小学六年级思维奥数3 巧算体积附答案解析.docx
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小学六年级思维奥数3巧算体积附答案解析
第3讲巧算体积
【知识梳理】
长方体体积=长×宽×高正方体体积=棱长×棱长×棱长
长方体或正方体体积=底面积×高（或横截面积×长）
在长方体与正方体的体积（容积）问题的解决中，除了要运用好数学课中学过的有关知识和方法外，还要对图形进行认真的观察和比较，特别要根据给出的图形或题目对图形的描述，想象出原来物体的形象，这样有助于问题的解决。
我们还需要掌握以下几点：
1.根据长方体展开图，确定长方体的长、宽、高。
2.将一个物体变形为另一种物体，体积不变。
3.物体浸入水中，排开水的体积等于物体的体积。
【典例精讲】
【例1】如图，沿图中的虚线折叠，可以围成一个长方体，围成的这个长方体的体积是多少立方厘米？
【训练1】将下图沿虚线折叠，可以围成一个长方体，求围成的这个长方体的体积。
【例2】把一个长方体切成两个长方体有三种切法。
如果切面与前、后两个面平行，切成的两个长方体的表面积的和比原来长方体的表面积增加432平方厘米；如果切面与左、右两个面平行，切成的两个长方体的表面积的和比原来长方体的表面积增加234平方厘米；如果切面与上、下两个面平行，切成的两个长方体的表面积的和比原来长方体的表面积增加624平方厘米。
求原来这个长方体的体积。
【训练2】一个长方体，不同的三个面的面积分别是96平方分米、84平方分米和56平方分米，这个长方体的体积是多少立方分米？
【例3】有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。
如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？
【训练3】有一个棱长为6厘米的正方体铁块，把它浸没在一个装有水的长方体容器中。
取出铁块后，水面下降了2厘米。
这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？
【例4】现有长方体容器A，它的长是30厘米，宽是20厘米，里面装有水，水的高度是24厘米；另有长方体容器B，长40厘米，宽30厘米，高20厘米，B容器是空的。
现要将A的一部分水倒给B，使两容器中水的高度相同，水的高度应是多少厘米？
【训练4】长方体容器A的长是15厘米，宽是12厘米，里面装的水的高度是30厘米，长方体容器B是空的，长18厘米，宽20厘米，高25厘米，从容器A倒多少立方厘米水到容器B，两容器水的高度相同？
【能力提升】
往一个长24分米，宽9分米，高8分米的水槽中注入高4分米的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，问水位上升了多少分米？
数学小故事——小欧拉智改羊圈
欧拉从小对数学入迷，对科学兴趣广泛，因对上帝的存在与否提出疑问，被学校开除。
一天，小欧拉正在牧场帮助父亲干活，父亲突然喊他。
他跑去一问，得知父亲要扩建羊圈，让他去帮助计算一下需备的篱笆材料。
他先是帮助父亲用绳子测量土地，然后计算这块土地的总面积与篱笆用料。
老欧拉已将4根转角桩打入地下，然后将以这四点连成线，围成羊圈。
经过反复计算，小欧拉向父亲报告说：
“羊圈长40米，宽15米，面积600平方米，共需用110米篱笆材料。
”
听了儿子的汇报，父亲立刻愁眉不展：
“现在我们只有100米材料。
如果把宽去掉5米，只能获得400平方米面积的羊圈了。
这样还是不够用啊！
”欧拉并没有马上安慰父亲，只是说了一声：
“让我再算算吧”。
第二天，老欧拉欢天喜地带着工人开始围羊圈。
原来前天夜里，小欧拉找出了一个最佳方案：
“只需把羊圈变长方形为正方形，即把每个边都变为25米，那么用100米篱笆材料就能围成625平方米面积的羊圈了。
”
这样，既不用增加篱笆材料，又扩大了羊圈面积，怎能不令老欧拉高兴呢？
他逢人便夸儿子的才能，使这一巧算羊圈之事不胫而走。
当欧洲著名数学家伯努利听到一名小学生能具有这样的数学天赋，便亲自接见了欧拉，并鼎力推荐，使小欧拉进入巴塞尔大学学习，那年他只有13岁。
【作业】
1．一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。
这时表面积比原来减少了96平方厘米。
原来长方体的体积是______立方厘米。
2．把一根长2.4米的长方体木料锯成5段（如图），表面积比原来增加了96平方厘米，这根木料原来的体积是______立方厘米。
3．如图，有一块长方形铁皮长24厘米，宽14厘米，剪掉同样的四个角（阴影部分），再沿虚线折起，做成一个无盖铁盒，这个铁盒的容积是______立方厘米。
4．如图，五块玻璃可以拼接成一个无盖的长方体玻璃容器（接头处忽略不计）。
现将600升水倒入这个容器中，水面的高度是______分米。
5．如图（单位：
厘米），沿着图中的虚线折叠，可以围成一个长方体。
这个长方体的体积是______立方厘米。
6．有一个小金鱼缸，长5分米、宽4分米，水深3分米。
把一个棱长2分米的正方体铁块浸入水中后，水面上升了______分米。
7．有两个长方体水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两水池中水面同样高。
水面的高应是______分米。
8．一个长方体三个面的面积分别是28平方厘米、42平方厘米和24平方厘米，这个长方体的体积是______立方厘米。
9．将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽是7厘米，则高是______厘米。
10．有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别是5米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。
如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高______厘米。
第3讲巧算体积
【知识梳理】
长方体体积=长×宽×高正方体体积=棱长×棱长×棱长
长方体或正方体体积=底面积×高（或横截面积×长）
在长方体与正方体的体积（容积）问题的解决中，除了要运用好数学课中学过的有关知识和方法外，还要对图形进行认真的观察和比较，特别要根据给出的图形或题目对图形的描述，想象出原来物体的形象，这样有助于问题的解决。
我们还需要掌握以下几点：
1.根据长方体展开图，确定长方体的长、宽、高。
2.将一个物体变形为另一种物体，体积不变。
3.物体浸入水中，排开水的体积等于物体的体积。
【典例精讲】
【例1】如图，沿图中的虚线折叠，可以围成一个长方体，围成的这个长方体的体积是多少立方厘米？
【答案】216立方厘米
【解析】计算长方体的体积需知道这个长方体的长、宽、高，图中所标示的三个长度数并不就是长、宽和高，想象这个图按虚线折叠，把长、宽、高分别设为a、b、c，图中的各边可标示如下图。
已知9厘米的边是a，13厘米长的线段是a和c的和，c长13－9＝4（厘米），10厘米长的线段是c和b的和，b长10－4＝6（厘米），于是可得长方体的体积是9×6×4＝216（立方厘米）。
【训练1】将下图沿虚线折叠，可以围成一个长方体，求围成的这个长方体的体积。
【答案】756立方厘米
【解析】用a、b、c分别表示长、宽、高，则a＋c＝23cm，b＝6cm，b＋c＝15cm，所以a、b、c分别为14cm、6cm、9cm，体积为14×6×9＝756（cm³）。
【例2】把一个长方体切成两个长方体有三种切法。
如果切面与前、后两个面平行，切成的两个长方体的表面积的和比原来长方体的表面积增加432平方厘米；如果切面与左、右两个面平行，切成的两个长方体的表面积的和比原来长方体的表面积增加234平方厘米；如果切面与上、下两个面平行，切成的两个长方体的表面积的和比原来长方体的表面积增加624平方厘米。
求原来这个长方体的体积。
【答案】2808立方厘米
【解析】把一个长方体切成两个长方体，增加的表面积是与切面平行的面的面积的2倍，由此可以求得原来长方体的三个面的面积，并且可以求得原来长方体的长、宽、高，进而算得原来长方体的体积。
前（或后）面一个面的面积是432÷2＝216（平方厘米）；
左（或右）面一个面的面积是234÷2＝117（平方厘米）；
上（或下）面一个面的面积是624÷2＝312（平方厘米）；
216＝2×2×2×3×3×3＝24×9，
117＝3×3×13＝9×13，
312＝2×2×2×3×13＝24×13，
所以原来长方体的长、宽、高分别是24厘米、13厘米、9厘米，体积是24×13×9＝2808（立方厘米）。
【训练2】一个长方体，不同的三个面的面积分别是96平方分米、84平方分米和56平方分米，这个长方体的体积是多少立方分米？
【答案】672立方分米
【解析】96＝2×2×2×2×2×3＝12×8，84＝2×2×3×7＝12×7，56＝2×2×2×7＝8×7，所以原来长方体的长、宽、高分别是12分米、8分米、7分米，体积是12×8×7＝672（立方分米）。
【例3】有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。
如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？
【答案】18厘米
【解析】水的体积不变，30×20×6＝3600cm³，朝左竖起来，底面积是20×10＝200cm²，所以水深是3600÷200＝18cm。
【训练3】有一个棱长为6厘米的正方体铁块，把它浸没在一个装有水的长方体容器中。
取出铁块后，水面下降了2厘米。
这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？
【答案】108平方厘米
【解析】正方体铁块的体积＝水面下降部分的体积，6×6×6÷2＝108cm²。
【例4】现有长方体容器A，它的长是30厘米，宽是20厘米，里面装有水，水的高度是24厘米；另有长方体容器B，长40厘米，宽30厘米，高20厘米，B容器是空的。
现要将A的一部分水倒给B，使两容器中水的高度相同，水的高度应是多少厘米？
【答案】8厘米
【解析】因为长方体的体积÷底面积=高，体积和底面积扩大或缩小同数倍，高度不变，比较两个容器的底面积，看B是A的几倍，要使两个容器水的高度相同，B的水的体积就应是A的同数倍。
A容器水的体积30×20×24＝14400（立方厘米），
A的底面积是30×20＝600（平方厘米），
B的底面积是40×30＝1200（平方厘米），
B的底面积是A的1200÷600＝2倍，
B中的水的体积是A中水的体积的2倍时，两容器水的高度相同，倒给B的水是：
14400÷（2＋1）×2＝9600（立方厘米），B中水的高度是9600÷1200＝8（厘米）。
此题方法多种，如h＝V总÷S总；方程法。
【训练4】长方体容器A的长是15厘米，宽是12厘米，里面装的水的高度是30厘米，长方体容器B是空的，长18厘米，宽20厘米，高25厘米，从容器A倒多少立方厘米水到容器B，两容器水的高度相同？
【答案】3600立方厘米
【解析】A的底面积是15×12＝180cm²，B的底面积是18×20＝360cm²，B的底面积是A的2倍，要想两容器中水的高度相同，则B中水的体积应是A的2倍，所以倒给B的水是15×12×30÷（2＋1）×2＝3600cm³。
【能力提升】
往一个长24分米，宽9分米，高8分米的水槽中注入高4分米的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，问水位上升了多少分米？
【答案】0.8分米
【解析】水槽的水是否能将铁块整个淹没，或在水槽的水位上升后，能否淹没整个铁块，这是解决问题的关键。
①假设上升水位后能将整个铁块淹没，那么，水槽里的水位至少上升到6分米，铁块的体积为：
6×6×6=216（立方分米），216÷24÷9=1（分米），显然，水槽内的水位上升1分米，才仅有4+1=5（分米），是不可能把铁块淹没的。
②当水槽内原有的水不能淹没铁块时，所淹部分的体积必然等于水槽水位上升部分的容积。
设水槽水位上升x分米，列方程得：
24×9×x=6×6×（x+4），x=0.8，水位上升了0.8分米。
数学小故事——小欧拉智改羊圈
欧拉从小对数学入迷，对科学兴趣广泛，因对上帝的存在与否提出疑问，被学校开除。
一天，小欧拉正在牧场帮助父亲干活，父亲突然喊他。
他跑去一问，得知父亲要扩建羊圈，让他去帮助计算一下需备的篱笆材料。
他先是帮助父亲用绳子测量土地，然后计算这块土地的总面积与篱笆用料。
老欧拉已将4根转角桩打入地下，然后将以这四点连成线，围成羊圈。
经过反复计算，小欧拉向父亲报告说：
“羊圈长40米，宽15米，面积600平方米，共需用110米篱笆材料。
”
听了儿子的汇报，父亲立刻愁眉不展：
“现在我们只有100米材料。
如果把宽去掉5米，只能获得400平方米面积的羊圈了。
这样还是不够用啊！
”欧拉并没有马上安慰父亲，只是说了一声：
“让我再算算吧”。
第二天，老欧拉欢天喜地带着工人开始围羊圈。
原来前天夜里，小欧拉找出了一个最佳方案：
“只需把羊圈变长方形为正方形，即把每个边都变为25米，那么用100米篱笆材料就能围成625平方米面积的羊圈了。
”
这样，既不用增加篱笆材料，又扩大了羊圈面积，怎能不令老欧拉高兴呢？
他逢人便夸儿子的才能，使这一巧算羊圈之事不胫而走。
当欧洲著名数学家伯努利听到一名小学生能具有这样的数学天赋，便亲自接见了欧拉，并鼎力推荐，使小欧拉进入巴塞尔大学学习，那年他只有13岁。
【作业】
1．一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。
这时表面积比原来减少了96平方厘米。
原来长方体的体积是______立方厘米。
【答案】704
【解析】长＝宽＝高－3，减少的96平方厘米是4个相同面的面积，每个面都是长×3，即1个面的面积是96÷4＝24cm²，所以原来长方体的长与宽是24÷3＝8cm，高是8＋3＝11cm，体积是8×8×11＝704cm³。
2．把一根长2.4米的长方体木料锯成5段（如图），表面积比原来增加了96平方厘米，这根木料原来的体积是______立方厘米。
【答案】2880
【解析】2.4米＝240厘米，锯成5段，要锯4次，表面积增加8个横截面的面积，所以横截面的面积是96÷8＝12cm²，则体积是横截面面积×长＝12×240＝2880cm³。
3．如图，有一块长方形铁皮长24厘米，宽14厘米，剪掉同样的四个角（阴影部分），再沿虚线折起，做成一个无盖铁盒，这个铁盒的容积是______立方厘米。
【答案】384
【解析】长方体的长是24－4×2＝16cm，宽是14－4×2＝6cm，高是4cm，所以容积是16×6×4＝384cm³。
4．如图，五块玻璃可以拼接成一个无盖的长方体玻璃容器（接头处忽略不计）。
现将600升水倒入这个容器中，水面的高度是______分米。
【答案】6
【解析】无盖的长方体，没有上面，由图可知，长是20dm，宽是5dm，高是10dm，则底面积是20×5＝100dm²，所以水的高是600÷100＝6dm。
5．如图（单位：
厘米），沿着图中的虚线折叠，可以围成一个长方体。
这个长方体的体积是______立方厘米。
【答案】90
【解析】根据展开图，确定长、宽、高分别是9cm、5cm、2cm，体积是90cm³。
6．有一个小金鱼缸，长5分米、宽4分米，水深3分米。
把一个棱长2分米的正方体铁块浸入水中后，水面上升了______分米。
【答案】0.4
【解析】正方体铁块的体积＝水面上升部分的体积，2×2×2÷（5×4）＝0.4dm。
7．有两个长方体水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两水池中水面同样高。
水面的高应是______分米。
【答案】2
【解析】设水高x分米，则8×6×x＋6×4×x＝8×6×3，解得x＝2。
8．一个长方体三个面的面积分别是28平方厘米、42平方厘米和24平方厘米，这个长方体的体积是______立方厘米。
【答案】168
【解析】28＝7×4，42＝7×6，24＝6×4，这个长方体的长、宽、高分别是7cm、6cm、4cm，体积是7×6×4＝168cm³。
9．将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽是7厘米，则高是______厘米。
【答案】8
【解析】等体积变换，这两个正方体每个面的面积分别为216÷6＝36cm²，384÷6＝64cm²，所以它们的棱长分别为6cm和8cm，体积之和就是6×6×6＋8×8×8＝216＋512＝728cm³，根据前后体积不变，则长方体的体积也是728cm³，所以这个长方体的高是728÷13÷7＝8cm。
10．有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别是5米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。
如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高______厘米。
【答案】2.8
【解析】沉入中水池中的碎石的体积是3×3×0.06＝0.54（m³），沉入小水池中的碎石的体积是2×2×0.04＝0.16（m³），这两堆碎石的体积一共是0.54＋0.16＝0.7（m³）。
把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7m³，而大水池的底面积是5×5＝25（m²），所以水面升高了0.7÷25＝0.028（米）＝2.8（厘米）。
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