浙江省中考数学总复习第五章基本图形二第28讲图形的相似第1课时相似形讲解篇.docx
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浙江省中考数学总复习第五章基本图形二第28讲图形的相似第1课时相似形讲解篇
第28讲 图形的相似
第1课时 相似形
1．比例线段
考试内容
考试
要求
比例
线段
定义
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．
a
基本
性质
若
＝
，则ad＝bc.当b＝c时，b2＝ad，那么b是a、d的比例中项．
黄金
分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果AC是线段AB和BC的比例中项，且
＝
＝
≈0.618，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．
2.平行线分线段成比例
考试内容
考试
要求
基本
事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段．
c
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3.相似图形的有关概念
考试内容
考试
要求
相似图形
____________________相同的图形称为相似图形．
a
相似多
边形
两个边数相同的多边形，如果它们的角分别，边，那么这两个多边形叫做相似多边形．
相似多边形对应的比叫做相似比．
（1）相似多边形周长的比等于相似比；
（2）相似多边形面积的比等于相似比的平方
相似三
角形
两个三角形的三个角分别_，三条边，则这两个三角形相似．当相似比等于1时，这两个三角形．
4.相似三角形的判定
考试内容
考试
要求
判定1
____________________于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
a
判定2
三边的两个三角形相似．
判定3
两边且夹角的两个三角形相似．
判定4
两角分别的两个三角形相似．
判定5
满足斜边和一条直角边的两个直角三角形相似．
拓展
直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
5.相似三角形的性质
考试内容
考试
要求
性质
1.相似三角形的对应角，对应边．
a
2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于．
3.相似三角形面积的比等于相似比的____________________.
三角形
的重心
三角形三条中线的交点叫做重心．
三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．
拓展
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．
①AC2＝AD·AB；
②BC2＝BD·AB；
③CD2＝AD·BD；
④AB·CD＝AC·BC.
考试内容
考试
要求
基本
思想
转化思想：
证角相等，证比例线段往往转化为证相似三角形；测量问题，往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．
b
1．（2017·杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则（ ）
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
2．（2015·嘉兴）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则
的值为（ ）
A.
B．2C.
D.
3．（2015·嘉兴）如图是XX地图的一部分（比例尺1∶4000000）．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西____________________度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为____________________．
【问题】如图，点D在△ABC的边AC上．
（1）要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件是____________________；
（2）若△ADB∽△ABC，AB＝4，AD＝2，则AC＝________；
（3）通过
（1）、
（2）解答，你能说出相似三角形哪些知识？
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理比例、相似多边形有关概念，相似三角形性质、判定．
类型一 比例性质、黄金分割等相关概念
（1）（2016·山西）宽与长的比是
（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：
作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连结EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF＝GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
（2）已知
＝
＝
≠0，求
的值．
【解后感悟】这类题我们一般是设辅助未知数k，即比值为k，把所有字母都用含有k的式子表示出来，从而达到计算或化简的目的．
1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36cm B．13.6cmC．32.36cm D．7.64cm
2．（2015·扬州）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB＝4cm，则线段BC＝
cm.
类型二 相似多边形
已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ADCB相似，则AD＝（ ）
A.
B.
C.
D．2
【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：
对应边的比等于相似比．
3．（2015·葫芦岛）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连结AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连结AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn－1的面积为____________________．
类型三 相似三角形的判定与性质
（2016·南充）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM.
（1）如图1，若点M在线段AB上，求证：
AP⊥BN；AM＝AN；
（2）①如图2，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM＝AN是否成立？
（不需说明理由）
②是否存在满足条件的点P，使得PC＝
？
请说明理由．
【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．
4．
（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且
＝
＝
，则S△ADE∶S四边形BCED的值为（ ）
A．1∶
B．1∶2C．1∶3D．1∶4
（2）（2016·河北）如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
5．
（1）（2015·自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 .
（2）（2015·无锡市南长区模拟）如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D的直线与BC所在直线交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE＝ .
类型四 与相似三角形相关的问题
如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.
6．
（1）已知：
在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连结DE、DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
（2）（2015·杭州模拟）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：
将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新的三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：
将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
（3）（2015·滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y＝－
、y＝
的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（ ）
A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变
7．（2016·龙东）已知，在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE＝
AD，连结CE交BD于点F，则EF∶FC的值是 .
【课本改变题】教材母题－－浙教版教材九上第149页第5题
课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？
请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【方法与对策】本题是课本改变题，试题设置上主要是三角形和矩形的组合，通过基本图形是相似三角形，揭示对应边成比例的关系式来解决问题，再深入探究，规律性较强，这种题型是中考常用的命题方式．
【找不准相似三角形中的对应边】
如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2＝BC·BDB．AB2＝AC·BD
C．AB·AD＝BD·BCD．AB·AD＝AD·CD
参考答案
第28讲 图形的相似
第1课时 相似形
【考点概要】
2．成比例 3.形状 相等 成比例 边 相等 成比例 全等 4.平行 成比例 成比例 相等 相等 成比例 5.相等 成比例 相似比 平方
【考题体验】
1．B 2.D 3.45 80km
【知识引擎】
【解析】
（1）添加条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC或者
＝
；
（2）由△ADB∽△ABC，得
＝
，得AC＝8；（3）相似三角形知识：
性质、判定等．
【例题精析】
例1
（1）设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1.在直角三角形DCF中，DF＝
＝
，∴FG＝
，∴CG＝
－1，∴
＝
，∴矩形DCGH为黄金矩形．故选D.
（2）设
＝
＝
＝k（k≠0），根据题意，得x＝3k，y＝4k，z＝
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