专题七下第2讲.docx

1、专题七下第2讲第2讲 几何证明选讲、不等式选讲高考定位高考对本内容的考查主要有：（1）三角形及相似三角形的判定与性质;圆的相交弦定理，切割线定理；圆内接四边形的性质与判定；（4）相交弦定理.本内容考查属B级要求；（5）含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属 B级要求.真题感悟1.AP丄 PC,（2017江苏卷）如图，AB为半圆0的直径，直线PC切半圆0于点C,P为垂足.求证：/PAC=/ CAB;（2）AC2 = AP B.证明（1）因为PC是圆O的切线，所以/ PCA=/ CBA，又 AP丄 PC,所以/ PAC+/PCA= 90因为AB

2、为半圆0的直径， 所以/ CAB +/ CBA= 90所以/ PAC=/ CAB.AP AC由可得ARACA CAB，所以AC=AB，所以 AC2 = AP AB.2.（2016江苏卷）如图，在ABC 中，/ ABC= 90 BD丄AC,为垂足，E是BC的中点，求证：/ EDC = / ABD.证明 由BD丄AC.可得/ BDC= 901由E为BC中点，可得DE = CE = 2BC，则/EDC=/ C,由/BDC= 90 得/ C+/DBC = 90又/ ABC= 90 则/ ABD +/ DBC = 90/ ABD=/ C,又/ EDC = / C,A/ EDC = /ABD.3.(201

3、7 江苏卷)已知 a,b,c, d 为实数，且 a2+ b2= 4, c2 + d2= 16,证明 ac+ bd (ac+ bd)2,即(ac + bd)2 4X16=64,故 ac+ bd0, |x 1|v3, |y 2|v3,求证：|2x+y4|va.a 2a证明 由 a0, x 1|v3可得|2x2|3,a又 |y 2|v 3,2a a- |2x + y 4|= |(2x 2)+ (y 2)| |2x 2|+ |y2|a(a0)? f(x)a 或 f(x)v a； |f(x)|va(a0)? af(x)a；对形如|x a|+ |x b| c的不等式，可利用绝对值不等式的 几何意义求解.5

4、.柯西不等式(1)设 a，b，c，d 为实数，则(a2+ b2)(c2 + d2) (ac+ bd)2，当且仅当 ad= be 时等 号成立.n n n若 ai，bi(i N*)为实数，则(ja2)昌$ (&4)2,当且仅当 b= 0(i = 1, 2, n)或存在一个数k，使得a= kbi(i = 1，2，n)时，等号成立.柯西不等式的向量形式：设 a， P为平面上的两个向量，则la 1011 a B当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.6.证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法 .另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等热点一三角形相似的判定及应用命题

5、角度1利用弦切角定理证明三角形相似【例1 1】 如图，已知圆上的弧AC= BD,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点.证明：(1)/ACE=/ BCD;(2)BC2= be cd.证明 (1)因为AC= BD，所以/ ABC=/ BCD.又因为EC与圆相切于点C,故/ ACE=/ ABC,所以/ ACE=/ BCD.(2)因为/ ECB=/ CDB,/ EBC=/ BCD, BC CD所以 ABDCsecB,故CD,g卩 bc2= be cd.探究提高 在证明角或线段相等时，证三角形相似是首选的解题思路，如果涉及 弦切角，则需考虑弦切角定理.命题角度2利用圆周角、圆心角定理证明三角形相似【例

6、1 2】 如图，已知圆0是ABC的外接圆，AB= BC，AD是BC边上的高,AE是圆0的直径，过点C作圆0的切线交BA的延长线于点F.(1)求证：AC BC= AD AE;若AF = 2，CF = 22,求AE的长.(1)证明 连接BE，由题意知ABE为直角三角形.因为/ ABE=/ADC = 90 / AEB=/ACB，所以ABE ADC,斤g、jAB AE 所以AD = AC，即 AB AC= AD AE.又 AB= BC,所以 AC BC= AD AE.解 因为FC是圆O的切线，所以FC2= fa FB，又 AF= 2，CF= 2p2,所以 BF = 4，AB= BF AF= 2,因为/

7、 ACF=/FBC，又/ CFB = / AFC，所以AFC CFB.所以 Fc= BC，得 AC= CF =72,在 AABC 中,BC2 + AC2 AB2 4 + 2 4 cos/ acd=2BC7C=2x22 = 4， sin/ ACD =乎=sin/ AEB, AE二 sin ZBKEB 零探究提高 在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理 .同时，要注意等量的代换.【训练1】（2014江苏卷）如图，AB是圆0的直径，C, D是圆0上位于AB异侧的两点.证明：/ OCB=/ D.证明 因为B, C是圆0上的两点,所以OB = OC.故/ OCB=/ B.又因为C, D

8、是圆O上位于AB异侧的两点,故/ B,/ D为同弧所对的两个圆周角，所以/ B=/D.因此/ OCB=/ D.热点二四点共圆的判定及性质命题角度1四点共圆的判定【例21】 （2017南师附中等四校联考）如图，A, B, C是圆O上不共线的三点,OD丄AB于点D, BC和AC分别交DO的延长线于点P和点Q,求证：/ OBP = / CQP.证明 连接OA,因为OD丄AB, OA= OB, 所以/ BOD = /AOD = 2/ AOB.又/ ACB= 2/ AOB,所以/ ACB=/ DOB.又/ BOP= 180 / DOB,/ QCP= 180 / ACB,所以/ BOP=/QCP.所以B,

9、 O, C, Q四点共圆.所以/ OBP=/CQP.探究提高 如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一 组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它 的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆命题角度2四点共圆的性质【例2 2】(2016全国m卷)如图，O O中AB的中点为P,弦PC, PD分别交AB于E, F两点.(1)若/PFB = 2/PCD,求/ PCD 的大小;若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG丄CD. (1)解 连接 PB, BC,贝U/ BFD = / PBA+/ BPD, / PCD = /PCB+/ BCD.

10、因为AP= BP,所以/ PBA=/ PCB,又/ BPD=/ BCD,所以/ BFD = / PCD.又/ PFB+/BFD = 180, / PFB = 2/PCD,所以 3/PCD = 180,因此/ PCD= 60.(2)证明 因为/ PCD = / BFD，所以/ EFD + / PCD= 180 由此知 C, D, F,E四点共圆，其圆心既在 CE的垂直平分线上，又在 DF的垂直平分线上，故 G 就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上.又0也在CD的垂直平分线上，因此 0G丄CD.探究提高 利用四点共圆的性质可解决角的相等，或结合切割线定理解决线段成 比例问

11、题.【训练2】(2016全国n卷)如图，在正方形ABCD中，E, G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE = DG,过D点作DF丄CE，垂足为F.(1)证明：B，C，G，F四点共圆；若AB= 1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.(1)证明 因为 DF 丄EC,则/ EFD = / DFC = 90 易得/ DEF = / CDF，所以 ADEFsA CDF，则有/ GDF = / DEF = / FCB， DF _ DE _ DGCF _ CD _ CB，所以 ADGF sA CBF，由此可得/ DGF _/ CBF.因此/ CGF +/CBF = 180,所以B，C，G，F四

12、点共圆.解 由B，C，G，F四点共圆，CG丄CB知FG丄FB.连接GB. 由G为RtADFC斜边CD的中点，知GF= GC，故RtABCG也RtABFG.因此，四边形BCGF的面积S是GCB的 面积Sagcb的2倍，1 1 1即 S_ 2Sagcb_ 2 2 2X1 _ 2热点三绝对值不等式命题角度1绝对值不等式的解法【例 3 1 已知函数 f(x)= X+a|+ |x2|.(1)当a= 3时，求不等式f(x) 3的解集;若f(x)w |x 4|的解集包含1, 2,求a的取值范围.2x+ 5, x2解当 a= 3 时，f(x)= 1, 2x3,2x 5, X A 3.当 x3 得一2x+ 53

13、,解得 x 1；当 2x 3 无解;当 x3 时，由 f(x) 3 得 2x 53,解得 x4;所以f(x) 3的解集为x|xw 1,或x4.f(x)|x+ a|. 当 x 1 , 2时，x 4|x 2|x+ a| ? 4 x (2 x)|x+ a|? 2 a x 2 a.由条件得一2 a2,即一3 a 1的解集；若不等式f(x) x2 x+ m的解集非空，求m的取值范围.3, X1,解 (1)f(x)= |x+ 1| |x 2|= 2x 1, 1x2.由f(x) 1可得1当x 1时显然不满足题意;2当一1x 1,解得 x 1,贝U Kx2 时，f(x)= 3 1 恒成立， x2. 综上知f(

14、x)1的解集为xx 1.不等式 f(x)x2x+ m等价于 f(x) x2 + xm， 令 g(x) = f(x) x2 + x，则g(x) m解集非空只需要g(x) max m.x? + x 3， xW 1，由知 g(x) = X2+ 3x 1， 1x2.当 x 1 时，g(x)max= g( 1)=一 3 1 1 = 一 5;2当一1x2 时，g(x)max= g(2)= 22+2+ 3= 1.5 5综上，g(x) max=: 4，故 mW4.5所以实数m的取值范围是一4 .探究提高 解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分 段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数

15、的值【训练3】(2016全国m卷)已知函数f(x)=|2x a|+ a.当a = 2时，求不等式f(x)w6的解集;设函数g(x) = |2x 1|.当x R时，f(x) + g(x)3,求a的取值范围. 解 当 a= 2 时，f(x)=|2x 2|+ 2.解不等式 |2x 2| + 2 6 得一Kx 3. 因此f(x)6的解集为x| Kx |2x a+ 1 2x|+ a= |1 a|+ a， 所以当 x R 时，f(x) + g(x)3等价于 |1 a| + a3.当a 3,无解.当a 1时，等价于a 1 + a 3,解得a 2.所以a的取值范围是2，+X).热点四不等式的证明【例 4】(2

16、014 江苏卷)已知 x0, y0,证明：(1+x+ y2)(1 + x2 + y) 9xy.证明因为x 0, y0,所以 1+x+ y2 0, 1 + x2 + y33xy 0,故(1 + x+)(1 + X2 + y) 33xy2 33x2y= 9xy.探究提高 证明不等式常用的方法有比较法、 综合法、分析法、反证法、放缩法、 数学归纳法等.【训练4】(2013江苏卷)已知a b 0,求证：2a3 b32ab2 a2b.证明 2a3 b3 (2ab2 a2b)=2a(a2 b2)+ b(a2 b2)=(a2 b2)(2a + b)=(a b)(a + b)(2a + b).因为ab0, 所

17、以 a b0, a+ b0, 2a+ b0,从而(a b)(a + b)(2a + b)0,即 2a3 b32ab2 Xb.热点五柯西不等式【例5】 已知关于x的不等式|x+ a b的解集为x|2x 4.(1)求实数a, b的值； 求Uat+ 12 +巫的最大值.解(1)由|x+ a|vb,得一b avx/4t +乐w寸(走)2+ 12 t) 2+(录)2=4 1+1 = 4,当且仅当普? = ， 即 t= 1 时等号成立，故 Z 3t+ 12 +/t)max= 4.探究提咼根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明， 证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，

18、从而应用柯西不 等式.【训练5】（2017全国n卷）已知实数a0, b0,且a3+ b3 = 2.证明：(1)(a + b)(a5 + b5) 4； (2)a + b0, b0 且 a3+ b3 = 2.由柯西不等式，得(a+ b)(a5 + b5) Na a5 + */b b5)2 (a3 + b3)2 4.当且仅当ab5= ba5,即a= b= 1时等号成立.因此(a+ b)(a5 + b5)4. V a3 + b3= 2，A(a+ b)(a2 ab+ b2)= 2，即(a+ b)(a + b)2 3ab = 2.所以(a + b)3 2 = 3ab(a + b)，又abw(a + b)3

19、 2 3(a + b)3，则菇+ b)3 2.从而a+ b g(x)的解集包含1, 1,求a的取值范围. 解(1)当 a= 1 时，f(x)= Z + x*4, g(x)2x, x1,=|x+1|+ |x 1|= 2, 112x, x1 时，f(x) g(x)? Z + x* 42x,解之得1VXW密二1 当一Kx 1 时，f(x)g(x)? (x 2)(x + 1)0,则一K x 1.当 x 1 时，f(x)g(x)? x2 3x 4 0,解得K x 4,又x 1,A不等式此时的解集为空集.综上所述，f(x)g(x)的解集为x| 1強 (2)依题意得：x2+ax+ 42在 1,1上恒成立.

20、则x2 ax 22.3xv 解原不等式可化为 2或x 3A21解得x- 11综上，原不等式的解集是x x-1 .b2 c2 a26.（2017苏、锡、常、镇调研）已知a, b, c为正实数，求证：+ +三a+b +c.证明法一 Va, b, c都为正实数， b2 c2 a2.a + A 2b, b+匸2c, c+2a,a ， b ， c ，b2 c2 _2当且仅当a= T, b二, c二-,即a= b= c时取等号.b2 c2 a2a + + b+匚+c+2a + 2b+ 2c, a b c b2 c2 a2 + 匸+a+b+ c.a b c法二 Va, b, c都为正实数，由柯西不等式有b2 c2 a2(a+b+ c) 了 + b + c A (b+c+ a)2,当且仅当-=c = a，即卩a= b= c时取等号.a b c.222 H + + A a+b+ c.a b c