数学建模 贷款购房试用版.docx

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数学建模贷款购房试用版

数学建模一周论文

论文题目：

购房贷款比较问题

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摘要:

这是一个关于银行住房贷款偿还问题的数学模型。

本文根据已知利率，以及贷款金额，分别针对等额本息还款法和预付费还款法，我们建立线性方程数学模型，推导出还款总额，还款总利息，月均还款额的通用公式。

对于问题代入还款年限，即二十二年、二十五年，根据通用公式容易计算出二十二年及二十五年的两种还款方式的月均还款额，以及还款总额，对比选择最优还款方式。

通过模型的建立与求解得出：

二十五年等额本息还清贷款，则还款总额为264198元，年均还款额为10567.92元；二十二年预付费还清贷款，则还款总额为236494.24元，年均还款额为10749.74元。

由此可知选择预付费还款更划算。

此模型给出的公式和程序能适合固定任意年限情况下的相关计算，适用范围较广。

此外，我们制定了柱状图，便于用户直观形象比较两种还款方式，根据自己的收入情况选择适合自己的还款方式。

关键词：

住房贷款，等额本息，预付费

一、问题的重述

小李夫妇有向银行等额本息还款法和向房产金融机构还款法两种还款方式，小李夫妇准备向银行贷款10万元购房、有22年、25年还清，两种还款方式，所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而预付费还款法（就是先付4000元还款法），即开始先付些然后每月偿还贷款相同，直至期满还清。

现在我们需要帮助小李夫妇通过建立数学模型分析一下，就两种还款方式，小李夫妇应选择哪种还款方式比较划算，并通过数学模型解决以下问题：

（五）购房贷款的比较

小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清.

房产商介绍的一家金融机构提出：

贷款10万元，每半月还款440.33元,22年还清,不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付4000元..

小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3万2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的.

因此我们可以假设出两种方案

1.假如小李夫妇每月应向银行还款的数目，25年到期后李先生总共要向银行还款的数目。

2.假如李先生计划22年还清贷款，李先生每月应向银行还款数目，22年到期后，李先生总共要向银行还款数目。

二、问题的分析

目前有两种还款方式。

等额本息还款法：

每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清，容易作出预算。

还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返，还供款中本金比重增加。

等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士。

而预付费款法：

一开始要先付费较多，而后半月都一样的款额，直至期满还清。

借款人在开始还贷时，每月负担比等额本息要重。

但随着时间推移，还款负担便会减轻。

所以我们可知等额本金还款法适合目前收入较高的人群。

假设小李夫妇能够支付这两种不同的还款方式，我们需要帮助他建立等额本息和等额本金还款法的数学模型，以选择最佳还款方式。

对于问题一和问题二模型差不多，分别建立两种还款方式的模型，只需改变贷款年限即可解决问题。

对于问题即根据问题一、二建立的模型，反过来求解出月偿还金额在满足小于等于896.21元的前提下的月还款额和还款年限。

三、问题假设

为了使问题更加明了清晰，便于计算，同时便于扩展因此特作如下假设：

1.假设小李夫妇每月能够按时支付房屋贷款所需的还款金额。

2.假设贷款年利率确定，无论还款期为多少年，在还款期间均为5.94%（设个假定值）保持不变。

3.假设银行贷给小李夫妇的本金是在某个月的1号一次到位的，在本金到位后的下个月1号开始还钱。

四、符号的约定

A:

小李夫妇向银行贷款的本金

B:

小李夫妇平均每期应还的本金

C:

小李夫妇应向银行还款的总额

D:

小李夫妇的利息负担总和

α:

小李夫妇向银行贷款的月利率

β:

小李夫妇向银行贷款的年利率

m:

小李夫妇贷款期

n:

小李夫妇总的还款期数

根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：

（1）C=B*m

（2）C=A*（1+β）

五、模型的建立与求解

5.1等额本息还款模型的求解

建立住房贷款问题的线性方程数学模型，得到差分方程，利用等比数列求和公式求出差分方程的解，导出贷款期、利率与每期还款额的关系。

（1）题中贷款期在1年以上：

因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，

即有关系式：

α=β/12

设月均还款总额是x（元）880.66

（i=1…n）是小李夫妇在第i期1号还款前还欠银行的金额：

880.66

（i=1…n）是小李夫妇在第i期1号还钱后欠银行的金额.：

263317.34

根据上面的分析，有

第1期还款前欠银行的金额：

264198

第1期还款后欠银行的金额：

263317.34

……

第i期还款前欠银行的金额：

264198-880.66*（i-1）

第i期还款后欠银行的金额：

264198-880.66*i

第n期还款前欠银行的金额：

264198-880.66*（n-1）

第n期还款后欠银行的金额：

264198-880.66*n

因为第n期还款后，小李夫妇欠银行的金额就还清.也就是说：

不欠银行的钱，

即

这就是年均还款总额的公式。

C/n

因此，小李夫妇总的还款总额就等于：

264198

利息负担总和等于：

164198

利用以上公式可以分别计算出等额本息还款法25年和22年还清贷款的还款总额和年均还款额。

25年等额本息还清贷款则有：

还款总额C=880.66*12825=264198，

年均还款额x=C/n=264198/（12*25）=10567.92

22年等额本息还清贷款则有：

还款总额：

C=4000+440.33*2*12*22=236494.24，

年均还款额x=C/n=236494.24/（12*22）=10749.79

5.预付费还款模型的求解

小李夫妇除了上面的等额本息还款法外，还有另一种还款方法：

预付还款法（递减法）：

每期还给金融机构相等的本金，但小李夫妇每月的利息负担就会不同.利息负担应该是随本金逐期递减.因此，我们就可得小李夫妇每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给金融机构没还的本金的利息.

（1）1年期的贷款，银行都要求小李夫妇实行到期一次还本付息，利随本清.因此，1年期的还款总额为：

14567.92

而利息负担总和为：

4182.2

（2）题中贷款期在1年以上.

设李先生第i期应付的金额为（i=1，2,3，…,n）（单位：

元）

因此，李先生第一期应付的金额为：

4440.66

第二期应付的金额为：

440.66

……

那么，李先生第n期应付的金额为：

440.66

累计应付的还款总额为：

236494.24

利息负担总和为：

136494.24

利用以上公式可以分别计算出等额本金还款法25年和22年还清贷款的还款总额和年均还款额。

二十五年等额本金还清贷款则有：

还款总额880.66*12*25=264198；

年均还款额=26498/25=10567.92

二十二年等额本金还清贷款则有：

还款总额4000+880.66*22=2364994.24

年均还款额2364994.24/22=10749.47

等额本息还款

贷款期限月利率总还款额月均还款额

二十五年0.495%265726.6880.66

二十二年0.495%251754.9896.21

预付费还款

贷款期限月利率总还款额总还款利息年均还款额

二十五年0.495%2641985890510567.92

二十二年0.495%236494.244702510749.47

等额本息还款法还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返，还供款中本金比重增加。

如果小李夫妇现期收入少，预期收入将稳定或增加，预算清晰和收入稳定，则建议采用该还款方式，但预付费还款法存在开发商的信用问题。

而等额本金还款法李先生在开始还贷时，每月负担比等额本息要重，但随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻。

如果他收入较高，则建议采用该方法还款。

两种还款方式相比之下，等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十期的负担相对的会很重。

李先生具体采用哪种还款方式还要根据他自身情况而定。

25年和22年等额本金还款每月还款额详见表附录一。

5.3固定月还款额模型的求解

由以上5.1及5.2所建模型可以知道

1.采用等额本息还款方式可以知道

又因为李先生每月可以支付1500元，则x的值满足小于等于1500即可，由此建立数学模型：

x<=1500;解得n=218.48028；即需要18.20669年方可还清贷款，考虑到现实生活问题分两种情况：

（1）25年还清：

年均还款额：

10567.92元，总还款额：

264198元

（2）22年还清：

年均还款额：

10749.47元，总还款额：

236494元

假如小李夫妇能够采用其他方式使自己的每月可支付额比1500元多10元，则建议他选择25年还清贷款。

如果月支付额无法达到1510元，则只有选择22年还清贷款，但比前者多出25074.76元。

2.采用预付费还款方式：

由于该还款法中只有第一个月需支付的费用最多，以后贷款利息减少，则只需满足第一月支付金额小于等于1500元即可，因为：

，其中B=A/n,解方程<=1500得到，当=1500时n=390.21568，即需要22年方可还清贷款。

年均还款额：

10749.74，总还款额：

236494.24元。

由以上建立的模型通过计算分析可以知道，小李夫妇若一个月能支付880.66元，那么他采用等额本息还款方式能在比较短的时间内还清，而且支付的总还款额相对较少。

等额本息还款法不但还款金额比预付费还款法多而且还款时间长。

所以建议小李夫妇采取预付费还款法。

六、模型的优缺点与改进方向

1.模型的优点：

（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，，实用性较高和可信度较高。

（2）本文建立的模型计算简便可用范围很广，推广容易，同时扩展也较容易。

（3）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，不仅满足本身需要而且还能解决相近或相似的问题从而使模型更贴近实际，更实用。

（4）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。

（5）借助图表，比较形象直观。

2.模型的缺点：

（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。

（2）利率的精确度不同以及计算结果里小数的取值，可能造成一定误差，计算过程中忽略了利率的变动。

（3）经济社会中随机因素较多，像房价的宏观调控，使模型不能将其准确反应出来。

（4）模型未得到准确的验证。

3.模型的改进方向:

（1）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响。

（2）考虑通货膨胀等市场经济中的因素，对利率有更准确的计算方法。

（3）找出准确的验证方法。

参考文献

[1]住房贷款的数学模型2011-5-15

[2]刘锋，葛照强.数学建模.南京：

南京大学出版社，2005.9

[3]韩中庚.数学建模方法及其应用.北京：

高等教育出版社，2009.6

[4]马德炎.一个初等模型购房贷款决策问题.数学通讯.2011年05期.22—23页.2011

2011年10月10日

论文题目：

购房贷款比较问题

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