6．已知函数f（x）＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）B．（－1，2]C．[－1，2]D．[2，5）
答案 C
解析 二次函数f（x）＝－x2＋4x的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x＝2时取得，而当x＝5或－1时，f（x）＝－5，结合图像可知m的取值范围是[－1，2]．
7．设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图像可能是（ ）
答案D解析 若a＞0，b＜0，c＜0，则对称轴x＝－
＞0，函数f（x）的图像与y轴的交点（0，c）在x轴下方．
8．（2018·山东济宁模拟）设函数f（x）＝
若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（ ）
A．4B．2C．1D．3
答案 D解析 由解析式可得f（－4）＝16－4b＋c＝f（0）＝c，解得b＝4.
f（－2）＝4－8＋c＝－2，可求得c＝2.∴f（x）＝
又f（x）＝x，
则当x≤0时，x2＋4x＋2＝x，解得x1＝－1，x2＝－2.当x>0时，x＝2，综上可知有三解．
9．（2018·郑州质检）若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈（0，
]恒有y≥0成立，则a的最小值是（ ）
A．0B．2C．－
D．－3
答案 C解析 设g（x）＝ax＋x2＋1，x∈（0，
]，则g（x）≥0在x∈（0，
]上恒成立，即a≥－（x＋
）在x∈（0，
]上恒成立．又h（x）＝－（x＋
）在x∈（0，
]上为单调递增函数，当x＝
时，h（x）max＝h（
），所以a≥－（
＋2）即可，解得a≥－
.
10．若二次函数y＝8x2－（m－1）x＋m－7的值域为[0，＋∞），则m＝________．
答案 9或25解析 y＝8（x－
）2＋m－7－8·（
）2，
∵值域为[0，＋∞），∴m－7－8·（
）2＝0，∴m＝9或25.
11．
（1）已知函数f（x）＝4x2＋kx－8在[－1，2]上具有单调性，则实数k的取值范围是________．
答案 （－∞，－16]∪[8，＋∞）
解析 函数f（x）＝4x2＋kx－8的对称轴为x＝－
，则－
≤－1或－
≥2，解得k≥8或k≤－16.
（2）若函数y＝x2＋bx＋2b－5（x<2）不是单调函数，则实数b的取值范围为________．
答案 （－4，＋∞）
解析 函数y＝x2＋bx＋2b－5的图像是开口向上，以x＝－
为对称轴的抛物线，所以此函数在（－∞，－
）上单调递减．若此函数在（－∞，2）上不是单调函数，只需－
<2，解得b>－4.所以实数b的取值范围为（－4，＋∞）．
12．已知y＝（cosx－a）2－1，当cosx＝－1时，y取最大值，当cosx＝a时，y取最小值，则a的范围是________．
答案 0≤a≤1解析 由题意知
∴0≤a≤1.
13．函数f（x）＝x2＋2x，若f（x）>a在区间[1，3]上满足：
①恒有解，则a的取值范围为________；
②恒成立，则a的取值范围为________．
答案 ①a<15 ②a<3解析 ①f（x）>a在区间[1，3]上恒有解，等价于a<[f（x）]max，又f（x）＝x2＋2x且x∈[1，3]，当x＝3时，[f（x）]max＝15，故a的取值范围为a<15.②f（x）>a在区间[1，3]上恒成立，等价于a<[f（x）]min，又f（x）＝x2＋2x且x∈[1，3]，当x＝1时，[f（x）]min＝3，故a的取值范围为a<3.
14．如果函数f（x）＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a＝________．
答案 1解析 因为函数f（x）＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f（0）＝－a，f
（2）＝4－3a，所以
或
解得a＝1.
15．（2018·邯郸一中月考）已知函数f（x）＝x2－6x＋5，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最大值为f（a），则实数a的取值范围是________．
答案 a≥5解析 ∵f（x）的对称轴为x＝3，要使f（x）在[1，a]上最大值为f（a），由图像对称性知a≥5.
16．已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．
（1）当a＝－2时，求f（x）的最值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－4，6]上是单调函数；
（3）当a＝1时，求f（|x|）的单调区间．
解析
（1）当a＝－2时，f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，由于x∈[－4，6]，
∴f（x）在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增．
∴f（x）的最小值是f
（2）＝－1，又f（－4）＝35，f（6）＝15，故f（x）的最大值是35.
（2）由于函数f（x）的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f（x）在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
（3）当a＝1时，f（x）＝x2＋2x＋3，
∴f（|x|）＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6，6]，
且f（x）＝
∴f（|x|）的单调递增区间是（0，6]，
单调递减区间是[－6，0]．
17．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R），x∈R.
（1）若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）在
（1）的条件下，f（x）>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k的取值范围．
解析
（1）由题意知
解得
所以f（x）＝x2＋2x＋1.
由f（x）＝（x＋1）2知，函数f（x）的单调递增区间为[－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1]．
（2）由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k令g（x）＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g（x）＝（x＋
）2＋
，知g（x）在区间[－3，－1]上是减函数．则g（x）min＝g（－1）＝1.所以k<1.
即k的取值范围是（－∞，1）．
18．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1，（a>0），设f（x）＝x的两个实根为x1，x2.
（1）如果b＝2且|x2－x1|＝2，求a的值；
（2）如果x1<2x0>－1.
解析
（1）当b＝2时，f（x）＝ax2＋2x＋1（a>0）．
方程f（x）＝x为ax2＋x＋1＝0.
|x2－x1|＝2⇒（x2－x1）2＝4⇒（x1＋x2）2－4x1x2＝4.由韦达定理，可知
x1＋x2＝－
，x1x2＝
.
代入上式，可得4a2＋4a－1＝0.解得a＝
，a＝
（舍去）．
（2）证明：
∵ax2＋（b－1）x＋1＝0（a>0）的两根满足x1<2设g（x）＝ax2＋（b－1）x＋1，∴
即
⇒
∴2a－b>0.又∵函数f（x）的对称轴为x＝x0，∴x0＝－
>－1.
1．已知函数f（x）＝x2＋（a＋1）x＋ab，若不等式f（x）≤0的解集为{x|－1≤x≤4}，则a＋2b的值为（ ）
A．－2B．3C．－3D．2
答案 A解析 依题意，－1，4为方程x2＋（a＋1）x＋ab＝0的两根，所以
解得
所以a＋2b的值为－2，故选A.
2．（2018·湖北黄冈中学模拟）若函数f（x）＝
（a，b，c，d∈R）的图像如图所示，则a∶b∶c∶d＝（ ）
A．1∶6∶5∶8B．1∶6∶5∶（－8）C．1∶（－6）∶5∶8D．1∶（－6）∶5∶（－8）
答案 D解析 由图像可知，x≠1，5，所以ax2＋bx＋c＝k（x－1）（x－5），所以a＝k，b＝－6k，c＝5k，根据图像可得当x＝3时，y＝2，所以d＝－8k，所以a∶b∶c∶d＝1∶（－6）∶5∶（－8）．
3．已知函数f（x）＝x2－2tx＋1在（－∞，1]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f（x1）－f（x2）|≤2，则实数t的取值范围为（ ）
A．[1，
]B．[－
，
]C．（1，
）D．（－
，
）
答案 A解析 因为函数f（x）在（－∞，1]上单调递减，所以t≥1，所以当x∈[0，t＋1]时，f（x）max＝f（0），f（x）min＝f（t）．又对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f（x1）－f（x2）|≤2等价于f（x）max－f（x）min≤2，即f（0）－f（t）≤2，所以1－（t2－2t×t＋1）≤2，所以t2≤2，又t≥1，所以1≤t≤
，所以实数t的取值范围为[1，
]．
4．已知函数f（x）＝a－x2（1≤x≤2）与g（x）＝x＋2的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－
，＋∞）B．[－
，0]C．[－2，0]D．[2，4]
答案 C解析 若函数f（x）＝a－x2（1≤x≤2）与g（x）＝x＋2的图像上存在关于x轴对称的点，则方程a－x2＝－（x＋2），即a＝x2－x－2在区间[1，2]上有解．令h（x）＝x2－x－2，则h（x）的图像开口向上，且对称轴为x＝
，又1≤x≤2，故当x＝1时，h（x）取得最小值－2，当x＝2时，h（x）取得最大值0，所以实数a的取值范围是[－2，0]．
5．“a＝－1”是“函数f（x）＝x2－2ax－1在区间[－1，＋∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f（x）＝x2－2ax－1在区间[－1，＋∞）上为增函数，则有对称轴x＝a≤－1，故“a＝－1”是“函数f（x）＝x2－2ax－1在区间[－1，＋∞）上为增函数”的充分不必要条件．
6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋2x，若f（2－a2）>f（a），则实数a的取值范围是________．
答案 （－2，1）解析 ∵f（x）是奇函数，∴当x<0时，f（x）＝－x2＋2x，作出f（x）的大致图像如图中实线所示，结合图像可知f（x）是R上的增函数，由f（2－a2）>f（a），得2－a2>a，即－27．设函数y＝x2＋（a＋2）x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝________．
答案 6
8．若函数f（x）＝x2－2x＋3在区间[0，m]上的最小值是2，最大值是3，则实数m的取值范围是________．
答案 [1，2]
解析 ∵f（x）＝（x－1）2＋2≥2，∴x＝1∈[0，m]．∴m≥1.①
∵f（0）＝3，而3是最大值．∴f（m）≤3⇒m2－2m＋3≤3⇒0≤m≤2.②
由①②知：
1≤m≤2，故应填[1，2]．
9．已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）<0的解集是（0，5），且f（x）在区间[－1，4]上的最大值为12.
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数f（x）在[t，t＋1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式．
解析
（1）因为f（x）是二次函数，且f（x）<0的解集是（0，5），
所以可设f（x）＝ax（x－5）（a>0）．
所以f（x）在区间[－1，4]上的最大值是f（－1）＝6a＝12.
所以a＝2.
所以f（x）＝2x（x－5）＝2x2－10x（x∈R）．
（2）由
（1）知f（x）＝2x2－10x＝2（x－
）2－
，
图像开口向上，对称轴为x＝
.
①当t＋1≤
，即t≤
时，
f（x）在[t，t＋1]上单调递减，
所以g（t）＝2（t＋1）2－10（t＋1）＝2t2－6t－8.
②当t≥
时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，所以g（t）＝2t2－10t.
③当t<
时，f（x）在对称轴处取得最小值，所以g（t）＝f（
）＝－
.
综上所述，g（t）＝
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