高等代数北大版课件1.7多项式函数.ppt

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4最大公因式,5因式分解,6重因式,10多元多项式,11对称多项式,3整除的概念,2一元多项式,1数域,7多项式函数,9有理系数多项式,8复、实系数多项式的因式分解,第一章多项式,一、多项式函数与根,二、多项式函数的有关性质,1.7多项式函数,一、多项式函数与根,1.多项式函数,设,数,将的表示式里的用代替，得到P中的数,称为当时的值，记作,这样，对P中的每一个数，由多项式确定P中唯一的一个数与之对应，于是称为P上的一个多项式函数,若多项式函数在处的值为0，即,则称为的一个根或零点,2.多项式函数的根（或零点）,易知，若,则，,（余数定理）：

用一次多项式去除多项式,所得余式是一个常数，这个常数等于函数,值,二、多项式函数的有关性质,1.定理7,例1求在处的函数值.,法一：

把代入求,用去除所得余数就是,法二：

答案：

若是的重因式，则称为,的重根.,当时，称为的单根,当时，称为的重根,2.多项式函数的k重根,定义,注：

是的重根是的重因式,有重根必有重因式,反之不然，即有重因式未必有重根,例如，,为的重因式，但在R上没有根,3.定理8（根的个数定理）,任一中的次多项式在中的根,不可能多于个，重根按重数计算,4.定理9,且,若有使,则,证：

设,若即,时，由因式分解及唯一性定理，,可分解成不可约多项式的乘积，,由推论，的根的个数等于分解式中,一次因式的个数，重根按重数计算，且此数,此时对有,即有0个根.,定理8,证：

令则有,由定理，若的话，则,矛盾,所以，,即,定理9,解：

若,即,则,此时，有重根，,为的三重根,若,即,则,此时，有重根，,为的二重根,例3举例说明下面命题是不对的,解：

令则,但,是的2重根，,不是的根，从而不是的3重根,例4若求,解：

从而，1为的根,于是有，,