数学新学案同步苏教版必修二讲义第一章 立体几何初步123 第2课时 Word版含答案.docx

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数学新学案同步苏教版必修二讲义第一章立体几何初步123第2课时Word版含答案

第2课时　直线与平面平行的性质

学习目标

　1.理解直线与平面平行的性质定理.2.掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用性质定理证明一些简单的问题．

知识点　直线与平面平行的性质定理

思考1　如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？

为什么？

答案　不一定，因为还可能是异面直线．

思考2　如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？

直线a，b有什么位置关系？

答案　无数个，a∥b.

梳理

表示

定理　

图形

文字

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直线与平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

⇒a∥b

1．若直线l∥平面α，且b⊂α，则l∥b.（　×　）

2．若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线．（　×　）

3．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.（　×　）

类型一　线面平行的性质定理的应用

例1　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：

AP∥GH.

证明　连结MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点．

又∵M是PC的中点，

∴AP∥OM.

又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

∴AP∥平面BDM.

又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，

∴AP∥GH.

反思与感悟　

（1）利用线面平行的性质定理解题的步骤

①确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；

②确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；

③确定交线；

④由定理得出结论．

（2）常用到中位线定理、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等．具体应用时，应根据题目的具体条件而定．

跟踪训练1　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：

截面MNPQ是平行四边形．

证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，

所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.

同理AB∥PQ，

所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.

所以截面MNPQ是平行四边形．

例2　如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

解　如图，连结BD交AC于点O1，连结OM，

因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，

所以PC∥OM，所以

＝

.

在菱形ABCD中，

因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以

＝

.

又AO1＝CO1，

所以

＝

＝

，

故PM∶MA＝1∶3.

反思与感悟　破解此类题的关键：

一是转化，即把线面平行转化为线线平行；二是计算，把要求的线段长或线段比问题，转化为同一个平面内的线段长或线段比问题去求解，此时需认真运算，才能得出正确的结果．

跟踪训练2　如图所示，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为______．

答案　1

解析　连结BC1，设B1C∩BC1＝E，

连结DE.

由A1B∥平面B1CD可知，A1B∥DE.

因为E为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，

所以A1D∶DC1的值为1.

类型二　线线平行与线面平行的相互转化

例3　已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：

另一条也平行于这个平面．

解　如图，已知直线a，b，平面α，且a∥b，a∥α，a，b都在平面α外．

求证：

b∥α.

证明：

过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c.

因为a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以a∥c，

因为a∥b，所以b∥c，

又因为c⊂α，b⊄α，所以b∥α.

反思与感悟　直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理．

跟踪训练3　如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：

FG∥平面ADD1A1.

证明　因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，

EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，

所以EH∥平面BCC1B1.

又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，

所以EH∥FG，即FG∥A1D1.

又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，

所以FG∥平面ADD1A1.

1．已知a，b表示直线，α表示平面．下列命题中，正确的个数是________．

①若a∥α，b∥α，则a∥b；

②若a∥α，b⊂α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α.

答案　0

解析　①错，直线a与b的关系可以是平行，也可以是相交或异面；②错，a与b可能平行，也可能异面；③错，直线a也可能在平面α内．

2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线________．（填序号）

①只有一条，不在平面α内；

②有无数条，不一定在α内；

③只有一条，且在平面α内；

④有无数条，一定在α内．

答案　③

解析　由线面平行的性质定理知，过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故填③.

3．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是________．

答案　梯形

解析　如图所示，AC∥平面EFGH，则EF∥HG.而对角线BD与平面EFGH不平行，

所以EH与FG不平行．

所以EFGH是梯形．

4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．

答案　

解析　∵EF∥平面AB1C，

又平面ADC∩平面AB1C＝AC，

EF⊂平面ADC，∴EF∥AC.

∵E是AD的中点，∴EF＝

AC＝

×2

＝

.

5.如图所示，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：

BB1∥EE1.

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质证明平行问题

证明　∵BB1∥CC1，BB1⊄平面CDD1C1，CC1⊂平面CDD1C1，

∴BB1∥平面CDD1C1.

又BB1⊂平面BEE1B1，且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，

∴BB1∥EE1.

1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．

一、填空题

1．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为________．

①都平行；

②都相交但不一定交于同一点；

③都相交且一定交于同一点；

④都平行或都交于同一点．

答案　④

解析　分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点．

2.如图，已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是__________．

答案　平行

解析　∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.

又∵a⊂α，α∩γ＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c.

3．已知异面直线a，b外的一点M，那么过点M可以作________个平面与直线a，b都平行．

答案　0或1

解析　过点M分别作直线a，b的平行线，若其中一条平行线与已知直线a或b相交，则满足题意的平面不存在．否则过点M的两条相交直线确定的平面与a，b都平行．

4．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是________．（填序号）

①如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α；

②如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；

③如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n；

④如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n.

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质判定位置关系

答案　③

解析　由线面平行的性质定理知③正确．

5.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为____________．

答案　3＋2

解析　∵CD∥AB，CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，

∴CD∥平面SAB.

又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，

又CD∥AB，∴AB∥EF.

∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线，

∴EF＝

AB＝1，

又DE＝CF＝

，

∴四边形DEFC的周长为3＋2

.

6.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．

答案　平行四边形

解析　∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，

∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，

∴四边形EFHG是平行四边形．

7.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.

答案　m∶n

解析　∵AC∥平面EFGH，

∴EF∥AC，HG∥AC，

∴EF＝HG＝

m.

同理，EH＝FG＝

n，

∴

m＝

n，

∴AE∶EB＝m∶n.

8．已知正方体AC1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为________．

答案　

解析　如图，连结AD1，AB1，

∵PQ∥平面AA1B1B，

平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，

PQ⊂平面AB1D1，∴PQ∥AB1，

∴PQ＝

AB1＝

＝

.

9．如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________．

答案　4

＋6

解析　由EF∥平面BCC1B1可知，平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4

＋6

.

10.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

考点　直线与平面平行的性质

题点　与线面平行性质有关的计算

答案　

a

解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，

∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝

，

故PQ＝

＝

DP＝

.

二、解答题

11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：

AC∥FG.

证明　∵AC∥A1C1，

A1C1⊂平面A1EC1，

AC⊄平面A1EC1，

∴AC∥平面A1EC1.

又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.

12.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.

（1）求证：

BC∥l；

（2）MN与平面PAD是否平行？

试证明你的结论．

（1）证明　∵BC∥AD，AD⊂平面PAD，

BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.

又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，

∴BC∥l.

（2）解　MN∥平面PAD.

证明如下：

如图所示，取PD的中点E.

连结EN，AE.

∵N为PC的中点，

∴EN綊

AB.

∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，

∴AE∥MN.又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在侧棱PC上，且PM＝tPC，若PA∥平面MQB，试确定实数t的值．

解　如图，连结BD，AC，AC交BQ于点N，交BD于点O，连结MN，

则O为BD的中点．

∵BQ为△ABD中AD边的中线，

∴N为正三角形ABD的中心．

设菱形ABCD的边长为a，则AN＝

a，AC＝

a.

∵PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，

平面PAC∩平面MQB＝MN，

∴PA∥MN，

∴PM∶PC＝AN∶AC，

即PM＝

PC，则t＝

.

三、探究与拓展

14.长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形．E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8.P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝________.

答案　2

解析　连结AC交BD于点O，连结PO，

过点C作CQ∥OP交AA1于点Q.

∵EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF，

平面EACF∩平面PBD＝PO，

∴EF∥PO.

又∵CQ∥OP，∴EF∥QC，QE＝CF，

∵四边形ABCD是正方形，CQ∥OP，

∴PQ＝AP＝2.

∵AE＋CF＝AP＋PQ＋QE＋CF

＝2＋2＋CF＋CF＝8，

∴CF＝2.

15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．

考点　直线与平面平行的性质

题点　利用性质证明平行问题

解　若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，

连结MN，NF.

因为BF∥平面AA1C1C，

BF⊂平面FBMN，

平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，

所以BF∥MN.

又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，

平面FBMN∩平面AEF＝FN，

所以MB∥FN，

所以BFNM是平行四边形，

所以MN∥BF，MN＝BF＝1.

而EC∥FB，EC＝2FB＝2，

所以MN∥EC，MN＝

EC＝1，

故MN是△ACE的中位线．

所以当M是AC的中点时，

MB∥平面AEF.