1990考研数二真题及解析.docx
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1990考研数二真题及解析
佃90年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
、填空题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
1tan1
（2）设y=eXsin—，贝Uy'=
X
（3）[xJ1-xdx=.
■"e^dx.
--2
-13
（4）下列两个积分的大小关系是：
e」dx
■■-2
⑸设函数f（x）二1,|x^1,则函数f[f（x）]=
[0,|x>1
二、选择题（每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
/2、
x
（1）已知lim———ax—b=0,其中a,b是常数，则（）
（A）a=1,b=1（B）a-一1,b=1
（C）a=1,b=-1（D）a=-1,b=-1
⑶已知函数f（x）具有任意阶导数，且f（x）=[f（x）]2,则当n为大于2的正整数时，f（x）
的n阶导数f⑴（x）是（）
（A）n!
[f（x）]n1（B）n[f（x）]n1
（C）[f（x）]2n（D）n!
[f（x）]2n
⑷设f（x）是连续函数，且F（x）二f（t）dt,则F（x）等于（）
、x
⑵求由方程2y-x=（x-y）ln（x-y）所确定的函数y=y（x）的微分dy.
1
⑶求曲线y-（x0）的拐点•
1+x2
（4）计算為dx.
（5）求微分方程xlnxdy+（y—lnx）dx=0满足条件yx=e=1的特解•
四、（本题满分9分）
x-y2
在椭圆二-=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所
ab
围图形面积为最小（其中a0,b0）.
五、（本题满分9分）
匚1兀
证明：
当x0,有不等式arctanx.
x2
六、（本题满分9分）
xInt1
设f（x）dt,其中x0,求f（x）f（—）.
11+tx
七、（本题满分9分）
过点P（1,0）作抛物线y=x-2的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形
求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积.
八、（本题满分9分）
求微分方程y••4y•4y=eax之通解，其中a为实数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）
（1）【答案】y-1f3（x-3、、3）
88
兀兀3l1
【解析】将t=—代入参数方程得x,y在t=—处的函数值：
xt」=一丁3,y上』=一；
66t=68冗8
得切点为（3』3,1）.
88
过已知点（x）,y0）的法线方程为y-y0=k（x-拓，当函数在点（x）,y0）处的导数
*1兀
yx盘=0时，k.所以需求曲线在点t处的导数.
yy（x。
）6
由复合函数求导法则，可得
2
dydydtdy/dx3sintcostt
2
dxdtdxdtdt-3costsint
yx
法线斜率为k—、3.所以过已知点的法线方程为y-1=、3（x-33）
88
【相关知识点】复合函数求导法则:
如果u=g（x）在点x可导，而y=f（x）在点u=g（x）可导，则复合函数y=flg（x）]
在点x可导,且其导数为
【解析】原函数对x求导，有
1
‘1
1tan；
11
tan-
sin—ex
cos-
Ix>
x
xx
tan」
x
1tan-
x
=e
，+1*八
tan-21-1
esec—2
xx丿
sin1e
x
〔f（x）g（x）J-f（x）g（x）f（x）g（x）.
2.复合函数的求导法则：
如果u=g（x）在点x可导，而y=f（x）在点u二g（x）可导，则复合函数y=fIg（x）1
在点x可导，且其导数为
业…）g（x）或鱼=直理.
dxdxdudx
4
⑶【答案】一
15
【解析】对于原定积分，有换元法或拆项法可选择，不管是何种方法，最终的目的都是去掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果
方法1:
换元法，令•.1-x=t，原积分区间为0乞x乞1，则0乞1-x乞1，进而0乞••1-x乞1，
新积分区间为0乞t^1；当x=0时，t=1,当x=1时，t=0,故新积分上限为0,下限为1.
d.1-x=dt=dt二——dx-dx，则dx=-2tdt.
2J1—x2t
02
原式二1（1-t2）t（_2tdt）
=2f（t2—t4dt=2』t3—】t
035
=2「
3
515
4
⑷【答案】
3
-x2dx
若f（x）与g（x）在区间[a,b]（a,b为常数，a：
b）上连续且可积，且f（x）_g（x）,则
bb
有af（X）dX_&g（x）dx.
⑸【答案】1
【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域，不能遗漏，求出复合后
函数的所有可能的解析式.
根据f（x）的定义知，当|xQ时,有f（x）=1.代入f[f（x）],又f
（1）=1.于是当|x1
时,复合函数f[f（x）]=1；
当|x|1时,有f（x）7代入f[f（x）],又f（0）=1,即当|x|1时,也有f[f（x）]=1.
因此,对任意的X（」：
，=）,有f[f（X）]三1.
二、选择题（每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】C
【解析】本题考查多项式之比当X『-时的极限.
由题设条件，有
lim
/2
xaxb
=lim
'（1_a）x2_（a+b）x_b、
"丿
二0,
‘1—a=0,
£
否则lim
0-a）x2
_（a+b）x_b'
式0
a+b=0,
x+1/
分析应有
所以解以上方程组，可得a=1,b二-1.所以此题应选C.
⑵【答案】B
【解析】由函数的不定积分公式：
若F（x）是f（x）的一个原函数,f（x）dx=F（x）C,dF（x）=f（x）dx,有
d[f（x）dx]=[f（x）dx]dx=f（x）dx.
所以本题应该选（B）.
⑶【答案】A
【解析】本题考查高阶导数的求法.
2
为方便记y=f（x）.由y—y,逐次求导得
y=2yy'=2y3,y'J3!
y2y'=3!
y4,,
由第一归纳法，可归纳证明y（n）=n!
yn\
假设n=k成立，即y（k^k!
yk',则
y（f=[y（k）]=[k!
yk*=（k+1）!
ykV
二k1!
yk11,
所以n=k亦成立，原假设成立.
⑷【答案】A
e厶
【解析】对F（x）f（t）dt两边求导数得
F（x）二f（ej（eJ-f（x）（x）--「f（e=）-f（x）.
故本题选A.
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：
：
（t）
若F（t）二f（x）dx,:
（t）,-（t）均一阶可导，则
（t）
F（t）二'■（t）f〔⑴l7'（t）f（t）l.
2.复合函数求导法则：
如果u二g（x）在点x可导，而y二f（x）在点u二g（x）可导，则复合函数y=flg（x）1
在点x可导,且其导数为矽二f（u）g（x）或dy=dydu.
dxdxdudx
⑸【答案】B
【解析】由于limF（x）=limf（x）=limf（x）I!
0!
7xjx7x—0
由函数在一点处导数的定义，
yf（x。
：
x）-f（x。
）
f（xo）呷0/啊x，
得I［叫F（x）=f（0）=0=f（0）=F（0）,
所以函数不连续，且极限存在但不等于函数值，故为第一类（可去）间断点，故本题选B.
【相关知识点】1.函数y二f（x）在点怡连续：
设函数f（x）在点怡的某一邻域内有定义
如果limf（x）二f（x。
）,则称函数f（x）在点x。
连续.
2.函数f（x）的间断点或者不连续点的定义：
设函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义只要满足一下三种情况之一即是间断点
（1）在x=x（）没有定义；
（2）虽在=x0有定义，但limf（x）不存在；
（3）虽在x=x0有定义，且limf（x）存在，但limf（x）=f（x0）;
通常把间断点分成两类：
如果怡是函数f（x）的间断点，但左极限f（x^）及右极限
f（x0）都存在，那么x3称为函数f（x）的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点•
三、（每小题5分，满分25分.）
同理可得a=ln3.
（2）【解析】方程两边求微分，得
2dy-dx=In（x-y）d（x-y）（x-y）dIn（x-y）
=（dx-dy）ln（x-y）（x_y）dx—dy,x—y
（3）【解析】对分式求导数，有公式u二uv；uv,所以lv丿V2
2
2（3x-1）
（1x2）3
13
故拐点为（〒，一）.
V34
【相关知识点】1.拐点的定义：
设函数f（x）在点x的某一邻域连续，函数f（x）的图形在点处的左右侧凹凸性相反，则称（x0,f（x0））为曲线f（x）的拐点.
2.拐点判别定理：
（1）设函数f（x）在（怡-',x0■、）连续，在去心邻域（x^},就是区间
（x°-6,怡+6）内不包括点x0二阶可导，且f"（x）（x-X。
）在0cx-x0£6上不变号，则
（X0,f（X0））为拐点.
（2）设函数f（X）在（x^-,x^）二阶可导，f（X。
）=0,又「（X0）=O,则（x°,f（x。
））
为拐点•
本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了
（4）【解析】由-^=灯（1_：
）"^有
（1—X）2（1—X）2（1—X）
牛dx=Inxd（丄）分部法皿-（丄丄）dx
（1-X）21-X1-XX1-X
二xInx|n|1一x|•c,C为任意常数•1—x
注：
分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起更繁杂的计
算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结，积累经验.
【相关知识点】分部积分公式：
假定u=u（x）与v=v（x）均具有连续的导函数，则
uvdx=uv-uvdx,或者udv=uv一vdu.
（5）【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程，其标准形式为
Q11
yy.xlnxx
lnx=|lnx|,两边乘以Inx得（ylnx）
x
四、（本题满分9分）
【解析】对椭圆方程进行微分
bdxay
a2
分别令X=0与Y=0,得切线在x,y上的截距分别为—
x
a,b为常数，欲使得S的最小，则应使得
xy最大；从而问题化为求u=xy（y由椭圆方程所
确定）当x・（0,a）时的最大值点.
22
令u二xy,u'xyry=0,得y丄丿，再对务•％=1两边求导得屯y~0,联
xabab
五、（本题满分9分）
【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边，令其为f（x）,另一边剩下0,
再在给定区间内讨论f（x）的单调性即可证明原不等式
5H11
令f（x）=arctanx,则f（x）22：
：
0（x0）.因此，f（x）在
x21+xx
（0,=：
）上单调减；又有limarctanx,所以
JI
—枫2
xjmf（x）现（几一丿
1
ximx=0,
故0：
：
：
x：
：
：
•二时，f（x）•lim_f（x）=0,所以原不等式得证.
六、（本题满分9分）
1-11—
dt=—2du,t:
1■—:
u:
1rX；uux
由区间相同的积分式的可加性
1
方法2：
令F（x）二f（x）f（―）,则
x
由牛顿-莱布尼兹公式，有
F（x）-F
（1）=
皿dx」In2x,
1x2
而F
（1）=
iInx11
dx=0,故F（x）二f（x）f（）Inxx2
【相关知识点】牛顿-莱布尼兹公式：
设函数f（x）在［a,b］上连续，F（x）为f（x）在［a,b］上
的任意一个原函数，则有
bb
af（x）dx二F（x）a二F（b）-F（a）.
1
（3,1）斜率为-的切线方程为
2
11
y0=1,y"（3）=—j=—.由此，与抛物线相切于
2^3-22
x_2y=1.
旋转体是由曲线y二f（x）,直线x-2y=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所
形成的，求旋转体体积V:
方法1:
曲线表成y是x的函数，V是两个旋转体的体积之差，套用已有公式得
3123,2
V=兀［—（x—1）2dx—兀f（7x—2）2dx
r4、2
3
113312兀
=jr__（x_1）3_兀（一x2_2x）=_.
431226
方法2:
曲线表成x是y的函数，并作水平分割，相应于［y,y+dy］小横条的体积微元，如上
图所示，
dV=2兀y「（y2+2）—（2y+1）1dy,
【相关知识点】1.由连续曲线y=f（x）、直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴
b2
旋转一周所得的旋转体体积为：
Vf（x）dx.
2.设f（x）在［a,b］连续，非负，a0,则曲线y二f（x）,直线x=a,x二b及x轴围成的平
b
面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为：
V=2二xf（x）dx（可用微元法导出）.
八、（本题满分9分）
【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程，特征方程r24r^0的根为
A=r2=-2,原方程右端eax=e*中的g=a•
yP（x）y'Q（x）y=f（x）的一个特解.Y（x）是与之对应的齐次方程
y；P（x）y：
Q（x）y=0的通解，则y二丫（x）•y*（x）是非齐次方程的通解.
2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y（x）,可用特征方程法求解：
即y'P（x）y：
Q（x）y=0中的P（x）、Q（x）均是常数，方程变为\p/qy=0.其特征方程写为r2pr^0,在复数域内解出两个特征根A,。
；分三种情况：
（1）两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y=Ge內C2er2x;
（2）两个相等的实数根*=r2,则通解为y=G•C2xerx1;
（3）—对共轭复根则通解为y=etx（Gcos0x+C2sinBx）.其中C1,C2
为常数•
3.对于求解二阶线性非齐次方程y'P（x）y•Q（x）y=f（x）的一个特解y*（x）,可用待定
系数法，有结论如下：
■*k■
如果f（X）=Pm（x）e丸,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y（x）=XQm（x）e九
的特解，其中Qm（x）是与P,（x）相同次数的多项式，而k按•不是特征方程的根、是特征方
程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
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