速度不能超过5m/s。
假设飞机的飞行速度为常数V0（300≤V0≤600）。
请你们建立数学模型研究以下问题：
（1）根据实际情况，试就一般问题分析影响降落伞下落与装备安全相关的因素，并建立它们之间关系的数学模型。
（2）如果要求一台装备配一只降落伞，那么空投各类装备需要配备多大面积的降落伞，才能保证装备安全着陆？
伞绳的承载力至少为多少？
（3）如果需要可以在一台装备上配备多只降落伞，请为各类装备选配合适的降落伞〔只数和大小〕，并分析其装备落地安全的可靠性。
（4）如果要求定点投放这些装备，考虑实际中的风向、风力、气压、温度等不确定因素变化的影响，请根据你们为各类装备所选择配备的降落伞，分析确定各类装备最正确的投放高度和时机，以及装备落地的准确性程度；并请模拟给出装备降落过程的运行轨迹和降落点位置。
二、问题分析
问题一，要求结合实际情况，分析影响降落伞下落与装备安全相关的因素，并建立它们之间关系的数学模型。
首先我们对装备整个过程的运动状态进行分析，通过运动学方程，得到每个阶段不同的运动方程，从而计算降落伞降落过程的时间和高度。
最后考虑安全降落的定解条件，可以计算得出各个约束参量需满足的条件。
问题二，要求得出装备类型与其所需的降落伞面积的关系以及对降落伞的承载力的研究。
由模型一降落伞完全撑开后的半径与装备安全的数学关系，可得到空投各类装备，所需配备的降落伞最小面积；对系统和装备分别进行受力分析，缆绳最大承受力的过程应该为伞撑开的瞬间缆绳绷紧时刻，即在下落过程中，降落伞加速度到达最大的时刻，通过牛顿第二定律计算得出缆绳最大的承载力。
问题三，在允许一台装备可以配备多只降落伞的情况下，要求为各类装备选配合适的降落伞。
由于相同面积的不同数量的伞的承载力是相同的，因而可以用多个小伞代替一个大伞，并且伞的数量直接影响伞绳的承载力与伞撑开瞬间的速度，以及降落伞运动过程中所受到的空气阻力，采用层次分析法分析降落的安全系数，优化分析求得其最优的数量与大小。
问题四，要求考虑实际中的风向、风力、气压、温度等不确定因素变化的影响，分析确定各类装备最正确的投放高度和时机，以及装备落地的准确性程度。
在前几问模型的基础上，我们加上风、气压、温度等因素的影响，分析降落伞下降过程，模拟给出装备降落过程的运行轨迹和降落点位置。
并利用蒙特卡罗法随机模拟风向、风速，得出了装备落地的准确性程度。
三、模型的假设
1.忽略装备的形状影响
2.降落伞开伞瞬间完成
3.降落伞均为合格产品，不存在打不开的情况
4.降落伞运送物资的过程中不考虑特殊天气的影响
5.降落伞的质量远小于装备的质量，不考虑其质量的影响
7.装备降落过程不受风力和风向影响，只受竖直向上的空气阻力和重力的作用
四、定义与符号说明
H
飞机投放装备时的飞行高度
xi
装备在第i阶段所下降的高度
ti
装备经历第i阶段所需的时间
空气密度
vi
装备在第i阶段的垂直速度
g
重力加速度
R
降落伞的伞半径
m
装备质量
M
降落伞充满空气的质量
Ao
装备在垂直方向上的投影面积
A1
降落伞完全撑开在垂直方向上的投影面积
f
伞所受的空气阻力
F
装备所受的空气阻力
C0
垂直平面体的空气阻力系数
C1
降落伞的空气阻力系数
a
加速度
ki
权重系数
Fmax
大伞的最大承载力
F
N个小伞的最大承载力
N
单伞个数
r
小伞半径
λmax
最大特征值
λ
安全系数
五、模型的建立与求解
通过分析，我们得到装备降落过程分为四个阶段，即平抛，开伞，减速，稳降。
阶段一：
降落伞从被投下至降落伞打开阶段。
把装备和降落伞看成整体，考虑其受到空气阻力作用，因此降落伞在竖直方向上作变加速直线运动。
由于装备质量较大，忽略降落伞本身重量。
假设装备受到的重力为mg，方向向下；物体在空气中运动时，受到的空气阻力的大小可以表示为
，方向向上〔1〕
其中Co为垂直平面体的空气阻力系数，Ao为装备在垂直方向上的投影面积，
为空气密度。
图一阶段一装备受力分析图
如图一，根据牛顿第二定律，取向下为正方向。
可得
〔2〕
根据
，可得微分方程：
〔3〕
由初值条件t=0,v=0，解微分方程得：
其中
〔4〕
根据
，求得阶段一装备下降距离：
〔5〕
第二阶段：
降落伞打开阶段。
由于开伞阶段所需的时间极短，因此近似在打开的瞬间，降落伞撑开、拉直并充满质量为M的空气。
装备竖直速度迅速减小，满足动量守恒定律，且缆绳受力的最大时刻应出现在此过程中。
假设此过程中受到的空气阻力不变，降落伞撑开后的体积为：
〔6〕
降落伞撑开后在垂直方向上的投影面积为：
〔7〕
求得降落伞充满空气的重量为
（8）
由动量守恒定律求得：
〔9〕
第三阶段：
装备作变减速，直至匀速运动阶段。
在竖直方向上，装备在三个力作用下，即伞受到的空气阻力f，装备受到的空气阻力F以及装备的重力，在竖直方向上做变减速运动直至到达最小速度后匀速。
其中降落伞受到的空气阻力为：
〔10〕
其中C1为降落伞的空气阻力系数，A1为降落伞完全撑开时在垂直方向上的投影面积。
图二阶段三系统的受力分析图
如图三，由牛顿第二定律可得：
〔11〕
由
，可得匀速时的速度
〔12〕
联立方程可得，当v2＞vT时：
〔13〕
第三阶段装备下降距离：
（14）
当v2＜vT时：
〔15〕
第三阶段装备下降距离：
〔16〕
第四阶段：
装备作匀速运动阶段，此时装备所受重力与空气阻力相等。
由题目要求，为保证安全降落，降落伞的降落速度不能超过5m/s。
且当降落伞的速度为5m/s时，其总的运动位移应小于飞机投放时的高度H。
综合四个阶段过程模型，可知，要使降落伞能够安全的将装备运送到指定地点，与其相关的因素有：
物资的质量，降落伞完全撑开后的半径，空投物资时的高度,降落伞从抛出到打开的时间t1等。
可以得到装备安全着陆满足的条件：
〔1〕投放高度与装备安全的数学关系
〔17〕
〔2〕降落伞完全撑开后的半径与装备安全的数学关系
〔18〕
（1）装备类型与其所需的降落伞面积的关系：
由公式〔18〕，可以得到：
〔19〕
根据有关资料查得
。
一般情况取
。
当VT=5m/s时，R取得最小值。
〔2〕降落伞承载力的研究：
图3装备受力分析图
对第二阶段降落伞撑开过程中的装备进行受力分析。
由公式〔11〕可得：
〔20〕
由牛顿第二定律，对装备进行受力分析，可得：
〔21〕
当降落伞完全打开时，降落伞的加速度
到达最大，此时，降落伞伞绳所受到的承载力最大，为：
〔22〕
利用MATLAB，联立模型公式，求解得到表一结果，即各装备与其配置所需最小伞面积的关系以及伞绳的承载力。
表一各类装备与其配置的伞面积大小以及伞绳拉力的关系
类型
属性
A
B
C
D
E
F
重量/t
1
2
3
5
10
15
尺寸/m
××
3×2×
×2×2
×
×
4×3×
4×3×
面积/m2
半径
绳总拉力/N
113170
155920
187310
225810
274790
305560
表中面积指降落伞完全撑开在垂直方向上的投影面积，半径指降落伞的伞半径，绳总拉力指伞绳最大承载力。
图4降落伞下降过程物理量随时间变化曲线图
图4反映的是降落伞在下降过程中，速度v,下降的高度h，加速度a，伞绳承载力T随时间t的变化曲线。
由曲线图我们可以清楚的得出在下降过程中降落伞的运动状态的变化。
在t=5s时，即降落伞完全打开时，降落伞速度发生突变，加速度和伞绳承载力到达最大。
当t到达一定时间后，降落伞运动逐渐趋于平稳，速度，加速度和伞绳承载力趋于定值。
1.安全系数：
降落伞的结构设计，由于对构件受力情况分析计算可能出现偏差，开伞条件也有可能超出预计的范围，还有某些未能掌握的偶然因素，为了保证产品工作的安全可靠，构件设计通常要取用一个安全系数。
安全系数是衡量技术水平的重要参数，并非越大越好，数值越大，说明未能把握的因素越多，设计技术水平低下，结构笨重，从而导致结构重量超标。
因此安全系数的取值应做到恰到好处[1]。
2.伞群效率：
伞群效率表示群伞阻力系数与单伞阻力系数之比，即
由于群伞系统下降过程中的飘摆，效率并非一个定值，其大小主要取决于伞群中单伞个数及偏离角。
在不考虑飘摆时，一般可采用下式近似计算伞群效率[4]：
式中N为伞群中单伞个数。
通过分析，降落伞降落安全性分析可分为三个方面：
第一，假设N个相同大小的小伞与一个大伞的面积相同，则每个小伞伞绳所承受的力为原来大伞所承受的力的1/N，当N增加时，每个小伞所承受的力将减小，下降过程的安全系数将提高。
第二，当N增加时，N个小伞所填充的总的空气的体积将减小，由公式〔9〕可知，当N增加时，导致填充空气的质量减小，则降落伞打开过程的减速效果将降低，因此下降过程的安全系数将减小。
第三，根据伞群效率，随着N增加，降落伞所受到的空气阻力减小，减速效果降低，因此安全系数减小。
因此，伞的大小和数量的选择要适中。
因此，我们引入安全系数λ的定义[1]：
〔23〕
其中，k1,k2,k3分别表示一个大伞和N个小伞的伞绳承受力，完全撑开后速度，空气阻力影响安全度的权重系数。
Fmax表示大伞的最大承载力，F表示N个小伞的最大承载力；Vmax，VN分别表示大伞和N个小伞在第二阶段伞完全撑开后的速度，fN，fmax分别表示大伞和N个小伞受到的空气阻力。
利用层次分析法求解权重系数：
步骤一：
建立层次结构模型，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。
步骤二：
构造成比照较矩阵，进行层次单排序。
影响降落安全的因素：
降落伞受到的空气阻力，伞绳承受力，降落伞速度。
确定三个因素相对于安全系数所占的比重从而可以确定出成比照较矩阵A。
步骤三：
一次性检验。
计算比较矩阵的特征值和特征向量可以求得最大的特征值：
。
取对应于最大特征根n的归一化特征向量
，表示下层第i个因素对上层某因素影响程度的权值。
计算一致性指标：
，n为A对角线元素之和。
计算一致性比例
当CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
RI为随机一致性指标。
由此可以得到优化过程的目标函数。
由层次分析法得出成比照较矩阵;
由层次单排序确定，影响降落安全的因素降落伞受到的空气阻力，伞绳承受力与降落伞速度是依次排列的。
求得λmax=3，成比照较矩阵的阶数为3，其平均随机一致性指标为RI=0，CI=（λmax-3）/（3-1）=0。
于是比较矩阵A是一致阵，即矩阵A的构造是合理的。
求得k1=0.2803,k2=0.1350,k3=0.5842。
得到优化过程的目标函数为：
〔24〕
假设N个小伞的面积与一个大伞的面积相同，则小伞绳所受到的力为大伞绳受力的1/N，即
〔25〕
假设一个大伞时，大伞的半径为R,填充空气的体积为V1质量为M1，N个小伞时，小伞的半径为
，填充空气的体积为V2质量为M2。
由大伞的面积与N个小伞的面积相等
，可得
〔26〕
大伞与N个小伞所填充的空气质量分别为：
〔27〕
〔28〕
根据公式〔9〕，由动量定理可得：
〔29〕
〔30〕
由以上计算可以得到安全系数关于小伞的数量N的函数表达式，即优化目标函数为：
〔31〕
根据公式〔29〕，由Matlab模拟出六种装备安全系数随伞的数量的变化情况：
图5为装备A对应的关系曲线，图6装备F对应的关系曲线
图5装备A安全系数关系曲线
图6装备F安全系数关系曲线
图5、图6分别表示的是装备A和装备B在多个降落伞情况下空投的安全系数，由图中我们可以得到在n=2，即配备两个降落伞时，安全系数最大。
将问题二求得的数据代入安全系数的表达式，得出安全系数λ的最优值，如表2所示。
表2各种装备对应的最正确降落伞以及安全系数
各种设备对应降落伞面积表
类型
A
B
C
D
E
F
半径
绳总拉力/N
113170
155920
187310
225810
274790
305560
最正确降落伞个数
2
2
2
2
2
2
安全系数
1.压高公式：
气压随高度呈指数递减，即
〔30〕
℃℃，即
〔31〕
3.风随高度的变化：
在压强为200hPa处的高空激流位置在垂直位置的风速最大，年平均值约为33．3m／s，压强为200hPa处的高度约10000m，当h<10000m时，vf与h关系可描述如下：
〔32〕
在前几问的模型的基础上，考虑实际情况下气压，由温度，风速随高度的变化，由温度，压强随高度的变化，以及空气密度随高度的变化可知：
〔33〕
根据建立的模型，运用MATLAB编程得到仿真结果，相关参数值为：
装备重m：
1000kg，飞机高度h=1000m，开伞时间t=5s，伞衣面积S=203.7504m2，飞机初速v0：
300km/h，航向沿x轴方向，风向偏向y轴60°，风速为4m/s。
图7降落伞下降过程仿真
图7反映了装备A在所给配备降落伞下降的轨迹图。
通过Matlab仿真模拟我们可以得出各类装备最正确的投放高度和时机。
根据以上建立的运动模型，采用蒙特卡罗法，考虑风速、风向的随机偏差对着陆点的影响来模拟实际情况，对随机因素影响下的空投过程进行仿真计算，可获取着陆点的散点分布图。
实现蒙特卡罗法的基本步骤如下：
1）建立系统运动过程的动力学模型；2）确定系统在下落过程中的偏差因素及其分布规律；3）根据偏差因素的分布规律呢，构造相应的数学概率模型，并产生随机变量；4〕将随机变量值带入运动方程，进行求解；5）重复步骤多次试验，即可获得多组所需数据。
在风向
，风速
的干扰因素下，通过Matlab产生随机数进行500次试验，得的着陆点的分布见图6。
图8软件模拟产生的着陆点分布图
由图8可知，着陆点大致均匀分布在半径为3500m的圆内。
半径越小则着陆点准确度越高。
六、优缺点分析与模型推广
模型优点：
（1）模型一，把装备的运动过程分解成四个阶段，不但研究较全面，而且模型简单易懂，方便研究各因素对装备安全着陆的影响；并且第一阶段考虑装备受到的空气阻力的影
（2）模型三，在数据不足的情况下，引入安全系数以及伞群效率，在结合层次分析法对于目标函数的权重进行分析，优化求解出各种装备所配备的不同类型的降落伞。
（3）模型四，较全面地考虑了不确定因素对装备空投的影响，考虑各种约束条件下对模型进行优化，给出较好的最正确投放高度，更符合实际。
模型缺点：
（1）在装备下降过程中，忽略降落伞包裹空气质量，对结果会产生一定的误差。
（2）模型一在讨论下降过程时，假设装备降落过程不受风力和风向影响，只受竖直向上的空气阻力和重力的作用，忽略水平方向的受力。
模型的推广：
本文模型适用性较强，可以广泛应用到战时军用装备以及物质的空投，有利于为实际情况制定行之有效的空投计划。
参考文献
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北京空间机电研究所：
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科学计算与信息处理，2010:
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