专题七下第2讲.docx

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专题七下第2讲

第2讲几何证明选讲、不等式选讲

高考定位高考对本内容的考查主要有：

（1）三角形及相似三角形的判定与性质;

⑵圆的相交弦定理，切割线定理；⑶圆内接四边形的性质与判定；（4）相交弦定理.

本内容考查属B级要求；（5）含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利

用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求.

真题感悟

1.

AP丄PC,

（2017江苏卷）如图，AB为半圆0的直径，直线PC切半圆0于点C,

P为垂足.

求证：

⑴/PAC=/CAB;

（2）AC2=AP•B.

证明

（1）因为PC是圆O的切线，所以/PCA=/CBA，

又AP丄PC,所以/PAC+/PCA=90°

因为AB为半圆0的直径，所以/CAB+/CBA=90°

所以/PAC=/CAB.

APAC

⑵由⑴可得ARAC^ACAB，所以AC=AB，

所以AC2=APAB.

2.（2016江苏卷）如图，在△ABC中，/ABC=90°BD丄AC,

为垂足，E是BC的中点，求证：

/EDC=/ABD.

证明由BD丄AC.可得/BDC=90°

1

由E为BC中点，可得DE=CE=2BC，

则/EDC=/C,由/BDC=90°得/C+/DBC=90°

又/ABC=90°则/ABD+/DBC=90°

•••/ABD=/C,

又•••/EDC=/C,A/EDC=/ABD.

3.（2017江苏卷）已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd<8.

证明由柯西不等式可得（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2,

即（ac+bd）2<4X16=64,故ac+bd<8.

aa

4.（2016江苏卷）设a>0,|x—1|v3,|y—2|v3,求证：

|2x+y—4|va.

a2a

证明由a>0,x—1|v3可得|2x—2|<"3,

a

又|y—2|v3,

2aa

•-|2x+y—4|=|（2x—2）+（y—2）|<|2x—2|+|y—2|<§+3=a.

则|2x+y—4|va成立.

考点整合

1.相似三角形的判定定理

判定定理1:

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定定理2:

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似判定定理3:

对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

2.

（1）圆内接四边形的性质定理:

①圆的内接四边形的对角互补;

②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角

（2）圆内接四边形判定定理：

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.

3.

（1）圆的切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径.

（2）圆的切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

⑶弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角

（4）相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

⑸切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

4.含有绝对值的不等式的解法

（1）|f（x）|>a（a>0）?

f（x）>a或f（x）v—a；⑵|f（x）|va（a>0）?

—a

⑶对形如|x—a|+|x—b|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.

5.柯西不等式

（1）设a，b，c，d为实数，则（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2，当且仅当ad=be时等号成立.

nnn

⑵若ai，bi（i€N*）为实数，则（j^a2）昌$>（&&4）2,当且仅当b=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k，使得a=kbi（i=1，2，…，n）时，等号成立.

⑶柯西不等式的向量形式：

设a，P为平面上的两个向量，则la101》1aB当且

仅当这两个向量同向或反向时等号成立.

6.证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法.另外还有拆项法、添项法、

换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等

热点一三角形相似的判定及应用

［命题角度1］利用弦切角定理证明三角形相似

【例1—1】如图，已知圆上的弧AC=BD,过C点的圆的切

线与BA的延长线交于E点.

证明：

（1）/ACE=/BCD;

（2）BC2=becd.

证明

（1）因为AC=BD，所以/ABC=/BCD.

又因为EC与圆相切于点C,故/ACE=/ABC,

所以/ACE=/BCD.

（2）因为/ECB=/CDB,/EBC=/BCD,BCCD

所以ABDCs^ecB,故CD,g卩bc2=becd.

探究提高在证明角或线段相等时，证三角形相似是首选的解题思路，如果涉及弦切角，则需考虑弦切角定理.

［命题角度2］利用圆周角、圆心角定理证明三角形相似

【例1—2】如图，已知圆0是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高,

AE是圆0的直径，过点C作圆0的切线交BA的延长线于点F.

（1）求证：

ACBC=ADAE;

⑵若AF=2，CF=2^2,求AE的长.

（1）证明连接BE，由题意知△ABE为直角三角形.

因为/ABE=/ADC=90°/AEB=/ACB，

所以△ABE^^ADC,

斤g、jABAE所以AD=AC，

即ABAC=ADAE.

又AB=BC,所以ACBC=ADAE.

⑵解因为FC是圆O的切线，所以FC2=faFB，

又AF=2，CF=2p2,所以BF=4，AB=BF—AF=2,

因为/ACF=/FBC，又/CFB=/AFC，

所以△AFC^^CFB.

所以Fc=BC，得AC=CF=72,在AABC中,

—BC2+AC2—AB24+2—4cos/acd=—2BC7C~=2x2^2=4，

•••sin/ACD=乎=sin/AEB,•••AE二sinZBKEB^零

探究提高在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理.同

时，要注意等量的代换.

【训练1】（2014江苏卷）如图，AB是圆0的直径，C,D是圆0上位于AB异

侧的两点.

证明：

/OCB=/D.

证明因为B,C是圆0上的两点,

所以OB=OC.

故/OCB=/B.

又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,

故/B,/D为同弧所对的两个圆周角，所以/B=/D.

因此/OCB=/D.

热点二四点共圆的判定及性质

［命题角度1］四点共圆的判定

【例2—1】（2017南师附中等四校联考）如图，A,B,C是圆O上不共线的三点,

OD丄AB于点D,BC和AC分别交DO的延长线于点P和点Q,求证：

/OBP=/CQP.

证明连接OA,因为OD丄AB,OA=OB,所以/BOD=/AOD=2/AOB.

又/ACB=2/AOB,

所以/ACB=/DOB.

又/BOP=180°—/DOB,/QCP=180°—/ACB,

所以/BOP=/QCP.

所以B,O,C,Q四点共圆.

所以/OBP=/CQP.

探究提高⑴如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；

（2）如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；（3）如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆

［命题角度2］四点共圆的性质

【例2—2】（2016全国m卷）如图，OO中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB

于E,F两点.

（1）若/PFB=2/PCD,求/PCD的大小;

⑵若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG丄CD.

（1）解连接PB,BC,贝U/BFD=/PBA+/BPD,/PCD=/

PCB+/BCD.

因为AP=BP,所以/PBA=/PCB,又/BPD=/BCD,

所以/BFD=/PCD.

又/PFB+/BFD=180°,/PFB=2/PCD,

所以3/PCD=180°,因此/PCD=60°.

（2）证明因为/PCD=/BFD，所以/EFD+/PCD=180°由此知C,D,F,

E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上.

又0也在CD的垂直平分线上，因此0G丄CD.

探究提高利用四点共圆的性质可解决角的相等，或结合切割线定理解决线段成比例问题.

【训练2】（2016全国n卷）如图，在正方形ABCD中，E,G分

别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG,过D点作DF

丄CE，垂足为F.

（1）证明：

B，C，G，F四点共圆；

⑵若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

（1）证明因为DF丄EC,则/EFD=/DFC=90°易得/DEF=/CDF，

所以ADEFsACDF，则有/GDF=/DEF=/FCB，DF_DE_DG

CF_CD_CB，

所以ADGFsACBF，由此可得/DGF_/CBF.

因此/CGF+/CBF=180°,

所以B，C，G，F四点共圆.

⑵解由B，C，G，F四点共圆，CG丄CB知FG丄FB.连接GB.由G为RtADFC斜边CD的中点，知GF=GC，

故RtABCG也RtABFG.因此，四边形BCGF的面积S是△GCB的面积Sagcb的2倍，

111

即S_2Sagcb_2>2>2X1_2

热点三绝对值不等式

［命题角度1］绝对值不等式的解法

【例3—1］已知函数f（x）=X+a|+|x—2|.

（1）当a=—3时，求不等式f（x）>3的解集;

⑵若f（x）w|x—4|的解集包含［1,2］,求a的取值范围.

—2x+5,x^2

解⑴当a=—3时，f（x）=1,2

2x—5,XA3.

当x<2时，由f（x）>3得一2x+5>3,解得x<1；

当23无解;

当x>3时，由f（x）>3得2x—5>3,解得x>4;

所以f（x）>3的解集为{x|xw1,或x>4}.

⑵f（x）

x—4|—|x—2|>|x+a|.当x€[1,2]时，x—4|—x—2|>|x+a|?

4—x—（2—x）》|x+a|?

—2—a

由条件得一2—a<1且2—a>2,

即一3

故满足条件的a的取值范围是［—3,0］.

探究提高

（1）用零点分段法解绝对值不等式的步骤:

1求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

（2）用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.

［命题角度2］含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题

【例3—2】（2017全国m卷）已知函数f（x）=|x+1|—|x—2|.

（1）求不等式f（x）>1的解集；

⑵若不等式f（x）>x2—x+m的解集非空，求m的取值范围.

—3,X』1,

解

（1）f（x）=|x+1|—|x—2|=2x—1,—1

3,x>2.

由f（x）>1可得

1当x<—1时显然不满足题意;

2当一11,

解得x>1,贝UKx<2;

3当x>2时，f（x）=3>1恒成立，•••x>2.综上知f（x）》1的解集为{xx>1}.

⑵不等式f（x）>x2—x+m等价于f（x）—x2+x>m，令g（x）=f（x）—x2+x，

则g（x）>m解集非空只需要[g（x）]max>m.

—x?

+x—3，xW—1，

由⑴知g（x）=—X2+3x—1，—1

—x2+x+3，x>2.

①当x<—1时，[g（x）]max=g（—1）=一3—1—1=一5;

2当一1

332C3,5

[g（x）]max=g2=—2+32—1=4；

3当x>2时，[g（x）]max=g

（2）=—22+2+3=1.

55

综上，[g（x）]max=:

4，故mW4.

5

所以实数m的取值范围是一『4.

探究提高解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值

【训练3】（2016全国m卷）已知函数f（x）=|2x—a|+a.

⑴当a=2时，求不等式f（x）w6的解集;

⑵设函数g（x）=|2x—1|.当x€R时，f（x）+g（x）>3,求a的取值范围.解⑴当a=2时，f（x）=|2x—2|+2.

解不等式|2x—2|+2<6得一Kx<3.因此f（x）<6的解集为{x|—Kx<3}.

⑵当x€R时，f（x）+g（x）=|2x—a|+a+|1—2x|>|2x—a+1—2x|+a=|1—a|+a，所以当x€R时，f（x）+g（x）>3等价于|1—a|+a>3.①

当a<1时，①等价于1—a+a>3,无解.

当a>1时，①等价于a—1+a>3,解得a>2.

所以a的取值范围是［2，+X）.

热点四不等式的证明

【例4】（2014江苏卷）已知x>0,y>0,证明：

（1+x+y2）（1+x2+y）>9xy.

证明因为x>0,y>0,

所以1+x+y2>>0,1+x2+y》33xy>0,

故（1+x+『）（1+X2+y）>33xy233x2y=9xy.

探究提高证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.

【训练4】（2013江苏卷）已知a>b>0,求证：

2a3—b3>2ab2—a2b.

证明2a3—b3—（2ab2—a2b）

=2a（a2—b2）+b（a2—b2）

=（a2—b2）（2a+b）

=（a—b）（a+b）（2a+b）.

因为a>b>0,所以a—b>0,a+b>0,2a+b>0,

从而（a—b）（a+b）（2a+b）》0,

即2a3—b3>2ab2—Xb.

热点五柯西不等式

【例5】已知关于x的不等式|x+a

（1）求实数a,b的值；⑵求Uat+12+巫的最大值.

解

（1）由|x+a|vb,得一b—avx

一b一a=2，a=—3,

则解得

b—a=4,b=1.

（2）p—3t+12

=羽>/4—t+乐w寸[（走）2+12][t）2+（录）2

=^4—1+1=4,当且仅当普?

=¥，即t=1时等号成立，故Z—3t+12+^/t）max=4.

探究提咼根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.

【训练5】（2017全国n卷）已知实数a>0,b>0,且a3+b3=2.

证明：

（1）（a+b）（a5+b5）>4；

（2）a+b<2.

证明

（1）；a>0,b>0且a3+b3=2.

由柯西不等式，得

（a+b）（a5+b5）>Naa5+*\/bb5）2^（a3+b3）2^4.

当且仅当ab5=ba5,即a=b=1时等号成立.

因此（a+b）（a5+b5）》4.

⑵Va3+b3=2，A（a+b）（a2—ab+b2）=2，

即（a+b）[（a+b）2—3ab]=2.

所以（a+b）3—2=3ab（a+b），

又abw

•••（a+b）3—2<3（a+b）3，则菇+b）3<2.

从而a+b<2当且仅当a=b=1时等号成立.

专films对接髙萼

1.（2015江苏卷）如图，在△ABC中，AB=AC,△ABC的外接圆

证明因为AB=AC,

所以/ABD=/C.

又因为/C=/E,

所以/ABD=/E,

又/BAE为公共角,

可知AABDsAAEB.

2.

AC经过圆心0,且

（2013江苏卷）如图，AB和BC分别与圆0相切于点D,C,

BC=20C.求证：

AC=2AD.

AB异侧的两点，连

证明连接0D.因为AB和BC分别与圆0相切于点D,C,

所以/AD0=/ACB=90°

又因为/A=/A,

所以Rt△AD0sRtAACB.

缶［、IBC_AC所以0D=AD.

又BC=20C=20D,

故AC=2AD.

3.（2012江苏卷）如图，AB是圆0的直径，D,E为圆上位于

接BD并延长至点C,使BD=DC,连接AC,AE,DE.

求证：

/E=/C.

证明连接0D,因为BD=DC,O为AB的中点，所以0D//AC,

于是/ODB=/C.因为0B=0D，所以/ODB=/B,于是/B=/C.

因为点A,E,B,D都在圆0上，且D,E为圆0上位于AB异侧的两点,

/E和/B为同弧所对的圆周角,故/E=/B.所以/E=/C.

4.（2017全国I卷）已知函数f（x）=—x2+ax+4,g（x）=|x+1|+|x—1|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）》g（x）的解集;

⑵若不等式f（x）>g（x）的解集包含［—1,1］,求a的取值范围.解

（1）当a=1时，f（x）=—Z+x*4,g（x）

2x,x>1,

=|x+1|+|x—1|=2,—1^«1

—2x,x<—1.

①当x>1时，f（x）>g（x）?

—Z+x*4》2x,

解之得1VXW密二1②当一Kx<1时，f（x）》g（x）?

（x—2）（x+1）<0,

则一Kx<1.

③当x<—1时，f（x）》g（x）?

x2—3x—4<0,

解得—Kx<4,

又x<—1,A不等式此时的解集为空集.

综上所述，f（x）》g（x）的解集为x|—1強

（2）依题意得：

—x2+ax+4》2在［—1,1］上恒成立.则x2—ax—2<0在［—1,1］上恒成立.

12—a1—2W0

则只需（—1）2—a（—1）—2WQ解之得—代a^1.

故a取值范围是［—1,1］.

5.

（2015江苏卷）解不等式x+|2x+3|>2.

3

xv——

解原不等式可化为2或

—x—3A2

1

解得x<-5或x>-1

1

综上，原不等式的解集是xx<-5或x>-1.

b2c2a2

6.（2017苏、锡、常、镇调研）已知a,b,c为正实数，求证：

—+£+三》a+b+

c.

证明法一Va,b,c都为正实数，b2c2a2

•°.a+—A2b,b+匸》2c,c+—》2a,

a，b，c，

b2c2_2

当且仅当a=T,b二£,c二-,

即a=b=c时取等号.

b2c2a2

•••a+—+b+匚+c+—》2a+2b+2c,abc'

b2c2a2「

•••—+匸+—》a+b+c.

abc

法二Va,b,c都为正实数，•由柯西不等式有

b2c2a2

（a+b+c）了+b+"cA（b+c+a）2,

当且仅当-=c=a，即卩a=b=c时取等号.

abc

.222

•••H+¥+―Aa+b+c.

abc