湖南省师大附中届高三数学月考试题七文.docx
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湖南省师大附中届高三数学月考试题七文
湖南师大附中2019届高三月考试卷（七）
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|lgx>0}，B＝{x|x≤1}，则（B）
A．A∩B≠B．A∪B＝RC．BAD．AB
【解析】由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx>0}＝（1，＋∞），∴A∪B＝R，故选B.
2．若复数z满足i（z－3）＝－1＋3i（其中i是虚数单位），则z的虚部为（A）
A．1B．6C．iD．6i
【解析】∵iz－3i＝－1＋3i，∴iz＝－1＋6i，∴z＝6＋i，故z的虚部为1.故选A.
3．函数f
＝ln
－
的零点所在的大致区间为（B）
A.
B.
C.
D.
【解析】f
＝ln
－
在
函数单增，且f
＝ln2－2<0，f
＝ln3－1>0.所以函数f
＝ln
－
的零点所在的大致区间为
.故选B.
4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点在阴影部分的概率是（C）
A.
B.
C.
D.
【解析】设最小的等腰直角三角形的面积为1，则大正方形的面积为16，阴影部分的面积为6，则所求的概率是P＝
＝
.则选C.
5．设F1和F2为双曲线
－
＝1（a>0，b>0）的两个焦点，若点P（0，2b）、F1、F2是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（C）
A．y＝±
xB．y＝±
xC．y＝±
xD．y＝±
x
【解析】由双曲线的对称性可知，直角顶点为P，在等腰三角形PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得c2＋4b2＋c2＋4b2＝4c2，化简得8b2＝2c2，即4b2＝c2，把c2＝a2＋b2代入4b2＝c2，得3b2＝a2，即
＝
，则双曲线的渐近线方程为y＝±
x，故选C.
6．给出下列四个命题：
①“若x0为y＝f（x）的极值点，则f′（x0）＝0”的逆命题为真命题；
②“平面向量a，b的夹角是钝角”的充分不必要条件是a·b<0；
③若命题p：
x－1<0，则綈p：
x－1>0；
④命题“x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：
“x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．
其中不正确的个数是（A）
A．3B．2C．1D．0
【解析】“若x0为y＝f（x）的极值点，则f′（x0）＝0”的逆命题为：
“若f′（x0）＝0，则x0为y＝f（x）的极值点”，为假命题，即①不正确；“平面向量a，b的夹角是钝角”的必要不充分条件是a·b<0，即②不正确；若命题p：
x－1<0，则綈p：
x－1≥0，即③不正确；特称命题的否定为全称命题，即④正确．所以不正确的个数是3个．故选A.
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是（A）
A．（30，42]B．（30，42）
C．（42，56]D．（42，56）
【解析】依次运行程序框图中的程序可得：
第一次，S＝0＋2×1＝2，k＝2，满足条件，继续运行；
第二次，S＝2＋2×2＝6，k＝3，满足条件，继续运行；
第三次，S＝6＋2×3＝12，k＝4，满足条件，继续运行；
第四次，S＝12＋2×4＝20，k＝5，满足条件，继续运行；
第五次，S＝20＋2×5＝30，k＝6，满足条件，继续运行；
第六次，S＝30＋2×6＝42，k＝7，不满足条件，停止运行，输出7.故选A.
8．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，不一定正确的是（C）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
【解析】由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；综上C是不一定正确的，故选C.
9．已知抛物线C：
y2＝2px（p>0）的焦点为F，准线l：
x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：
x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－
，则△MAF的面积为（C）
A.
B．2
C．4
D．8
【解析】设准线l与x轴交于点N，所以|FN|＝2，因为直线AF的斜率为－
，所以∠AFN＝60°，所以|AF|＝4，由抛物线定义知，|MA|＝|MF|，且∠MAF＝∠AFN＝60°，所以△MAF是以4为边长的正三角形，其面积为
×42＝4
，故选C.
10．若函数f（x）＝2
sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx在区间
上单调递增，则正数ω的最大值为（B）
A.
B.
C.
D.
【解析】因为f（x）＝2
sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx＝
sin2ωx＋2·
＋cos2ωx＝
sin2ωx＋1.由函数y＝f（x）在区间
上单调递增知，所以
－
≤
＝
，即3π≤
，结合ω>0，可得0<ω≤
.所以正数ω的最大值为
，故选B.
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A）
A.
B.
C.
D．4
【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱ABB1－DCC1，挖去一个三棱锥E－FCG，故所求几何体的体积为
×（2×2）×2－
×
×1＝
.故选A.
12．已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f′（x），若函数y＝f′（x）没有零点，且f[f（x）－2019x]＝2019，当g（x）＝sinx－cosx－kx在
上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（A）
A．（－∞，－1]B．（－∞，
]C．[－1，
]D．[
，＋∞）
【解析】由函数y＝f′（x）没有零点，即方程f′（x）＝0无解，则f′（x）>0或f′（x）<0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，x∈R都有f[f（x）－2019x]＝2019，则f（x）－2019x为定值，设t＝f（x）－2019x，则f（x）＝t＋2019x，易知f（x）为R上的增函数，∵g（x）＝sinx－cosx－kx，∴g′（x）＝cosx＋sinx－k＝
sin
－k，又g（x）与f（x）的单调性相同，∴g（x）在
上单调递增，则当x∈
时，g′（x）≥0恒成立．当x∈
时，x＋
∈
，sin
∈
，∴
sin
∈[－1，
]．此时k≤－1，故选A.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：
本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝
，a2a6＝8（a4－2），则S2018＝__22__017－
__．
【解析】由等比数列的性质及a2a6＝8（a4－2），得a
＝8a4－16，解得a4＝4.又a4＝
q3，故q＝2，所以S2018＝
＝22017－
.
14．设D为△ABC所在平面内一点，
＝－
＋
，若
＝λ
，则λ＝__－3__．
【解析】∵D为△ABC所在平面内一点，
＝－
＋
，∴B，C，D三点共线．若
＝λ
，∴
－
＝λ
－λ
，化为：
＝
＋
，与
＝－
＋
，比较可得：
＝－
，解得λ＝－3.
15．记命题p为“点M（x，y）满足x2＋y2≤a2（a>0）”，记命题q为“M（x，y）满足
”若p是q的充分不必要条件，则实数a的最大值为__
__．
【解析】依题意可知，以原点为圆心，a为半径的圆完全在由不等式组
所围成的区域内，由于原点到直线4x－3y＋4＝0的距离为
，从而实数a的最大值为
.
16．已知函数f（x）＝
＋x2＋mx，若函数f（x）在（0，3）上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是__－
【解析】将函数f（x）在（0，3）上有两个不同的零点等价转化为关于x的方程f（x）＝0在（0，3）上有两个不同的实数解，等价于函数y＝m和函数y＝
的图象有两个交点，所以实数k的取值范围是－
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且asinA＋csinC－bsinB＝
asin（A＋B）．
（1）求B的值；
（2）若向量m＝（cosA，cos2A），n＝（12，－5），a＝4，当m·n取得最大值时，求b的值．
【解析】
（1）因为△ABC中，sin（A＋B）＝sinC，
所以asinA＋csinC－bsinB＝
asin（A＋B）
变形为asinA＋csinC－bsinB＝
asinC.
由正弦定理得：
a2＋c2－b2＝
ac.
由余弦定理得：
cosB＝
＝
，
又因为0.6分
（2）因为m·n＝12cosA－5cos2A
＝－10cos2A＋12cosA＋5＝－10
＋
，
所以当cosA＝
时，m·n取得最大值，此时sinA＝
，
由正弦定理得b＝
＝
.12分
18．（本题满分12分）
如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD＝2BC＝2，BC∥AD，AB⊥AD，△PBD为正三角形．且PA＝2
.
（1）证明：
平面PAB⊥平面PBC；
（2）若点P到底面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB∥平面ACE，求四面体A－CDE的体积．
【解析】
（1）证明：
∵AB⊥AD，AB＝AD＝2，∴BD＝2
，
又△PBD为正三角形，所以PB＝PD＝BD＝2
，
又∵AB＝2，PA＝2
，所以AB⊥PB，
又∵AB⊥AD，BC∥AD，∴AB⊥BC，PB∩BC＝B，
所以AB⊥平面PBC，又因为AB平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PBC.6分
（2）如图，连接AC交BD于点O，因为BC∥AD，
且AD＝2BC，所以OD＝2OB，连接OE，
因为PB∥平面ACE，所以PB∥OE，则DE＝2PE，
由
（1）点P到平面ABCD的距离为2，
所以点E到平面ABCD的距离为h＝
×2＝
，
所以VA－CDE＝VE－ACD＝
S△ACD·h＝
×
×
＝
，
即四面体A－CDE的体积为
.12分
19．（本题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
万元）对年销售量y（单位：
吨）和年利润z（单位：
万元）的影响．对近六年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，3，4，5，6）的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年宣传费x（万元）
38
48
58
68
78
88
年销售量y（吨）
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
经电脑模拟，发现年宣传费x（
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