等腰三角形第三课时习题及答案.docx

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等腰三角形第三课时习题及答案

10.2等腰三角形第三课时习题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC的长为（）

A.4B.8C.12D.16

3.如图,∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（）

A.6B.5C.4D.3

4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于（）

A.3

B.4

C.5

D.6

5.已知在△ABC中，∠C＝∠A+∠B，则△ABC的形状是（）

A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形

6.在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，若△ABC的周长为60，则AB的长度为（）

A.10B.15C.20D.30

7.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（  ）

A.5B.4C.3D.2

8.如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为（  ）

A.3

B.

C.6

D.

9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝2.5，则∠A的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

10.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝8cm，则AC等于（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．∠B=30°，CD=1，则BD＝__________

12.△ABC中，∠B=60°，AB=BC=2，则△ABC的周长为        ．

13.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝5，BE平分∠ABD，AE∥BD交BE于E．则△ABE的周长是_____．

14.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，BC=

AB，则∠DCB=______．

15.

如图，等边△ABC的边长为8，D、E分别是BC、AC边的中点，过点D作DF⊥AB于F，连接EF，则EF的长为______．

三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）

16.已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=120°，求BC的长.

17.如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．

（1）求证：

△ADE是等边三角形．

（2）求证：

AE=

AB．

18.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，AD＝AE，∠BAD＝60°．试求∠DEC的度数．

19.如图，点C为线段AB上一点，在△ACM，△CBN中，AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠BCN=60°，连接AN交CM于点E，连接BM交CN于点F．

求证：

AN=MB．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

​本题主要考查直角三角形的性质，

​根据直角三角形的性质求出∠BCD=30°再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，从而求出AB即可．

【解答】

解：

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠B=60°，又CD是高，

∴∠BCD=30°，

∴BC=2BD=4cm，

∵∠A=30°，

∴AB=2BC=8cm，

​故选C．

2.【答案】C

【解析】解：

∵AB=AC，∠C=30°，

∴∠B=30°，

又∵AB⊥AD，

∴∠ADB=60°，

∴∠DAC=30°，

∴AD=DC=4，

∵AD=4，∠B=30°，∠BAD=90°，

∴BD=8，

∴BC=BD+DC=8+4=12．

故选C．

利用等腰三角形的性质得出∠B=30°，进而利用三角形的外角以及直角三角形中30度所对的边等于斜边的一半得出答案．

此题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半等知识，正确把握等腰三角形的性质是解题关键．

3.【答案】C

【解析】  ↵

【分析】

本题主要考查三角形的外角性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．过D作DG⊥AC于G，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEG=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG的长度是4，又DE∥AB，所以∠BAD=∠ADE，所以AD是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，得DF=DG． 

【解答】

解：

如下图所示，

∵∠DAE=∠ADE=15°，

∴∠DEG=∠DAE+∠ADE=15°+15°=30°，

DE=AE=8，

过D作DG⊥AC于G，

则DG=

DE=

×8=4，

∵DE∥AB，

∴∠BAD=∠ADE，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DF⊥AB，DG⊥AC，

∴DF=DG=4．

故选C.

4.【答案】A

【解析】【分析】

由∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，BD=AD=6，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．

本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，含30°角的直角三角形性质的应用．

【解答】

解：

∵∠C=90°，∠ABC=60°，

∴∠A=30°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，

∴BD=AD=6，

∴CD=

BD=6×

=3．

故选：

A．

5.【答案】C

【解析】略

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题关键.首先根据题意得出△ABC是等腰三角形，进而得出AB=BC=AC，然后根据周长求出边长即可.

【解答】

解：

∵∠A＝∠B＝60°，

∴∠C=180°-60°-60°=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵△ABC的周长为60，

∴AB=AC=BC=60÷3=20.

​故选C.

7.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答.根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．

【解答】

解：

∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，

∴△ABC为等边三角形

∴∠A=60°，

∵DE⊥AB，

∴∠AED=30°，

∵AD=1，

∴AE=2，

∵BC=6，

∴AC=BC=6，

∴CE=AC-AE=6-2=4.

故选B.

8.【答案】C

【解析】【分析】

由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE=30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．

此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

【解答】

解：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，

∵DE⊥BC，

∴∠CDE=30°，

∵EC=1.5，

∴CD=2EC=3，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，

∴AD=CD=3，

∴AB=AC=AD+CD=6．

故选：

C．

9.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了直角三角形的性质，若直角三角形的一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°，据此进行解答即可．

【解析】

解：

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB＝5，BC＝2.5，

∴AB=2BC，

​∴∠A=30°.

故选A.

10.【答案】C

【解析】解：

∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE=8cm，

∴∠B=∠BAE=15°，

∴∠AEC=30°，且∠ACB=90°，

∴AE=2AC，

∴AC=4cm，

故选：

C．

由线段垂直平分线的性质可得AE=BE=8cm，由直角三角形的性质可求AC的长．

本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线段的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

11.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查了含30°角的直角三角形性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能求出AD的长和求出BD=AD是解此题的关键．根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B=30°，根据含30°角的直角三角形性质求出AD，即可得出答案．

【解答】

解：

∵∠B=30°，∠C=90°，

∴∠CAB=60°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD=30°，

∴AD=BD，

在△ACD中，∠C=90°，CD=1，∠CAD=30°，

∴AD=2CD=2，

即BD=2.

故答案为2.

12.【答案】6

【解析】解：

∵∠B=60°，AB=BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴△ABC的周长=2+2+2=6，

故答案为：

6．

根据等边三角形的判定定理得到△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质计算即可．

本题考查的是等边三角形的判定和性质，掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．

13.【答案】15

【解析】【分析】

此题主要考查了等边三角形的性质与判定，解题时首先利用角平分线的定义和平行线的性质判定等边三角形，然后利用等边三角形的性质求出周长．由∠ABC=60°可以得到∠ABD的度数，然后利用角平分线和平行线的性质可以证明△ABE是等边三角形，由此即可求解．

【解答】

解：

∵在△ABC中，∠ABC=60°，

∴∠ABD=120°，

∵BE平分∠ABD，

∴∠ABE=60°=∠DBE，

∵AE∥BD，

∴∠EAB=∠ABC=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴AB+BE+AE=15，

即△ABE的周长是15．

故答案为15.

14.【答案】30°

【解析】解：

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=

AB，

∴∠A=30°，

∴∠B=60°，

∵CD垂直于AB，垂足为点D，

∴∠CDB=90°，

∴∠DCB=30°，

故答案为：

30°

根据含30°角的直角三角形性质求出∠A，根据三角形内角和定理求出∠B，根据三角形内角和定理求出∠DCB即可．

本题考查了含30°角的直角三角形性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠A的度数是解此题的关键．

15.【答案】2

【解析】

解：

连接DE，

∵D、E分别是BC、AC边的中点，等边△ABC的边长为8，

∴BD=DE=4，DE∥AB，

∴∠CDE=∠B=60°，

∵DF⊥AB，

∴∠BFD=90°，

∴∠BDF=30°，DF=

BD=2

，

∴∠FDE=90°，

∴EF=

=2

，

故答案为：

2

．

连接DE，根据三角形的中位线的性质得到BD=DE=4，DE∥AB，求得∠CDE=∠B=60°，解直角三角形即可得到结论．

本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理正确的作出辅助线是解题的关键．

16.【答案】解：

过点A作AD⊥BC于D．

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

BC=2BD，

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=6，

cosB=

，

∴BD=ABcos30°=6×

=3

，

∴BC=6

.

【解析】略

17.【答案】证明：

（1）∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠C=60°．

∵DE∥BC，

∴∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°．

∴△ADE是等边三角形．

（2）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC．

∵BD平分∠ABC，

∴AD=

AC．

∵△ADE是等边三角形，

∴AE=AD．

∴AE=

​AB．

【解析】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答.

（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．

​

（2）根据等边三角形的性质解答即可．

18.【答案】​解：

∵在△ABC中AB=AC，AD为BC边上的中线，

∴AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAC=∠BAD=60°，

∵AE=AD，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠AED=60°，

∴∠DEC=120°.

【解析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.​在△ABC中AB=AC，AD为BC边上的中线，于是得到AD是∠BAC的平分线，求得∠DAC=∠BAD=60°，由于AE=AD，证得△ADE是等边三角形，推出∠AED=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．

19.【答案】证明：

∵在△ACM，△CBN中，AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠BCN=60°

∴∵△ACM，△CBN是等边三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，

∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中，

​

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN=BM．

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．​由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；