九年级数学中考复习小专题突破训练全等三角形的应用附答案.docx

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九年级数学中考复习小专题突破训练全等三角形的应用附答案

2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：

全等三角形的应用（附答案）

1．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：

根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）

A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去

3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（　　）

A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去

4．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．SSSD．AAS

5．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

6．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？

应该带（　　）

A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块

7．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

8．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接BC并延长至E，使CE＝CB，连接ED．若量出DE＝58米，则A，B间的距离即可求．依据是（　　）

A．SASB．SSSC．AASD．ASA

9．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

10．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

11．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）

A．SASB．HLC．SSSD．ASA

12．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（　　）

A．SSSB．ASAC．AASD．SAS

13．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．HL

14．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？

应该带第　　块．

15．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE＝　　度．

16．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第　　块去．（填序号）

17．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①，②，③，④的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？

应该带第　　块．

18．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是　　．

19．如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并分别延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接CD．测得CD长为10m，则池塘宽AB为　　m．理由是　　．

20．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带　　去配，这样做的数学依据是　　．

21．利用两块完全相同的直角三角板测量升旗台的高度．首先将两块完全相同的三角板按图1放置，然后交换两块三角板的位置，按图2放置．测量数据如图所示，则升旗台的高度是　　cm．

22．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带　　去玻璃店．

23．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为　　m．

24．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连结BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出　　的长就等于AB的长．这是因为可根据　　方法判定△ABC≌△DEC．

25．如图，为了测量池塘两端点A，B间的距离，小亮先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE．现测得DE＝30米，则AB两点间的距离为　　米．

26．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为　　cm/s时，△ACP与△BPQ全等．

27．把两根钢条A′B、AB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽工具（卡钳）．如图，若测得AB＝5厘米，则槽为　　厘米．

28．如图，A，B在一水池的两侧，若BE＝DE，∠B＝∠D＝90°，点A，E，C在同一条直线上，CD＝8cm，则水池宽AB＝　　cm．

29．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段　　即可．

30．如图，⊙O的半径为4

，点B是圆上一动点，点A为⊙O内一定点，OA＝4，将AB绕A点顺时针方向旋转120°到AC，以AB、BC为邻边作▱ABCD，对角线AC、BD交于E，则OE的最大值为　　．

31．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是　　（用字母写出）．

32．如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC＝BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的DC长为b，瓶直壁厚度x＝　　（用含a，b的代数式表示）．

33．把等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式立在桌面上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点分别距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离即DE的长为　　．

34．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．

（1）画出测量图案；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．

35．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．

（1）求证：

△ADC≌△CEB；

（2）求两堵木墙之间的距离．

36．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．

（1）证明△ACD≌△CBE；

（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？

请说明理由．

37．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？

38．小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：

在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝　　，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段　　的长度就是AB的长．

（1）按小明的想法填写题目中的空格；

（2）请完成推理过程．

39．数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF．

求证：

∠AOE＝∠EOF＝∠FOD．

40．如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？

41．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）

（1）线段　　的长度就是A、B两点间的距离

（2）请说明

（1）成立的理由．

42．课间，小明拿着老师的等腰直角三角板的三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示．

（1）求证：

△ADC≌△CEB；

（2）若DE＝42cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

参考答案

1．解：

在△ADC和△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC＝∠BAC，

即∠QAE＝∠PAE．

故选：

D．

2．解：

A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；

B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；

C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；

D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．

故选：

C．

3．解：

第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．

故选：

C．

4．解：

∵O是AA′、BB′的中点，

∴AO＝A′O，BO＝B′O，

在△OAB和△OA′B′中

，

∴△OAB≌△OA′B′（SAS），

故选：

A．

5．解：

∵在△ONC和△OMC中

，

∴△MOC≌△NOC（SSS），

∴∠BOC＝∠AOC，

故选：

A．

6．解：

1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．

故选：

B．

7．解：

在△ADC和△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC＝∠BAC，

∴AC就是∠DAB的平分线．

故选：

A．

8．解：

在△ABC和△DEC中，

，

△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB＝DE＝58米，

故选：

A．

9．解：

根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．

故选：

C．

10．解：

如图，∠A、AB、∠B都可以测量，

即他的依据是ASA．

故选：

B．

11．解：

因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：

CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．

故选：

D．

12．解：

观察图形发现：

AC＝DC，BC＝BC，∠ACB＝∠DCB，

所以利用了三角形全等中的SAS，

故选：

D．

13．解：

因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：

CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．

故选：

C．

14．解：

1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．

故答案为：

2．

15．解：

∵△ABC与△DEF均是直角三角形，BC＝EF，AC＝DF

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）

∴∠ABC＝∠DEF

∵∠DEF+∠DFE＝90°

∴∠ABC+∠DFE＝90°．

故填90

16．解：

第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．

故答案为：

③．

17．解：

②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第①块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．

故答案为：

①．

18．解：

∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠ABD＝∠EDC＝90°，

在△EDC和△ABC中，

，

∴△EDC≌△ABC（ASA）．

故答案为：

ASA．

19．解：

在△APB和△DPC中

，

∴△APB≌△DPC（SAS）；

∴AB＝CD＝10米（全等三角形的对应边相等）．

故池塘宽AB为10m．理由是全等三角形的对应边相等．

故答案为：

10，全等三角形的对应边相等．

20．解：

第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．

故答案为：

③；两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

21．解：

设升旗台的高度是zcm，AC＝xcm，BC＝ycm．

由题意：

，

①+②可得，2z＝138，

∴z＝69，

故答案为69．

22．解：

第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．

故答案为：

③．

23．解：

∵AB∥DE，AC∥DF，

∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS），

∴BC＝EF，

∴BC﹣FC＝EF﹣FC，

即BF＝CE＝5m，

∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14m﹣5m﹣5m＝4m；

故答案为：

4．

24．解：

量出DE的长就等于AB的长．这是因为可根据SAS方法判定△ABC≌△DEC．

故答案为：

DE，SAS．

25．解：

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB＝DE＝30米，

故答案为：

30．

26．解：

设点Q的运动速度是xcm/s，

∵∠CAB＝∠DBA，

∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：

①AP＝BP，AC＝BQ，

则1×t＝4﹣1×t，

解得：

t＝2，

则3＝2x，

解得：

x＝1.5；

②AP＝BQ，AC＝BP，

则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，

解得：

t＝1，x＝1，

故答案为：

1或1.5．

27．解：

连接AB，

∵把两根钢条A′B、AB′的中点连在一起，

∴A′O＝OB，B′O＝AO，

在△ABO和△A′B′O中

，

∴△AOB≌△A′OB′（SAS），

∴A′B′＝AB＝5cm，

故答案为：

5．

28．解：

在△ABE和△CDE中

，

∴△ABE≌△CDE（ASA），

∴CD＝AB＝8cm．

故答案为：

8．

29．解：

利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明△ABC≌△EDC，

故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．

故答案为：

DE．

30．解：

如图，构造等腰△OAF，使得AO＝AF，∠OAF＝120°，连接CF，OB，取AF的中点J，连接EJ．

∵∠BAC＝∠OAF＝120°，

∴∠BAO＝∠CAF，

∵AB＝AC，AO＝AF，

∴△OAB≌△FAC（SAS），

∴CF＝OB＝4

，

∵四边形BCDA是平行四边形，

∴AE＝EC，∵AJ＝JF，

∴EJ＝

CF＝2

，

∴点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，

易知OJ＝2

当点E在OJ的延长线上时，OE的值最大，最大值为OJ+JE＝2

+2

，

故答案为2

+2

．

31．

解：

①设已知角的顶点为O，以O为圆心，任意长度为半径画圆，交角两边为A，B两点；

②用直尺画一条射线，端点为M，以M为圆心，用同样的半径画圆，该圆为圆M，交射线为C点；

③以A为圆心，以AB为半径画圆，然后以C点为圆心，以同样的半径画圆，交圆M于D，E两点，随意连MD或者ME；

得到的∠CMD就是所求的角；

由以上作角过程不难看出有三个对应边相等．

∴证明全等的方法是SSS．

故答案为：

SSS．

32．解：

∵AC＝BD，O为AC、BD的中点，

∴DO＝OB．OA＝CO，

在△DOC和△BOA中

，

∴△DOC≌△BOA（SAS），

∴AB＝DC＝b，

∴x+x+b＝a，

解得：

x＝

．

故答案为：

．

33．解：

∵∠CEA＝∠ADB＝∠CAB＝90°，

∴∠ECA+∠EAC＝∠EAC+∠DAB＝∠DAB+∠DBA＝90°，

∴∠ECA＝∠DAB，∠EAC＝∠DBA，

在△AEC和△BAD中

，

∴△AEC≌△BAD（ASA），

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．

故答案为：

8cm．

34．解：

（1）见图：

（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO＝OC，连接AO并延长到点D使OD＝AO，连接CD，则AB＝CD．测量DC的长度即为AB的长度；

（3）设DC＝m

∵BO＝CO，∠AOB＝∠COD，AO＝DO

∴△AOB≌△COD（SAS）

∴AB＝CD＝m．

35．

（1）证明：

由题意得：

AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，

∴∠BCE＝∠DAC

在△ADC和△CEB中

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）解：

由题意得：

AD＝2×3＝6cm，BE＝7×2＝14cm，

∵△ADC≌△CEB，

∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，

∴DE＝DC+CE＝20（cm），

答：

两堵木墙之间的距离为20cm．

36．

（1）证明：

∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，

∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，

∵在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（SAS）；

（2）解：

∵△ACD≌△CBE，

∴∠EBC＝∠ACD，

∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，

∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，

＝180°﹣∠ACB，

∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，

∴∠ACB＝60°，

∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，

∴∠BFC无变化．

37．解：

量出DE的长就等于AB的长，理由如下：

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB＝DE．

38．解：

（1）在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝CB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE的长度就是AB的长．

故答案为：

CB，DE；

（2）由题意得DG⊥BF，

∴∠CDE＝∠CBA＝90°，

在△ABC和△EDC中，

，

∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴DE＝AB（全等三角形的对应边相等）．

39．证明：

在△AOE和△COE中，

，

∴△AOE≌△COE（SSS），

∴∠AOE＝∠COE，

同理∠COE＝∠FOD，

∴∠AOE＝∠EOF＝∠FOD．

40．证明：

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）

∴∠ABC＝∠DEF

又∵∠DEF+∠DFE＝90°

∴∠ABC+∠DFE＝90°

即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．

41．解：

（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；

故答案为：

DE；

（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD

∴∠ABC＝∠EDC＝90°

又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD

∴△ABC≌△CDE（ASA）

∴AB＝DE．

42．

（1）证明：

由题意得：

AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，

∴∠BCE＝∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）解：

由题意得：

∵一块墙砖的厚度为a，

∴AD＝4a，BE＝3a，

由

（1）得：

△ADC≌△CEB，

∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，

∴DC+CE＝BE+AD＝7a＝42，

∴a＝6，

答：

砌墙砖块的厚度a为6cm