七年级数学三角形讲义.docx

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七年级数学三角形讲义

第七章三角形

【知识点】

1、三角形的定义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；

2、三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.

一、【探究新知】

一）、三角形及有关概念

不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：

三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC。

三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

二）、三角形三边的不等关系

探究：

任意画一个△ABC（如图）,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?

各条路线的长一样吗?

为什么？

有两条路线：

（1）从B→C，

（2）从B→A→C；不一样，AB+AC＞BC①；因为两点之间线段最短。

同样地有AC+BC＞AB②

AB+BC＞AC③

由式子①②③我们可以知道什么？

三边关系：

三角形的任意两边之和大于第三边.

推论：

三角形的任意两边之差小于第三边。

（注意:

三边关系是三条线段能否构成三角形的条件）

练习：

1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）

A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cmC.13cm,12cm,20cmD.5cm,5cm,11cm

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、3，4，8B、5，6，11C、1，2，3D、5，6，10

三）、三角形的分类

三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。

按角分类:

三角形直角三角形

斜三角形锐角三角形

钝角三角形

三角形按边如何进行分类呢？

请你按“有几条边相等”将三角形分类。

三边都相等的三角形叫做等边三角形；

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。

显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。

按边分类:

三角形不等边三角形

等腰三角形底和腰不等的等腰三角形

等边三角形

【例题解析】

例1、用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？

为什么？

分析：

（1）等腰三角形三边的长是多少？

若设底边长为x㎝，则腰长是多少？

（2）“边长为4㎝”是什么意思？

解：

（1）设底边长为x㎝，则腰长2x㎝。

x+2x+2x=18

解得x=3.6

所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝.

（2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x㎝，则

4+2x=18

解得x=7

如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x㎝，则

2×4+x=18

解得x=10

因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形。

由以上讨论可知，可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。

例2.三角形三边长为3,1-2a，8，求a的取值范围.

二、【巩固练习】

1、等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为（）

A、13B、17C、13或17D、不能确定

2、△ABC中，如果AB=8cm，BC=5cm，那么AC的取值范围是________________.

3、长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是

4.一个等腰三角形的两条边长分别为8㎝和5㎝，那么它的周长为

5.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.

6、一个等腰三角形的周长为18cm。

已知其中一边长为4cm，求其它两边长。

三、提高练习：

1、△ABC三边a≤b≤c且a+b+c=13,a,b,c均为自然数，则合条件的三角形共有_____个.

2、△ABC周长27，三边长为三个连续奇数，则最长边长为_______，最短边长为_________.

3、以15为腰的三角形，底边a的范围是______.

4、以下列三线段为边，不能构成三角形的是：

A.a+1,a+2,a+3（a＞0）B.三线段之比为1∶3∶4C.三线段比为3∶4∶5D.4a,7a,3a+1（a＞1）

5、等腰三角形底边长5cm,一腰中线将周长分成的两部分差为3cm,则腰长为

A.2cmB.3cmC.8cmD.2cm或8cm

6、D为等腰△ABC,底边BC上一点，BC=10，△ABC的周长比△ADB的周长多6,则BD∶DC为（）

A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶1

7、等腰三角形的周长为21cm，一腰上的中线把这个三角形分成周长相差3cm的两个三角形，求等腰三角形各边的长.

8、如图，P为△ABC内任一点.求证PA+PB＜CA+CB.

三角形的高、中线与角平分线

【探究新知】：

【知识点1】:

三角形的高

如图，

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为：

AD⊥BC于点D。

【注意：

】几何语言的表达。

【注意】：

高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

请再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有什么发现？

——三角形的三条高相交于一点。

如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

显然，上面的结论成立。

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。

【知识点2】：

三角形的中线

如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为：

BD=DC或BD=DC＝

BC或2BD=2DC=BC.

请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？

三角的三条中线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

请画图回答。

上面的结论还成立。

【知识点3】:

三角形的角平分线

如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。

思考：

三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。

请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？

三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

请画图回答。

上面的结论还成立。

想一想：

三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

【例题解析】

例1：

已知：

如图，BE是△ABC的中线，DF是△ADE的中线AC=8cm，

（1）、求EF.

（2）、若△DEF的面积是5，求△ABC的面积。

分析：

由三角形中线的定义可知，三角形边上的中点，利用线段中点定义可求EF.

例2:

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，

求:

（1）△ABC的面积；

（2）CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积.

【巩固练习】：

1.三角形的角平分线、中线、高线都是（　　）

A、直线　　　　B、线段　　　　C、射线　　　　D、以上都不对

2.三角形三条高的交点一定在（　　）

　　A、三角形的内部　B、三角形的外部C、顶点上　　D、以上三种情况都有可能

3、在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（）.

A.4对B.5对C.6对D.7对

4、如图，已知：

D,E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE,AD若S

=24cm

求△DEC的面积.

5、提高题——探究规律：

如图，已知直线

∥

，A、B为直线

上的两点，C、P为直线

上的两点.

（1）请写出图中面积相等的各对三角形：

______________________________.

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在

上移动，那么无论P点移动到任何位置总有：

的面积与△ABC的面积相等；理由是：

【知识点4】：

三角形的稳定性

1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

会改变。

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

4、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。

如：

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。

【巩固练习】

1、下列图形中具有稳定性的是（）

A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

三角形的内角

【知识点1】：

三角形内角和的证明

回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，

可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

图1

想一想，还可以怎样拼？

①剪下∠A，按图

（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

图2

②把

和

剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？

已知△ABC，求证：

∠A+∠B+∠C=1800。

证明一）：

过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，

又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800

∴∠A+∠B+∠ACB=1800。

即：

三角形的内角和等于1800。

由图2、图3你又能想到什么证明方法？

请说说证明过程。

【例题解析】

例1、如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

分析：

怎样能求出∠ACB的度数？

根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。

∠CAB等于多少度？

怎样求∠CBA的度数？

例2、如图，BE平分∠ABC,CD平分∠ACB，∠A＝500，求∠BOC的度数。

例3、如图，△ABC中,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠C＝600，∠B＝280，求∠DAE的度数。

【巩固练习】

1、如果三角形的三个内角的度数比是2:

3:

4,则它是（）毛

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.钝角或直角三角形

2、任何一个三角形的三个角中至少有〔〕

A、一个锐角B、两个锐角C、一个直角D、一个钝角

3、在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形.

4、如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△ABC的角平分线,AD、CE交于F点.当∠BAC=80°,∠B=40°时,

求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数.

5、如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC＝60°，求：

∠AOE的度数。

三角形的外角

【知识点1】：

三角形外角的概念

如图，

∠ACD叫做△ABC的外角。

也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有几个？

注意：

每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。

研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.

【知识点2】：

三角形外角的性质

容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？

如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

∵CE∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2

又∠ACD=∠1+∠2

∴∠ACD=∠A+∠B

你能用文字语言叙述这个结论吗？

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

由加数与和的关系你还能知道什么？

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

即

，

。

再探：

如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？

分析：

∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？

∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？

解：

∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，

∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400

又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800

∴∠1+∠2+∠3==3600。

你能用语言叙述本例的结论吗？

三角形外角的和等于3600。

【例题解析】

例1、在△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,∠A=20°,求∠BDC的度数.

例2、已知P是△ABC内一点，连BP、CP．求证：

∠BPC=∠1+∠2+∠A．

【巩固练习】

1、在

ABC中，三个内角满足∠B－∠A=∠C－∠B，则∠B等于（）

A.70°B.60°C.90°D.120°

2、在锐角三角形中，最大内角的取值范围是（）

A、0°＜

＜90°B、60°＜

＜180°C、60°＜

＜90°D、60°≤

＜90°

3、下列说法错误的个数是（）

（1）钝角三角形三边上的高都在三角形的外部

（2）三角形中，至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角

（3）三角形的一个外角等于它的两个内角的和（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角

（5）三角形的三个外角（每个顶点只取一个外角）中，钝角个数至少有2个

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、若一个三角形的三个内角度数之比为3：

2：

1，则与之相邻的三个外角度数之比为（）

A.3：

2：

1B.1：

2：

3C.5：

4：

3D.3：

4：

5

5、如图所示,在△ABC中,∠ABP=28°,∠ACP=31°,∠BAC=61°,求∠BPC的度数.

6、如图,在△ABC中,∠B=35°,∠ACB=103°,AD平分∠BAC交BC于D,AE⊥BC延长线于E.求∠DAE的度数.

7、提高题：

如图，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数。

多边形

【知识点1】：

多边形及有关概念

观察生活中常见的图形：

注意它们的共同之处。

这些图形有什么特点？

由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．

这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

（强调在平面内）

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。

这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。

与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

四边形有几条对角线？

五边形有几条对角线？

画图看看。

你能猜想n边形有多少条对角线吗？

说说你的想法。

n边形有

n（n－3）条对角线。

因为从n边形的一个顶点可以引n－3条对角线，n个顶点共引n（n－3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，n边形有

n（n－3）条对角线。

【知识点2】：

凸多边形和凹多边形

如图，下面的两个多边形有什么不同？

在图

（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图

（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。

注意：

今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．

【知识点3】：

正多边形的概念

我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

下面是正多边形的一些例子。

【巩固练习】

一、判断题．

1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（）

2．由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（）

3、在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（）

二、填空题．

1．连接多边形的线段，叫做多边形的对角线．

2．多边形的任何所在的直线，整个多边形都在这条直线的，这样的多边形叫凸多边形．

3．各个角，各条边的多边形，叫正多边形．

三、解答题．

1．画出图

（1）中的六边形ABCDEF的所有对角线．

2．如图4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；

3、如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°,∠DEF=80°．

（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论？

并说明理由；

（2）试求∠AFE的度数．

多边形的内角和

【知识点1】：

多边形的内角和

如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？

它们将四边形分成几个三角形？

那么四边形的内角和等于多少度？

可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。

类似地，你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗？

观察下面的图形，填空：

五边形六边形

从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等于；

从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等于；

从n边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角和等于。

n边形的内角和等于（n一2）·180°．

从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。

现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？

分法一：

如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。

∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。

图1图2

分法二：

如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。

∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°

如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n一2）×180°．

【例题解析】

例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．

分析：

∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？

解：

∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°

又∠A＋∠C＝180°

∴∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=180°

这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．

例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．

分析：

多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？

六边形的内角和是多少度？

解：

∵∠1+∠BAF=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BAD=180°

∠4+∠CDE=180°∠5+∠DEF=180°∠6+∠EFA=180°

∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°

又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°

∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°

这就是说，六边形形的外角和为360°。

如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：

n边形的外角和等于360°。

例3、某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，

当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，

你能说出其中的道理吗？

【例题解析】

1．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（）

A、三角形B、四边形C、五边形D、六边形

2．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（）

A、6B、7C、8D、9

3．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（）

A、四边形B、五边形C、六边形D、八边形

4、一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加（）

A.180°B.360°C.（n-2）·180°D.n·180

5、若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是（）

A、八边形B、十边形C、十二边形D、十四边形

6、正方形每个内角都是______，每个外角都是_______。

7、多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有条。

8、六边形共有_______条对角线，内角和等于__________，每一个内角等于_______。

9、内角和是1620°的多边形的边数是______。

10、如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是______边形。

11、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和________。

12、一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数为______。

13、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,则原多边形有____条边。

14.已知一个十边形中九个内角的和的度数是12900，那么这个十边形的另一个内角为度

课题学习：

镶嵌

【知识点1】：

平面镶嵌及条件

下面的图形是由一些地板砖铺成的，看看它们有什么特点？

都是一些多边形；相互不重叠；把一部分平面完全覆盖。

用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌（或用多边形覆盖平面）的问题

探讨：

怎样的多边形才能进行平面镶嵌呢？

1、如图，任意剪一些形状、大小相同的四边形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。

能镶嵌成平面图案。

2、如图，任意剪一些形状、大小相同的五边形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。

不能镶嵌成平面图案。

3、如图，任意